江蘇省揚(yáng)州市江都真武中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省揚(yáng)州市江都真武中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題中，為真命題的是（）A．?x0∈R，使得≤0B．sinx+≥2(x≠kπ，k∈Z)C．?x∈R，2x＞x2D．若命題p：?x0∈R，使得﹣x0+1＜0，則￢p：?x0∈R，都有x2﹣x+1≥0參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷A；求出的范圍，可判斷B；舉出反例x=2，可判斷C；寫出原命題的否定，可判斷D．【解答】解：恒成立，故A錯誤；，故B錯誤；當(dāng)x=2時，2x=x2，故C錯誤；若命題p：?x0∈R，使得，則￢p：?x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，則D正確；故選：D．【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了命題的否定，復(fù)合命題等知識點，難度基礎(chǔ)．2.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線∥平面，直線，則直線∥直線”結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為（

）A.大前提錯誤

B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤

D.非以上錯誤參考答案：A3.給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．已知函數(shù)f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐點是M（x0，f（x0）），則點M（）A．在直線y=﹣3x上 B．在直線y=3x上C．在直線y=﹣4x上 D．在直線y=4x上參考答案：B【考點】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0，即可得到拐點，問題得以解決．【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0，所以f（x0）=3x0，故M（x0，f（x0））在直線y=3x上．故選：B．【點評】本題是新定義題，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)零點的求法；解答的關(guān)鍵是函數(shù)值滿足的規(guī)律，是中檔題．4.集合與都是集合的子集,則圖中陰影部分所表示的集合為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象可能是（） 參考答案：C函數(shù)是偶函數(shù)，排除，當(dāng)，選6.如右圖所示，這個程序輸出的值為（

）.

.

.

.參考答案：A略7.三個平面把空間分成７部分時，它們的交線有（

）A．１條

B．２條

C．３條

D．１條或２條參考答案：C8.若存在x∈[﹣2，3]，使不等式2x﹣x2≥a成立，則實數(shù)a的取值范圍是（） A．（﹣∞，1] B． （﹣∞，﹣8] C． [1，+∞） D． [﹣8，+∞）參考答案：A略9.在極坐標(biāo)系中，直線與直線l關(guān)于極軸對稱，則直線l的方程為（）A．B．C．D．參考答案：A提示：把換成，即得結(jié)果10.直線x+y+1=0被圓x2+y2=1所截得的弦長為(

)A． B．1 C． D．參考答案：D【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)和半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線x+y+1=0的距離d，即可求出弦長為2，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：圓x2+y2=1的圓心O（0，0），半徑等于1，圓心到直線x+y+1=0的距離d=，故直線x+y+1=0被圓x2+y2=1所截得的弦長為2=，故選D．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點P(1,1)在圓(x－a)2+(y+b)2=4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍為__________．參考答案：因為在圓內(nèi)部，∴，，，，∴，．12.設(shè)向量，，且，則的值為

．參考答案：168∵，∴設(shè)，又∵，，，即，解得，∴.故.

13.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)的錯誤共有____________種.參考答案：11略14.若集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，則集中元素個數(shù)的最大值為

.參考答案：31解析：從中每次取一對作乘積，共得個值，但其中有重復(fù)，重復(fù)的情況為，共種，因此集合中至多有

個數(shù)15.已知四面體P－ABC中，PA＝PB＝PC，且AB＝AC，∠BAC＝90°，則異面直線PA與BC所成的角為________．

參考答案：90°如圖，取BC的中點D，連結(jié)PD，AD.∵△PBC是等腰三角形，∴BC⊥PD.又∵△BAC是等腰三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥平面PAD.∴BC⊥PA，∴異面直線PA與BC所成的角為90°.16.已知函數(shù)，且無實根，則下列命題中：①方程一定無實根②若，則不等式對一切實數(shù)都成立③若，則必存在實數(shù)，使得④若，則不等式對一切都成立其中正確的命題序號有_________________（寫出所有真命題的序號）參考答案：①②④17.不等式的解集為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知直線l過點P（2，0），斜率為，直線l和拋物線y2=2x相交于A、B兩點，設(shè)線段AB的中點為M，求：（1）P、M兩點間的距離|PM|；（2）線段AB的長|AB|．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）求出直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程y2=2x，利用參數(shù)的幾何意義求出P、M兩點間的距離|PM|；（2）利用參數(shù)的幾何意義求出線段AB的長|AB|．【解答】解：（1）∵直線l過點P（2，0），斜率為，設(shè)直線的傾斜角為α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．∵直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=2x中，整理得8t2﹣15t﹣50=0，則△=（﹣15）2﹣4×8×（﹣50）＞0．設(shè)這個二次方程的兩個根分別為t1、t2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1+t2=，t1t2=﹣由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得|PM|=|t1+t2|=（2）|AB|=|t2﹣t1|==．19.已知A，B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P．（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，求A，B兩點的縱坐標(biāo)之積；（Ⅱ）若點P的坐標(biāo)為（4，0），弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出拋物線的焦點，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立拋物線方程，消去x，可得y的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可求得A，B兩點的縱坐標(biāo)之積；（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線和拋物線方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，以及弦長公式，化簡整理，再由二次函數(shù)的最值，即可求得弦長的最大值．【解答】解：（Ⅰ）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），依題意，設(shè)直線AB方程為y=k（x﹣1），其中k≠0．將代入直線方程，得，整理得ky2﹣4y﹣4k=0，所以yAyB=﹣4，即A，B兩點的縱坐標(biāo)之積為﹣4．（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0．由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1．所以，．設(shè)AB中點坐標(biāo)為（x0，y0），則，，所以弦AB的垂直平分線方程為，令y=0，得．由已知，即2k2=2﹣kb．====，當(dāng)，即時，|AB|的最大值為6．當(dāng)時，；當(dāng)時，．均符合題意．所以弦AB的長度存在最大值，其最大值為6．【點評】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．20.已知數(shù)列滿足：，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）求證數(shù)列為等比數(shù)列并求其通項公式；（Ⅲ）求和參考答案：解析：（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)∴

∴（Ⅲ）∵

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴=21.如圖，已知A、B兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設(shè)M是AB中點，在AB的中垂線上有一高鐵站P，PM的距離為10公里.為方便居民出行，在線段PM上任取一點O（點O與P、M不重合）建設(shè)交通樞紐，從高鐵站鋪設(shè)快速路到O處，再鋪設(shè)快速路分別到A、B兩處.因地質(zhì)條件等各種因素，其中快速路PO造價為1.5百萬元/公里，快速路OA造價為1百萬元/公里，快速路OB造價為2百萬元/公里，設(shè)，總造價為y(單位：百萬元).（1）求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；（2）求總造價的最小值，并求出此時的值.參考答案：（1），()（2）最小值為，此時【分析】（1）由題意，根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可得到；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值?！驹斀狻?1),，，，(2)設(shè)則令，又，所以.當(dāng),,,單調(diào)遞減；當(dāng),,,單調(diào)遞增；所以的最小值為.答：的最小值為(百萬元)，此時【點睛】本題主要考查了函數(shù)的實際應(yīng)用問題，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值問題，其中解答中認(rèn)真審題，合理建立函數(shù)的關(guān)系式，準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。22.某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次