基于MATLAB的IIR濾波器的設(shè)計及應(yīng)用樣本

目錄前言---------------------------------------------------3數(shù)字濾波器--------------------------------------------41.1數(shù)字濾波器技術(shù)發(fā)展?fàn)顩r----------------------------41.2MATLAB軟件簡介-------------------------------------51.3數(shù)字濾波器及其MATLAB實現(xiàn)----------------------------71.4IIR數(shù)字濾波器基本概念-----------------------------8IIR數(shù)字濾波器設(shè)計辦法比較--------------------------112.1概述----------------------------------------------112.2四種設(shè)計辦法比較-----------------------------------122.3比較成果分析--------------------------------------14IIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程及辦法---------------------16IIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)辦法----------------------------174.1脈沖響應(yīng)不變法-------------------------------------174.2雙線性變換法---------------------------------------194.2.1巴特沃斯低通濾波器設(shè)計---------------------224.2.2切比雪夫低通濾波器設(shè)計---------------------245.各種設(shè)計辦法MATLAB實現(xiàn)---------------------------295.1基于模仿低通濾波器原型MATLAB實現(xiàn)----------------295.2基于適當(dāng)類型模仿濾波器MATLAB實現(xiàn)----------------305.3基于直接原型變換法MATLAB實現(xiàn)--------------------31IIR數(shù)字濾波器應(yīng)用-----------------------------------33——————————————————————————————————結(jié)論--------------------------------------------------36參照文獻-------------------------------------------------37摘要依照IIR數(shù)字濾波器設(shè)計原理，提出了IIR數(shù)字濾波器迅速設(shè)計辦法，并在matlab環(huán)境下做出了實現(xiàn)迅速設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)計系統(tǒng).在該系統(tǒng)中，只需要將數(shù)字濾波器技術(shù)性能指標(biāo)依照指定或是需要設(shè)計辦法（如雙線性變換法或脈沖響應(yīng)不變法等），轉(zhuǎn)換為模仿濾波器技術(shù)性能指標(biāo)，依照指定模仿濾波器設(shè)計出相應(yīng)數(shù)字濾波器，該系統(tǒng)中指定模仿濾波器為巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器，該系統(tǒng)為迅速、高效地設(shè)計IIR數(shù)字濾波器提供了一種可靠而有效工作平臺.本文一方面對MATLAB軟件進行了簡介，并對數(shù)字濾波器在其環(huán)境下如何實現(xiàn)進行了簡介；另一方面描述了數(shù)字濾波器基本概念，其涉及系統(tǒng)描述、系統(tǒng)傳遞函數(shù)、基本構(gòu)造運算單元；本文重點描述了IIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程及幾種設(shè)計辦法，并對IIR濾波器仿真做了某些簡介。