2022-2023學(xué)年北京第七十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

2022-2023學(xué)年北京第七十一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若命題“”是假命題，則在下列各結(jié)論中，正確的為（

）①命題“”是真命題；

②命題“”是假命題；③命題“”是真命題；

④命題“”是假命題.A.①③

B.②④

C.②③

D.①④參考答案：命題“”是假命題都是假命題都是真命題，選A.2.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)、F2(，0)，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足則該雙曲線的方程是()A．

B．

C. D.參考答案：A3.直線=和直線的位置關(guān)系（）A.垂直

B.平行

C.相交但不垂直

D.重合參考答案：B4.命題p：橢圓與有相同焦點(diǎn)，命題q：函數(shù)的定義域是，則（）A．“p或q”為假

B．“p且q”為真

C．p真q假

D．p假q真參考答案：D略5.下列說法正確的是（

）．A．梯形一定是平面圖形 B．四邊形一定是平面圖形C．四邊形相等的四邊形為菱形 D．兩個(gè)相交平面有不在同一條直線上的三個(gè)交點(diǎn)參考答案：A選項(xiàng)，梯形上下底互相平行，兩個(gè)平行線確定一個(gè)平面，四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，所以梯形是平面圖形，故正確；選項(xiàng)，空間四邊形不是平面圖形，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，空間四邊形四條邊相等時(shí)不是菱形，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，若兩個(gè)平面相交，則交點(diǎn)都在同一條直線上，故錯(cuò)誤．綜上，故選．6.數(shù)列1，3，6，10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是

（

）A.an=n2-(n-1) B.an=n2-1

C.an=

D.an=參考答案：C7.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.直線x﹣y+1=0的傾斜角為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】x﹣y+1=0變?yōu)椋簓=x+1，求出它的斜率，進(jìn)而求出傾斜角．【解答】解：將x﹣y+1=0變?yōu)椋簓=x+1，則直線的斜率k=1，由tan=1得，所求的傾斜角是，故選A．9.當(dāng)時(shí)，下面的程序段執(zhí)行后所得的結(jié)果是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知命題p：，則命題p的否定是A．B．C．D．

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),若,則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________．參考答案：【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得出在上是減函數(shù)，由此可得不等式．【詳解】∵是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，∴在上減函數(shù)，．又，∴，解得且．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性結(jié)合起來解函數(shù)不等式，這種問題一類針對(duì)偶函數(shù)，一類針對(duì)奇函數(shù)，它們有固定的解題格式．如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，首先把不等式轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為．12.在鈍角△ABC中，已知a=1,b=2,則最大邊c的取值范圍是____________參考答案：(,3)略13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x|+y≤1，則的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的公式結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：由|x|+y≤1得y≤1﹣|x|，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)A（3，5）的斜率，由圖象知過A的直線的斜率等于1和﹣1時(shí)，直線和區(qū)域的邊界直線平行，則的取值范圍是k＞1或k＜﹣1，即（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.如圖，將全體正奇數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第8行（從上向下數(shù)）第3個(gè)數(shù)（從左向右數(shù)）是

．參考答案：95【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】斜著看，根據(jù)數(shù)陣的排列規(guī)律確定第10行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為第+3=48個(gè)奇數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)三角形數(shù)陣可知，斜著看，第n斜行奇數(shù)的個(gè)數(shù)為n個(gè)，則前n﹣1斜行奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為1+2+3+…+（n﹣1）=，則斜著看，第10行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為第+3=48個(gè)奇數(shù)，所以數(shù)陣中第8行（從上向下數(shù)）第3個(gè)數(shù)（從左向右數(shù)）是2×48﹣1=95．故答案為95．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．15.從只有3張中獎(jiǎng)的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，設(shè)X表示直至抽到中獎(jiǎng)彩票時(shí)的次數(shù)，則P（X=4）=．參考答案：【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】確定從只有3張中獎(jiǎng)的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，寫出所有的情況；前3次沒有中獎(jiǎng)，最后1次中獎(jiǎng)的情況，利用古典概型概率公式，即可求解．【解答】解：從只有3張中獎(jiǎng)的10張彩票中不放回隨機(jī)逐張抽取，所有的情況為：=720，X表示直至抽到中獎(jiǎng)彩票時(shí)的次數(shù)為4，前3次沒有中獎(jiǎng)，最后1次中獎(jiǎng)的情況為???=630，因此所求的概率值為：P==．故答案為：．16.如圖，在正三棱柱中，．若二面角的大小為，則點(diǎn)到平面的距離為_____________．

參考答案：略17.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，＝λ.若·＝－，則實(shí)數(shù)λ＝

▲

．參考答案：【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的運(yùn)算法則用表示出和，利用，列方程可求出的值.【詳解】如圖所示，中，，，，解得，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，3），且離心率e=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過點(diǎn)B（0，﹣4）的直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)M、N，且滿足?=（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+4，聯(lián)立，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，3），且離心率e=，∴，解得a=4，c=2，b==2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)直線l的方程存在，若l的斜率不存在，則M（0，2），N（0，﹣2），此時(shí)，不成立．若l的斜率k存在，則l的方程為y=kx+4，聯(lián)立，得（4k2+3）x2+32kx+16=0，△＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，y1y2=（kx1+4）（kx2+4）=k2x1x2+4k（x1+x2）+16，∵?=，∴x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣+16=，解得k2=1．∴直線l的方程為y=±x+4．19.(本小題12分)如圖，已知的半徑是１，點(diǎn)Ｃ在直徑AB的延長(zhǎng)線上,,點(diǎn)P是上半圓上的動(dòng)點(diǎn),以為邊作等邊三角形，且點(diǎn)D與圓心分別在的兩側(cè)．(Ⅰ)若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù)；

(Ⅱ)求四邊形的面積的最大值．參考答案：20.如圖，曲線C由上半橢圓C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分拋物線C2：y=﹣x2+1（y≤0）連接而成，C1與C2的公共點(diǎn)為A，B，其中C1的離心率為．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與C1，C2分別交于點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A，B），若AP⊥AQ，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，設(shè)C1：的半焦距為c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C1的方程為+x2=1（y≥0），設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）設(shè)點(diǎn)P（xp，yp），依題意，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用?=0，可求得k的值，從而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半橢圓C1的左右頂點(diǎn)．設(shè)C1：的半焦距為c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半橢圓C1的方程為+x2=1（y≥0）．易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）設(shè)點(diǎn)P（xp，yp），∵直線l過點(diǎn)B，∴x=1是方程（*）的一個(gè)根，由求根公式，得xp=，從而yp=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．同理，由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴?=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．經(jīng)檢驗(yàn)，k=﹣符合題意，故直線l的方程為y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．21.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=4an+2n+1（n∈N*）．（1）令bn=+1，求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求滿足an≥240的最小正整數(shù)n．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等比關(guān)系的確定．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由an+1=4an+2n+1，bn=+1，可得bn+1=2bn，結(jié)合a1=2，可得數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，（2）由（1）得：bn=2n，結(jié)合bn=+1，可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）令t=2n，則an≥240可化為：t2﹣t≥240，先解二次不等式，再解指數(shù)不等式可得答案．【解答】證明：（1）∵an+1=4an+2n+1，bn=+1，∴bn+1=+1===2（+1）=2bn，又∵a1=2，∴b1=2，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，（2）由（1）得：bn=2n，即+1=2n，∴an=4n﹣2n，（3）令t=2n，則an≥240可化為：t2﹣t≥240，解得：t≥16，即2n≥16，