第二章：一元二次函數(shù)、方程和不等式章末重點題型復習（解析版）

第二章：一元二次函數(shù)、方程和不等式重點題型復習題型一不等式的性質應用【例1】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學考試）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則．【答案】C【解析】A選項，，故A錯誤；B選項，，因不清楚的正負情況，故B錯誤；C選項，當時，；當時，，當時，，綜上，故C正確；D選項，，故D錯誤.故選：C【變式1-1】（2023·全國·高一專題練習）下列不等式正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則【答案】D【解析】對于A，當，，時滿足，但，所以A錯誤；對于B，當，，時，滿足，但，所以B錯誤；對于C，由不等式的基本性質易知，當，，時滿足，，但，所以C錯誤；對于D，，所以，故D正確．故選：D．【變式1-2】（2022秋·廣西百色·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知實數(shù)，其中，則下列關系中恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，由于，故兩邊同乘以b，即，A正確；對于B，當時，不成立，B錯誤；對于C，由于，故，C正確；對于D，因為，則，故，故，D正確，故選：ACD【變式1-3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開學考試）（多選）若，，則下列不等式一定成立的是（）.A．B．C．D．【答案】BD【解析】對于A：，只有當時，，故A錯誤；對于B：，因為，所以，故B正確；對于C：，因為，所以，故C錯誤；對于D：因為所以，，所以，故D正確；故選：BD【變式1-4】（2023秋·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）（多選）下列命題中正確的是（）A．若ac2>bc2，則a>bB．若a2>b2，則a>bC．若a>b>0，則D．若，則a>b【答案】AC【解析】對于A，若ac2>bc2，又c2>0，則a>b，故選項A正確；對于B，若，滿足a2>b2，但是a<b，故選項B錯誤；對于C，若a>b>0，則，所以，即，故選項C正確；對于D，若，滿足，但是a<b，故選項D錯誤；故選：AC.題型二求代數(shù)式的取值范圍【例2】（2022秋·廣西南寧·高一?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以.故選：D【變式2-1】（2022秋·浙江寧波·高一效實中學?？计谥校┮阎?，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，則有，將不等式的兩邊同時乘以可得：，所以，故選：.【變式2-2】（2022秋·上海黃浦·高一上海市光明中學?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍是．【答案】【解析】，，則，，故由不等式的可加性可知，，故的取值范圍是．故答案為：．【變式2-3】（2022秋·吉林·高一吉林毓文中學?？茧A段練習）若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為．【答案】【解析】，因為實數(shù)，滿足，所以，即的取值范圍為．故答案為：．題型三利用基本不等式求最值【例3】（2023春·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，即，當且僅當時等號成立．故選:B．【變式3-1】（2022秋·陜西商洛·高一?？计谥校┮阎?，則取得最大值時x的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，則由基本不等式得，，當且僅當，即時，等號成立，故取得最大值時x的值為故選：【變式3-2】（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則的最小值為.【答案】10【解析】因為，所以，所以又因為，，所以，，由基本不等式得：當且僅當，即時等號成立.【變式3-3】（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知正數(shù)a，b滿足，則（）A．a(chǎn)b的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最大值為【答案】AB【解析】對于選項A，正實數(shù)，滿足，由基本不等式得，當且僅當時取等號，則A正確；對于選項B，，當且僅當時取等號，則B正確；對于選項C，，當且僅當時取等號，即，則C錯誤；對于選項D，，則，，當且僅當，即時，取等，但，故等號無法取到，故D錯誤．故選：AB.題型四基本不等式恒成立問題【例4】（2022秋·高一單元測試）當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令（），則，當且僅當=2時，等號成立.由題意知，所以.故選：A.【變式4-1】（2022秋·高一課時練習）若不等式對任意正數(shù)恒成立，則實數(shù)x的最大值為（）A．B．2C．D．1【答案】C【解析】由題意不等式對任意正數(shù)恒成立，即恒成立，又，當且僅當時，等號成立，則，當且僅當時，等號成立，故，即實數(shù)x的最大值為，故選：C【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）已知時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得時，恒成立，又，當且僅當，即時取等號，所以恒成立，即，解得.所以，實數(shù)的取值范圍是.故選:D【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習）若正數(shù)x，y滿足，則使得不等式恒成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，且，則則，當且僅當時等號成立，所以，解得，故選：B.