湖南省懷化市洪江區(qū)第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省懷化市洪江區(qū)第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.歐拉公式eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e3i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：B【考點】&I：歐拉公式．【分析】由歐拉公式得e3i=cos3+isin3，由此能求出e3i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第幾象限．【解答】解：∵eix=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位），∴e3i=cos3+isin3，∵3∈（），∴cos3∈（﹣1，0），sin3∈（0，1），∴e3i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限．故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中所在象限的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意歐拉公式的合理運用．2.過點P（﹣1，2）的動直線交圓C：x2+y2=3于A，B兩點，分別過A，B作圓C的切線，若兩切線相交于點Q，則點Q的軌跡為（）A．直線的一部分 B．圓的一部分C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分參考答案：A【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)圓的對稱性可得，Q點是經(jīng)過C點垂直于AB的直線與過A點切線的交點．由此設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式，分別求出直線AQ、CQ方程，兩個方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程，即為點Q軌跡所在直線方程，再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi)，可得Q軌跡是直線的一部分．【解答】解：設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的對稱性可得，Q點是經(jīng)過C點垂直于AB的直線與A點切線的交點，∵圓x2+y2=3的圓心為C（0，0）∴切線AQ的斜率為k1=﹣=﹣，得AQ方程為y﹣n=﹣（x﹣m），化簡得y=﹣x+…①又∵直線PA的斜率kPA=，∴直線CQ的斜率k2=﹣，得直線CQ方程為y=x…②①②聯(lián)立，消去m、n得x﹣2y+3=0，即為點Q軌跡所在直線方程．由于直線x﹣2y+3=0與圓C：x2+y2=3相交，∴直線位于圓上或圓內(nèi)的點除外．故選：A．3.如果執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，則輸出的S值為A． B．2 C． D．參考答案：B4.長方體，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A異面直線與所成的角即為與所成的角.在中，本題選擇A選項.5.等比數(shù)列的第四項為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.若實數(shù)，滿足，則的最小值為A．18

B．12

C．9

D．6參考答案：D略7.已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)·x－2y＋3＝0平行，則k的值是()A．1或3

B．1或5

C．3或5

D．1或2參考答案：C8.設(shè)k=1，2，3，4，5，則（x+2）5的展開式中xk的系數(shù)不可能是（） A．10 B．40 C．50 D．80參考答案：C【考點】二項式定理． 【專題】計算題． 【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的xk的系數(shù)，將k的值代入求出各種情況的系數(shù)． 【解答】解：（x+2）5的展開式中xk的系數(shù)為C5k25﹣k 當(dāng)k﹣1時，C5k25﹣k=C5124=80， 當(dāng)k=2時，C5k25﹣k=C5223=80， 當(dāng)k=3時，C5k25﹣k=C5322=40， 當(dāng)k=4時，C5k25﹣k=C54×2=10， 當(dāng)k=5時，C5k25﹣k=C55=1， 故展開式中xk的系數(shù)不可能是50 故選項為C 【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式求特定項的系數(shù)． 9.已知記，要得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（）A.向左平移個單位長度

B.向右平移個單位長度

C.向右平移個單位長度

D.向左平移個單位長度參考答案：D略10.若復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，則z的虛部為（）A．﹣4 B． C．4 D．參考答案：D【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】由題意可得z==，再利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則化簡為+i，由此可得z的虛部．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虛部等于，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點N（a,b）滿足方程關(guān)系式a2＋b2－4a－14b＋45=0，則的最大值為

．參考答案：2+略12.已知點A（1，2）、B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是．參考答案：4x﹣2y﹣5=0【考點】直線的點斜式方程．【分析】要求線段AB的垂直平分線，即要求垂直平分線線上一點與直線的斜率，根據(jù)中點坐標公式求出AB的中點M的坐標，利用A與B的坐標求出直線AB的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為﹣1得到垂直平分線的斜率，根據(jù)M的坐標和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程即可．【解答】解：設(shè)M的坐標為（x，y），則x==2，y==，所以M（2，）因為直線AB的斜率為=﹣，所以線段AB垂直平分線的斜率k=2，則線段AB的垂直平分線的方程為y﹣=2（x﹣2）化簡得4x﹣2y﹣5=0故答案為：4x﹣2y﹣5=013.等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n+t，則t+a3的值為

