2023-2024學(xué)年四川省成都東部新區(qū)高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

2023-2024學(xué)年四J11省成都東部新區(qū)高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.cos20°cos10°-sin20°sin10°=()

A.SinI0"B.cosl0oC.?-D.正

22

【正確答案】D

【分析】利用兩角和的余弦公式的逆應(yīng)用直接求解即可.

【詳解】cos20"cos1()'-sin20°sin10"=Cos(20+10)=cos30=—.

故選：D

本題考查了兩角和的余弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知向量α=(l,2),6=(1,0),2=(3,4),若;I為實(shí)數(shù),(?+Λα)lc,則:的值為

3HCI3

A.-----B.-----C.-D.—

11325

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】解：?{b+λa)1c,得S+/Ia)?c=0,

又a=(L2),8=(1,0),c=(3,4),^b+λa-{?+λ,lλ),

(?+Λα)?c=3(l+A)+4×2λ=0,解得;1=-打.

故選：A.

3.命題。：“向量α與向量Z?的夾角0為銳角”是命題4：''α?6>0''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算分析判斷

【詳解】若向量.與向量6的夾角。為銳角，則“力=郵卜os6>0,

當(dāng)“?6>0時(shí)，向量α與向量b的夾角6可能為0°,

所以命題P是命題4的充分不必要條件，

故選：A

4.若3cos2α=2sin(2-0),α∈(三,乃)則sin2a的值為()

42

A一逑B.考

cd'?

9?4

【正確答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)3cos2α=2sin(f-α)得COSa+sinα=",再平方即得解.

43

TT

【詳解】因?yàn)?cos2a=2叫9

所以3cos2a=2(sin—cosa-cos—sina)=?∣2cosa-V2sinα,

44

所以3(COS21-sin2α)=&(COSα-sinα),

所以3(cosa+sin<z)(cosa-sina)=6(COSa-sina)，

因?yàn)棣痢蔳,7r),所以CoSa-SinaN0,

所以3(COSa+sin0)=7^，

所以CoSa+sinα=^-,

3

2

兩邊平方得，HSin2a=g,

7

所以Sin2a=--

故選：C

本題主要考查三角恒等變換，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)

生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

5.已知向量a=。/),8=(3,tan6),若向量。，b的夾角為看，則8=()

A.0B-?c?id-7

【正確答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

a`b3+Gtan，

【詳解】由題意可知，CoS〈。力〉=

H-WJ+(可?√32+tan202，即tan。=G

Tt

因?yàn)?46≤π,所以。=三.

故選：C.

6.在-ABC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC，^MN=xAB+yAC,貝∣Jx+y=()

A.B.-C.?^^D.1

632

【正確答案】B

【分析】由已知得MN=MC+CN=gAC+gc8,由此能求出結(jié)果.

在，ABC中，點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC，

：.MN=MC+CN=-AC+-CB

32

=g>4C+J(AB-AC)

=-AB--AC

26

=xAB+yAC，

故選：B.

7.函數(shù)/(x)=cos(0x+s)的部分圖像如圖所示，則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

A.(kττ—,kτvH—),kSZB.(2kττ—,2kτrT—),A∈Z

4444

1313

C.*一一Λ+-)Λ∈ZD.Qk一一,2Z+-),%∈Z

4444

【正確答案】D

1π

~a)+φ=—

【詳解】由五點(diǎn)作圖知，｛；?,解得。=1，S=f,所以f(x)=CoS(G+f),令

53π44

-G)+φ=—

42

2kπ<πx+-<2kπ+π,keZ,m2k--<x<2k+-,々eZ,故單調(diào)減區(qū)間為2々一工2k+-,keZ,

44444

故選D.

三角函數(shù)圖像與性質(zhì)

8.已知向量α=(x,6),6=(3,4).且α與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)X的取值范圍為()

A.[-8,+∞)B.[^8,∣]u[^,+o°]C.-8,?)停+8)

D.(-8,+∞)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量夾角為銳角，則數(shù)量積為正數(shù)從而求得參數(shù)的初步范圍；再排除向量平行對(duì)應(yīng)的參

數(shù)值，即可求得結(jié)果.

9

【詳解】若α〃人則4x=18,解得X=].

9

因?yàn)?。與，的夾角為銳角，?..χ≠:?

又“?b=3x+24,由4與人的夾角為銳角，

：.a-b>0,即3x+24>0,解得x>-8.