核心詞：IIR數(shù)字濾波器；模仿濾波器；脈沖響應(yīng)；數(shù)字頻率；設(shè)計系統(tǒng)；雙線性變換；幅頻特性AbstractThefastdesignmethodofIIR(InfiniteImpulseresponse)filterisprovidedbasedontheprincipleoffilterdesign，andthedesignsystemoftheIIRfilterworkedoutundertheMATLABenvironment.Itisnecessarythattheparameterofdigitalfilteristransformedtotheparameterofanalogfilterbasedontheindicatedmethod(forexample，themethodofdoublelineartransformorthemethodofnon-changingimpulseresponse，etc.),andthedigitalfilterisdesignedbasedontheindicatedanalogfilter.TheButterworthfilterandtheChebyshevfilter(bothareanalogfilter)areindicated.Areliableandefficientworkstationisprovidedinordertodesignfilterquicklyandefficiently.FirstthistextcarriesontheintroductiontothesoftwareofMATLAB，anddescribesthedesignofdigitalfilterbasedonMATLAB;Describesthebasicconceptofthedigitalfilterthenextinorder，itincludesthedescriptionofsystem,deliveringfunctionofthesystem,thebasicstructureoperationunit;ThistextpointdescribesdesignprocessandseveraldesignmethodsoftheIIRdigitalfilterandthesimulationoftheIIRfiltertodosomeintroduction.Keywords：IIRdigitalfilter；analogfilter；impulseresponse；digitalfrequency；designsystem；doublelineartransformation；characterofmagnitudeandfrequency基于MATLABIIR濾波器設(shè)計及應(yīng)用前言數(shù)字濾波器(DigitalFilter)是指輸入、輸出都是離散時間信號，通過一定運算關(guān)系變化輸入信號所含頻率成分相對比例或者濾除某些頻率成分器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號解決中起著非常重要作用，在信號過濾、檢測與參數(shù)預(yù)計等方面，是使用最為廣泛一種線性系統(tǒng)。實現(xiàn)數(shù)字濾波器辦法有兩種，一是采用計算機軟件進行，就是把所要完畢工作通過程序讓計算機來實現(xiàn)；二是設(shè)計專用數(shù)字解決硬件。這個地方重要用到就是第一種辦法。即是用Matlab提供信號解決工具箱來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。Matlab信號解決工具箱提供了豐富設(shè)計辦法，可以使得繁瑣程序設(shè)計簡化成函數(shù)調(diào)用，只要以對的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用函數(shù)，就可以對的快捷地得到設(shè)計成果。數(shù)字濾波器1.1數(shù)字濾波器技術(shù)發(fā)展?fàn)顩r數(shù)字濾波器是數(shù)字信號解決理論一某些。數(shù)字信號解決重要是研究用數(shù)字或符號序列來表達(dá)信號波形，并用數(shù)字方式去解決這些序列，把它們變化成在某種意義上更為有但愿形式，以便預(yù)計信號特性參量，或削弱信號中多余分量和增強信號中有用分量。詳細(xì)來說，凡是用數(shù)字方式對信號進行濾波、變換、調(diào)制、解調(diào)、均衡、增強、壓縮、固定、辨認(rèn)、產(chǎn)生等加工解決，都可納入數(shù)字信號解決領(lǐng)域。數(shù)字信號解決學(xué)科一項重大進展是關(guān)于數(shù)字濾波器設(shè)計辦法研究。關(guān)于數(shù)字濾波器，早在上世紀(jì)40年代末期就有人討論它也許性問題，在50年代也有人討論過數(shù)字濾波器，但直到60年代中期，才開始形成關(guān)于數(shù)字濾波器一整套完整正規(guī)理論。在這一時期，提出了各種各樣數(shù)字濾波器構(gòu)造，有以運算誤差最小為特點，有則以運算速度高見長，而有則兩者兼而有之。浮現(xiàn)了數(shù)字濾波器各種通近訪法和實現(xiàn)辦法，對遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面比較，統(tǒng)一了數(shù)字濾波器基本概念和理論。數(shù)字濾波器領(lǐng)域一種重要發(fā)展是對有限沖激響應(yīng)(FIR)和無限沖激響應(yīng)(IIR)關(guān)系結(jié)識轉(zhuǎn)化。在初期，普通以為IIR濾波器比FIR濾波器具備更高運算效率，因而明顯傾向前者，但當(dāng)人們提出用迅速傅立葉變換(FFT)實現(xiàn)卷積運算概念之后，發(fā)現(xiàn)高階FIR濾波器也可以用很高運算效率來實現(xiàn)，這就促使人們對高性能FIR濾波器設(shè)計辦法和濾波器頻域設(shè)計辦法進行了大量研究，從而浮現(xiàn)了此后數(shù)字濾波器設(shè)計中頻域辦法和適于辦法并駕齊驅(qū)局面。