【數(shù)學】基本初等函數(shù)的導數(shù)課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

課堂小結3.利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題,體會“數(shù)形結合”,“以直代曲”的數(shù)學思想方法.瞬時速度平均速度y=f(x)平均變化率瞬時變化率在x=

x0處函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導數(shù)P0Poxyy=f(x)割線切線T幾何意義割線P0P的斜率切線P0T的斜率1.導數(shù)的定義如果當?x→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作或，即

從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導數(shù)的過程可以看到，當x=x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù).這樣，當x變化時，y=f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導函數(shù)(derivedfunction)(簡稱導數(shù)).y=f(x)的導函數(shù)有時也記作y′，即復習引入2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)

f

′(x0)就是切線的斜率，即3.如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)?§5.2導數(shù)的運算

5.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)

高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修2探究新知1.函數(shù)

y＝f(x)＝c

的導數(shù)即也就是說任意一個常數(shù)的導數(shù)是0.追問：若y=c(如圖示)表示路程關于時間的函數(shù)，則y′=0的物理意義是什么？若y=c表示路程關于時間的函數(shù)，則y′=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即一直處于靜止狀態(tài).所以路程保持不變，是關于時間的常值函數(shù).xyOy＝c2.函數(shù)

y＝f(x)＝x

的導數(shù)即若y=x(如圖示)表示路程關于時間的函數(shù)，則y′=1可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速直線運動.xyy=xO追問：若y=x(如圖示)表示路程關于時間的函數(shù)，則y′=1的物理意義是什么？3.函數(shù)

y＝f(x)＝x2

的導數(shù)即追問1：y′=2x的幾何意義是什么？表示函數(shù)y＝x2的圖象上點(x,y)處切線的斜率為2x，說明隨著x的變化，切線的斜率也在變化.另一方面，從導數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，

y′=2x表明：當x<0時，隨著x的增加，|y′|越來越小，y＝x2減少得越來越慢；當x>0時，隨著x的增加，|y′|越來越大，y＝x2增加得越來越快.追問2：若表示路程關于時間的函數(shù)，則的物理意義是什么？某物體做變速直線運動，它在時刻x的瞬時速度為2x.4.函數(shù)

y＝f(x)＝x3

的導數(shù)追問1：還有沒有其它得到

的方法？即追問2：y′＝3x2的幾何意義是什么？xyOy＝x3y′＝3x2表示函數(shù)y＝x3的圖像上的點(x,y)處切線的斜率為3x2,這說明隨x的變化，切線的斜率也在變化，且恒為非負數(shù).追問3：隨著x的變化，函數(shù)y=x3的導數(shù)y′＝3x2也在變化，導數(shù)隨x的變化反映出了函數(shù)y=x3怎樣的變化？當x>0時，隨著x的增加，|y′|越來越大，y=x3增增加得越來越快；當x<0時，隨著x的增加，|y′|越來越小，y=x3增加得越來越慢.

從導函數(shù)的非負性來看，除x=0時函數(shù)的導數(shù)為0外，函數(shù)的導數(shù)恒為正，因此函數(shù)在定義域上恒為增函數(shù).xyOy＝x35.函數(shù)

y＝f(x)＝

的導數(shù)x1—追問1:畫出函數(shù)

的圖象.根據(jù)函數(shù)

的圖象，結合函數(shù)的導數(shù)，描述它的變化情況.

結合函數(shù)圖象及其導數(shù)

發(fā)現(xiàn)，當x<0時，隨著x的增加，函數(shù)減少得越來越快；當x>0時，隨著x的增加，函數(shù)減少得越來越慢.追問2：求出曲線在點(1,1)處的切線方程.x+y-2=0即6.函數(shù)

y＝f(x)＝

的導數(shù)Oxy即追問1：該函數(shù)的定義域及其導數(shù)的定義域是否一樣？不一樣，原函數(shù)的定義域為{x|x≥0}，導數(shù)的定義域為{x|x>0}.問題:前面幾個函數(shù)都是我們學過的一類基本初等函數(shù)——冪函數(shù)，根據(jù)這些冪函數(shù)的導數(shù)結果，你能總結出對于一般冪函數(shù)的導函數(shù)公式嗎？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項式系數(shù)表11121133114641151010511615201561[南宋]楊輝(n∈N*)《詳解九章算法》記載的表公式證明：的情況.說明：實際上，此公式對n∈R都成立，但證明較復雜，此處只給出了n∈N*的證明．(n∈N*)看幾個例子:練習.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程.分析：這兩個公式的證明需要用到三角函數(shù)的和差化積公式和重要的極限證明:(公式3)☆以下公式需熟記，但其推導過程不要求掌握，僅作了解證明:公式5：對數(shù)函數(shù)的導數(shù)

（1）重要極限

證明：

前面我們根據(jù)導數(shù)的定義求出了一些常用函數(shù)的導數(shù)．一般地，有下面的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表，這些公式可以直接使用．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式必須熟記于心！【思路點撥】

解答本題可先將解析式調整為基本初等函數(shù)的形式，再利用公式求導．提示：不正確．２．函數(shù)f(x)＝π＋2的導數(shù)．[解析]

∵π＋2為常數(shù)，∴f′(x)＝0.問題探究例3.假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%，物價p(單位:元)與時間t(單位:年)之間的關系為

其中p0為t=0時的物價.假定某種商品的