又?.?χwg,所以xe,8,?∣)u(g,+∞j.

故選.8

本題考查利用數(shù)量積由夾角的范圍求參數(shù)的范圍，屬基礎(chǔ)題.

二、多選題

9.設(shè)4、%、C是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是()

∕Γr?rr(rr?

A.0?a=0B.?a-bγc=a-?b-c^

C.a?b=0naLbD.(”+〃)-(4-5)=同-∣?∣

【正確答案】AB

利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，0?4=0,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

rrrrr

對(duì)于B選項(xiàng)，(〃?〃)?，表示與C共線的向量，“?(b?c)表示與4共線的向量，但α與C不一定共線，B

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，a?b=0=>aJLbfC選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，(a+Z?)(a-b)=α~-//=卜I-W>D選項(xiàng)正確.

故選：AB.

本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，考查計(jì)算能力與推理能力,

屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()

A.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7sB.該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零

C.該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零D.該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.8s

【正確答案】CD

【分析】由題圖求得質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期可判定A錯(cuò)，D正確；由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，可判定B錯(cuò)，C正

確.

【詳解】對(duì)于A,D,由題圖可知，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為2x(0.7-0?3)=0.8s,所以A錯(cuò)，D正確；

對(duì)于B,C,由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)的速度最大，即在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度

最大，在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零，故B錯(cuò)，C正確.

綜上，CD正確.

故選：CD.

JT

11.如圖，YABCD中，AB=I,A￡)=2,ZBAD=-,E為CO的中點(diǎn)，AE與短3交于尸，則下列

敘述中，一定正確的是()

DEC

IlUU1IIUn2IIUlIl

A.8F在A8方向上的投影為OB.AF=-AB+-AD

33

IllBlLILIUD.若“=4NE4B,則tanα=且

C.AFAB=X

23

【正確答案】ABC

【分析】由余弦定理以及勾股定理可得8/）工A8,可判斷A,根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及共線的性

質(zhì)即可判斷B,由數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解C,由向量的夾角公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?-JAD2+AB2-2AD-ABcosZBAD=√l+4-2=√3,

因?yàn)?52=A4+8f)2,所以Br)IAB,即〈3F,AB〉=9O。，BF在AB上的投影為I"ICoS〈B￡AB〉=O,

故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)锳點(diǎn)=A。+。E=4O+∣?A8,AF=λAE=λ(AD+^AB)=λAD+^λAB,

I2LRmlinn?IAnn

因?yàn)?,F,。三點(diǎn)共線，所以4+彳4=1,所以4=?,^AF=^-AB+^AD,所以B正確；

乙???

[2]22121

對(duì)于C,ΛFAB=(-AB+-AD)AB=-AB^-AB-AD=-+-×?×2×-=[,C正確；

3333332

對(duì)于D,因?yàn)镮AFl=J-AB2+-AD2+-AB-AD=—,

V9993

**_AFAB_1—?dú)v∣τ

所以cos<A尸,A8>=IAFllAB廣亙二〒,如果tanα=叁■,又因?yàn)閍=/FA8=30。，

~3^3

所以∕RLβ=2a=6(Γ,不滿足COSNFAB=也?,故D不正確.

7

故選：ABC

12.將函數(shù)f(x)=2cos2(Tx+?)-1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把

所得函數(shù)的圖象向右平移e（e>o）個(gè)單位長(zhǎng)度，最后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則W的值可以

為（）

2

D.

3

【正確答案】AC

【分析】本題首先可以將/(x)=2cos[n+^J-l轉(zhuǎn)化為〃x)=CoSl2G+QJ,然后通過(guò)圖象變換得

出函數(shù)/7(x)=CoS1X-夕乃+^),最后通過(guò)函數(shù)/?(x)=CoSNX-Qr+?∣)是奇函數(shù)即可得出結(jié)果.

【詳解】/(x)=2CoS21x+小-I=COS(2%x+f,

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后，得到函數(shù)g(x)=coskx+qj,

再把所得函數(shù)的圖象向右平移9(9>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)MX)=COS(萬(wàn)，

因?yàn)楹瘮?shù)/7(x)=COS卜+是奇函數(shù)，所以/7(0)=CoS卜9萬(wàn)+()=0,

-TTJTI

即_”+土=工+上萬(wàn)(keZ),^φ=---k,

326

故夕的值可以為?、

66

故選：AC.