【變式4-4】（2023春·山西忻州·高一統(tǒng)考開學考試）已知，若恒成立，則的最大值為（）A．4B．5C．24D．25【答案】C【解析】∵，所以，∴，當且僅當，即時等號成立，即，由題意可得：，又，解得，故的最大值為24.故選：C.題型五基本不等式的實際應用【例5】（2021秋·高一課時練習）經(jīng)觀測，某公路段在某時段內的車流量y（單位:千輛/時）與汽車的平均速度v（單位:千米/時）之間有如下關系.在該時段內，當汽車的平均速度為千米/時時車流量最大，最大車流量為千輛/時（精確到0.01）.【答案】4011.08【解析】因為，，當且僅當，即時，等號成立，即當汽車的平均速度為40千米/時時車流量最大，最大車流量為千輛/時.故答案為：40，11.08【變式5-1】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學校考階段練習）某工廠過去的年產(chǎn)量為，技術革新后，第一年的年產(chǎn)量增長率為，第二年的年產(chǎn)量增長率為，這兩年的年產(chǎn)量平均增長率為，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可知：，即，因為，當且僅當時取等號，所以，即，故選：B.【變式5-2】（2023秋·高一單元測試）為迎接四川省第十六屆少數(shù)民族傳統(tǒng)運動會，州民族體育場進行了改造翻新，在改造州民族體育場時需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限為15年，已知每千套座椅建造成本是8萬元，設每年的管理費用為萬元與總座椅數(shù)千套，兩者滿足關系式：．15年的總維修費用為80萬元，記為15年的總費用．（總費用=建造成本費用+使用管理費用+總維修費用）．請問當設置多少套座椅時，15年的總費用最小，并求出最小值．【答案】千套時，取得最小值為180萬元【解析】由題意得：建造成本費用為，使用管理費：，所以，，當且僅當時，即千套時，取得最小值為180萬元．【變式5-3】（2023秋·高一單元測試）如圖所示，有一批材料長為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長）的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成兩個面積相等的矩形，那么圍成的矩形場地的最大面積是多少？【答案】矩形面積最大為48平方米【解析】由題意所示，，∵，∴，∴，函數(shù)的對稱軸為，∴當時，面積取得最大值，為，（或者：由于，所以，當且僅當，即時取等號.）∴矩形面積最大為48平方米．題型六解一元二次不等式【例6】（2022春·云南·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式的解集為.故選:D.【變式6-1】（2022秋·四川成都·高一石室中學?？计谥校┎坏仁降慕饧牵ǎ〢．或B．C．或D．【答案】A【解析】由或，所以不等式的解集為：或，故選：A.【變式6-2】（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？茧A段練習）“”是“不等式對任意的恒成立”的（）條件A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，對任意的恒成立，當時，則，解得：，故的取值范圍為．故“”是的充分不必要條件．故選：A【變式6-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關于x的不等式【答案】答案見解析【解析】原不等式可化為.當，即時，或；當，即時，；當，即時，或.綜上，當時，解集為或；當時，解集為；當時，解集為或.題型七由一元二次不等式的解求參數(shù)【例7】（2022秋·四川成都·高一石室中學?？茧A段練習）（多選）已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（）A．B．C．的解集為D．的解集為或【答案】ABC【解析】因為不等式的解集為或，所以的兩個根為1和3，且，由韋達定理得，得，因為，所以A正確，因為，所以B正確，不等式可化為，因為，所以，得，所以的解集為，所以C正確，不等式可化為，因為，所以，即，得，所以不等式的解集為，所以D錯誤.故選：ABC.【變式7-1】（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中學?？计谥校ǘ噙x）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（）A．B．的解集為C．D．的解集為【答案】ABD【解析】關于的不等式的解集為或，故，且，整理得到，，對選項A：，正確；對選項B：，即，解得，正確；對選項C：，錯誤；對選項D：，即，即，解得，正確.故選：ABD【變式7-2】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學?？计谀ǘ噙x）已知關于的不等式解集為或，則下列結論正確的有（）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】AD【解析】關于的不等式解集為或,結合二次函數(shù)和一元二次方程以及不等式的關系，可得，且是的兩根，A正確；則，故，所以即，即的解集為，B錯誤；由于的不等式解集為或,故時，，即，C錯誤；由以上分析可知不等式即，因為，故或，故不等式的解集為或，D正確，故選：AD【變式7-3】（2022秋·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】A【解析】的解集為，故為方程的兩個根，且（當且僅當時等號成立）.故選：A.【變式7-4】（2021秋·高一課時練習）若不等式的解集為或，則的值為．【答案】－3【解析】原不等式可化為，由已知，可得，且和是方程的兩個實根，即和是方程的兩個實根，所以，解得.故答案為：.題型八一元二次不等式恒成立與有解問題【例8】（2023春·江西宜春·高一江西省豐城拖船中學?？计谀┤裘}“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．