．參考答案：17【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意易得數(shù)列的前3項，可得t的方程，解t值可得答案．【解答】解：由題意可得a1=S1=3+t，a2=S2﹣S1=6，a3=S3﹣S2=18，由等比數(shù)列可得36=（3+t）?18，解得t=﹣1，∴t+a3=﹣1+18=17．故答案為17．14.設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)滿足，則不等式的解集為__________．參考答案：(1,+∞)【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)F（x），則F′（x），∵，∴F′（x）＞0，即函數(shù)F（x）在定義域上單調(diào)遞增．∵∴，即F（x）＜F（2x）∴，即x＞1∴不等式的解為故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．15.已知雙曲線x2﹣my2=1的虛軸長是實軸長的3倍，則實數(shù)m的值是．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線x2﹣my2=1的虛軸長是實軸長的3倍，列出方程求解即可．【解答】解：雙曲線x2﹣my2=1的虛軸長是實軸長的3倍，可得：=3，解得m=．故答案為：．16.曲線與曲線所圍成的區(qū)域的面積為__________.參考答案：【分析】聯(lián)立方程組求出積分的上限和下限，結(jié)合積分的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】由曲線y＝x與y＝2-x2，得2-x2=x，解得x＝-2或x＝1，則根據(jù)積分的幾何意義可知所求的幾何面積（2x-）＝==；故答案為：．【點睛】本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.若曲線存在垂直于軸的切線，則實數(shù)取值范圍是_________.參考答案：a<0.略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.小王為了鍛煉身體，每天堅持“健步走”，并用計步器進行統(tǒng)計．小王最近8天“健步走”步數(shù)的頻數(shù)分布直方圖（圖1）及相應(yīng)的消耗能量數(shù)據(jù)表（表1）如下：健步走步數(shù)（前步）16171819消耗能量（卡路里）400440480520（Ⅰ）求小王這8天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)；（Ⅱ）從步數(shù)為17千步，18千步，19千步的幾天中任選2天，求小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（I）由已知條件利用平均數(shù)公式能求出小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)．（II）設(shè)小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A．“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為a1，a2，“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1，“健步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1，c2．利用列舉法能求出小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率．【解答】解：（I）小王這8天每天“健步走”步數(shù)的平均數(shù)為（千步）．…（II）設(shè)小王這2天通過“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里為事件A．“健步走”17千步的天數(shù)為2天，記為a1，a2，“健步走”18千步的天數(shù)為1天，記為b1，“健步走”19千步的天數(shù)為2天，記為c1，c2．5天中任選2天包含基本事件有：a1a2，a1b1，a1c1，a1c2，a2b1，a2c1，a2c2，b1c1，b1c2，c1c2，共10個．事件A包含基本事件有：b1c1，b1c2，c1c2共3個．所以．…19.一個盒子中裝有2個紅球，4個白球，除顏色外，它們的形狀、大小、質(zhì)量等完全相同（1）采用不放回抽樣，先后取兩次，每次隨機取一個球，求恰好取到1個紅球，1個白球的概率；（2）采用放回抽樣，每次隨機抽取一球，連續(xù)取3次，求至少有1次取到紅球的概率．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】（1）利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰好取到1個紅球，1個白球的概率．（2）采用放回抽樣，每次取到紅球的概率都是，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少有1次取到紅球的概率．【解答】解：（1）一個盒子中裝有2個紅球，4個白球，除顏色外，它們的形狀、大小、質(zhì)量等完全相同，采用不放回抽樣，先后取兩次，每次隨機取一個球，恰好取到1個紅球，1個白球的概率為：p1=+=．（2）采用放回抽樣，每次取到紅球的概率，∴至少有1次取到紅球的概率為p2=．20.求證參考答案：即證

即證

因為顯然成立，所以原不等式成立。21.如圖是某一算法流程圖。（1）

請用for語句表示該算法（4分）（2）

請用DoLoop語句表示該算法（4分）（3）

請指出這一算法的功能（4分）

參考答案：解析：程序如下：（1）s=0,n=2

（2）s=0,n=2,k=1

Fork=1To10

Do

s=s+1/n

s=s+1/n

n=n+2

n=n+2

Next

k=k+1

輸出s

LoopWhilek＜＝10

輸出s（3）計算：1/2+1/4+1/6+…+1/20的值22.某同學(xué)在生物研究性學(xué)習(xí)中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究，于是他在4月份的30天中隨機挑選了5天進行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日

期4月1日

4月7日

4月15日

4月21日

4月30日

溫差1011