本題考查余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)圖象變換，考查二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)y=cos2x的橫

坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后得到函數(shù)y=COSX,再向右平移夕個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=cos(x-e),考查

推理能力與計(jì)算能力，是中檔題.

三、填空題

13.函數(shù)/(x)=2COSX+sinX的最大值為.

【正確答案】√5

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的有界性求解即可.

【詳解】解：函數(shù)/(x)=2CoSΛ+sinx=6(3叵Cos*SinX)=J^sin(x+θ),其中tanθ=2,

可知函數(shù)的最大值為：√5.

故答案為石.

通過(guò)配角公式把三角函數(shù)化為y=Asin(3t+Q)+8的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時(shí)注意

觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.一般可利用IaSinX+1CoSXl≤+〃求最值.

14.定義關(guān)于向量的運(yùn)算法則，26=叱(。+助)，若〃?=(1,2),〃=(2,I),則(陽(yáng)-")可歷+”)=.

【正確答案】2

【分析】先計(jì)算m-〃=（τ,l）,機(jī)-〃+2（%+〃）=（5,7）,再結(jié)合新定義轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩者的數(shù)量積即可.

【詳解】因?yàn)椤?一〃二（-1,1）,歷一〃+2（〃2+〃）=3加+鹿=（5,7）,

所以（m-力慮（加+〃）=-1x5+1x7=2.

故2

15.已知同=5,6=（2,1）,且α∕∕6,則向量”的坐標(biāo)是—.

【正確答案】（2√5,√5）或（-2石,-石）

【分析】先設(shè)α=（χ,y）,根據(jù)題中條件，列出方程組，求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)α=（χ,y）,

因?yàn)镮al=5,b=(2,1),S.a∕∕b>

x-2y=0Λ=2√5x=-2√5

所以解得或'

X2+∕≈25J=小y=-yβ

因此向量”的坐標(biāo)是（2方,>/^）或（-2囪,-石）.

故答案為（2行,行）或（-2底-5

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.

16.已知函數(shù)/CO=Sin（X+J其中尤G，若f（X）的值域是-g,l,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【正確答案】%F

TTTTTT

【分析】由已知得尤+￡七--^+7，建立關(guān)于〃的不等式可得答案.

6L60.

_、、，._TCTCTCTC

【詳解】??無(wú)￡~~ζ^a，?*?x+τ^e~~7^a+~7，

_jJ6L6o

Iππ7TTTr

?."3的值域?yàn)?亍1,所以f%+gs?,解得￡%女.

2J2663

故?'π?

本題考查正弦型函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題

17.已知單位向量4,〃滿足僅Q-3b)?(20+h)=3.

(1)求a?b;

(2)求∣20M的值.

【正確答案】(1)-?;(2)√7.

【分析】(1)利用單位向量的定義、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；

(2)利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì),即可求得答案.

【詳解】(1)由條件4/+2&石-64?-352=3,

即4-4d?6-3=3,

,1

:.ab=——

2

(2)∣2α-?∣2=4tJ2-4α??+?2=4+l-4×^-∣j=7,

.?.∣2α-?∣=√7

本題主要考查了求向量的數(shù)量積和向量模，解題關(guān)鍵是掌握向量的基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分析能力和計(jì)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知函數(shù)/(x)=6CoS(2x-1)-2SinXCOSX.

(1)求Fa)的最小正周期；

JTJT

(2)求當(dāng)X∈時(shí)，/(x)的值域.

【正確答案】(1)乃；(2).

【分析】(1)展開(kāi)兩角差的正弦，再由輔助角公式化簡(jiǎn)，利用周期公式求周期；

(2)由X的范圍求出相位的范圍，再由正弦函數(shù)的有界性求/(x)的值域.

【詳解】(])∕(x)=GCOSl2x-(1-2sinXCOSX

=>/3—cos2x+——sin2x-sin2x

—cos2x+-isin2Λ=sin

22

?/(x)的最小正周期為小

Ti7i.?7i5τr

(2).?∈--，?'?2x+--∈,

44J3[_66_

.?.-i≤sin^2x+yj≤l,?八勾的值域是-g.l.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)值域等問(wèn)題，考查三角函數(shù)和差公式、

二倍角公式及圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大，綜合性較強(qiáng)，屬于簡(jiǎn)單題.

19.已知點(diǎn)A(U),B(2,lnf),。為坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)若A,B,。無(wú)法構(gòu)成三角形，求r；

(2)若一.A3O為直角三角形，求

【正確答案】(l)f=e2

⑵f=l或f=4

e^

【分析】(1)根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，

(2)由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可列式求解.

【詳解】(1)若A,B,。無(wú)法構(gòu)成三角形，則三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，故OAuoB又

2

OA=(U)1OB=(Zlnr),所以lm=2?te.故f=e"

(2)若角。為直角，則OALOB,由OA=(1,1),08=(2,Inr)得OA?O82+lnr=0?t?,

若角A為直角,則OA_LAB，由。4=(1,1),AB=(I,Inr-1)得OA?A8l+ln∕-1=0?t1-

角B為直角，則08八48，由OB=(2,lm),AB=(1,1m-1)得OB?AB2+lnr(lnr-1)=0,由于

1島-lm+2=*f-g2÷→0,此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根,

綜上E或T

20.如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限;

(1)證明：8s(α—尸)=cosαcos/+SinaSin∕?；

(提示：設(shè)ON為a的終邊，O例為夕的終邊，則M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(COSp,sin0和

(CoSa,sinα))

⑵求IOM+。M的范圍.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵［。，閭

【分析】(1)設(shè)ON為α的終邊，OM為夕的終邊，則Λ/,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(COSp,sin∕?)和

(COSa,sina),令ON與OM的夾角為。，則。=2E+α-6，Z∈Z,從而禾U用向量的數(shù)量積結(jié)合誘導(dǎo)公

式即可證明；

(2)令ON與OM的夾角為＜9,可得］＜a≤τt,利用IOM+0M-=(OM+ON,,再結(jié)合余弦函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設(shè)QV為α的終邊，。何為夕的終邊，則M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為

(cosβ,sin夕)和(CoSa,sina)

則ON=(coscr,sina),OM=(cosβ,sinβ),

,ONOM=(cos=,sinα)?(cosyff,sin∕?)=cosacosβ+s?nasinβ

設(shè)ON與OM的夾角為e,則e=2E+α-"，％∈z,

旦ON?0M=|ONl?∣0M∣?cos6=cos9

/.cosθ=cos(σ-/?)=cosacos∕?+Sinasinβ,

?cos(σ-β)=cosacos/7+sincrsinβ成立.

（2）令ON與OM的夾角為d,

因?yàn)镸,N是單位圓上的兩點(diǎn)，且分別在第一和第三象限,

TT

所以W<e≤τt?

2

I|222

?OM+ON?=OM+20MoN+ON=2+2CoS8,

JT

-<θ≤π,..-1≤cos^<0,.?.0≤2÷2cosθ<2,

,2

所以O(shè)≤∣0M+ON∣<√Σ,

故IOM+CW∣的范圍為［θ,夜).

TT

2L如圖‘在扇形"。中，半徑。P=I,圓心角々。。二,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCO內(nèi)接

于扇形，記NPoC=α,求當(dāng)ɑ取何值時(shí)，矩形ABCz）的面積最大？并求出最大面積.

Q

【分析】由題意可得Aβ=cosα-sinα,BC=sina,從而可得矩形A8C3的面積

S=變sin(2α+工)一,，再由0<α<：可得￡<2a+：<=,由此可得當(dāng)2α+f=1時(shí)，S取得最大

242444442

值.

【詳解】在RtZ?QBC中，βC=sina,OB=CoS。，

..,ADπ

在RtZXADO中，——=tan-=1l,

OA4

所以O(shè)A=AD=JBC=Sina,

所以AB=O8-。4=Cosα-Sinα,

設(shè)矩形ABC。的面積為S,則

S=AB-BC=(cosa-sinɑ)?sina=SinaCOSa-sin?a

=?sin2σ+?eos2α-?=—sin(2a+-)-?,

222242

,?τtτt_7i3ττ

由0<α<1^zα--<2a+-<—,

4444

所以當(dāng)2α+;=/即a=；時(shí)，Sa=與?,

4ZoZ

因此，當(dāng)a=g時(shí)，矩形ABCD的面積，最大面積為也二1.

82

22.已知向量α=Q”,cos2x),b=(sin2x,n),設(shè)函數(shù)/(x)=α?。，且),=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)令,J5)和

點(diǎn)(?-,-2).

(I)求機(jī)，〃的值；

(II)將y=∕(x)的圖象向左平移9(O<φ<π)個(gè)單位后得到函數(shù)y=g