然而，這些均屬數(shù)字濾波器初期研究。初期數(shù)字濾波器盡管在語音、聲納、地震和醫(yī)學(xué)信號解決中曾經(jīng)發(fā)揮過作用，但由于當(dāng)時計算機主機價格很昂貴，嚴(yán)重地阻礙了專用數(shù)字濾波器發(fā)展。70年代科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號解決開始與大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)、微解決技術(shù)、高速數(shù)字算術(shù)單元、雙極性高密度半導(dǎo)體存儲器、電荷轉(zhuǎn)移器件等新技術(shù)、新工藝結(jié)合了起來，并且引進了計算機輔助設(shè)計辦法，它使數(shù)字濾波器設(shè)計不但僅是對相應(yīng)模仿濾波器逼近。普通說來，通過對模仿濾波器函數(shù)變換來設(shè)計數(shù)字濾波器，很難達(dá)到逼近任意頻率響應(yīng)或沖激響應(yīng)，而采用計算機輔助設(shè)計則有也許實現(xiàn)頻域或時域最佳逼近，或頻域時域聯(lián)合最佳逼近。這樣，數(shù)字濾波器分析與設(shè)計其內(nèi)容也更既豐富起來，各種新數(shù)字信號解決系統(tǒng)，也都能用專用數(shù)字硬件實時加以實現(xiàn)。數(shù)字信號解決理論與技術(shù)發(fā)展，重要是由于電子計算機與大規(guī)模集成電路大量生產(chǎn)和廣泛應(yīng)用，代替了本來模仿信號解決中線性濾波與頻譜分析所應(yīng)用模仿計算機和分立元件L、C、R線性網(wǎng)絡(luò)，高度發(fā)揮了計算技術(shù)與數(shù)字技術(shù)相結(jié)合特色和優(yōu)越性。特別是微解決器和微型計算機技術(shù)日新月異發(fā)展，經(jīng)更有助于電子儀器與電子技術(shù)應(yīng)用系統(tǒng)朝著數(shù)字化、小型化、自動化以及多功能等方向發(fā)展，促使它們成為富有智能型電子系統(tǒng)。當(dāng)前，涉及數(shù)字濾波在內(nèi)數(shù)字信號解決技術(shù)正以驚人速度向縱深和高檔方向發(fā)展；據(jù)記錄這種趨勢還要持續(xù)一種較長時期，將來發(fā)展也許會比過去進程更為激動人心，必將引起某些領(lǐng)域奔騰性發(fā)展。1.2MATLAB軟件簡介MATLAB是英文MatrixLaboratory(矩陣實驗室)縮寫。它是由美國Mathworks公司推出用于數(shù)值計算和圖形解決數(shù)學(xué)計算環(huán)境。在MATLAB環(huán)境下，顧客可以集成地進行程序設(shè)計、數(shù)值計算、圖形繪制、輸入輸出、文獻管理等各項操作。它先進數(shù)值計算能力和卓越數(shù)據(jù)可視化能力使其不久在同類軟件中脫穎而出。MATLAB系統(tǒng)最初是由CleveMoler用FORTRAN語言設(shè)計，當(dāng)前MATLAB程序是Mathworks公司用C語言開發(fā)。它第一版(DOS版本1.0)發(fā)行于1984年；通過不斷改進，MATLAB已經(jīng)成為國際上最流行科學(xué)與工程計算軟件工具，最流行計算機高檔編程語言了，有人稱它為“第四代”計算機語言，它在國內(nèi)外高校和研究部門正扮演著重要角色。MATLAB語言功能也越來越強大，不斷適應(yīng)新規(guī)定提出新解決辦法。可以預(yù)見，在科學(xué)運算、自動控制與科學(xué)繪圖領(lǐng)域MATLAB語言將長期保持其獨一無二地位。MATLAB語言之因此能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛生命力，是由于它有著不同其她語言特點。1．語言簡潔緊湊，使用以便靈活，庫函數(shù)極其豐富。MATLAB程序書寫形式自由，運用其豐富庫函數(shù)避開了繁雜子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要編纂工作。由于庫函數(shù)都是由本領(lǐng)域?qū)＜揖帉?，因此顧客不必緊張函數(shù)可靠性。2．運算符號豐富。由于MATLAB是用C語言編寫，因此MATLAB提供了C語言幾乎同樣多運算符，靈活使用MATLAB運算符將使程序變得極為簡短。3．高效以便矩陣和數(shù)組運算。MATLAB語言像Basic、Fortran、C語言同樣規(guī)定了矩陣算術(shù)運算符、關(guān)系運算符、邏輯運算符、條件運算符及賦值運算符，并且這些運算符大某些可以毫無變化地照搬到數(shù)組間運算，此外，它不需要定義數(shù)組唯數(shù)，并給出矩陣函數(shù)、特殊矩陣函數(shù)、特殊矩陣專門庫函數(shù)，使之在求解諸如信號解決、建模、系統(tǒng)辨認(rèn)、控制、優(yōu)化等領(lǐng)域問題時，顯得大為簡捷、高效、以便，這是其他高檔語言所不能比擬。在此基本上，高版本MATLAB已逐漸發(fā)展到科學(xué)及工程計算其他領(lǐng)域。因而，不久將來，它一定能名副其實地成為“萬能演算紙式”科學(xué)算法語言。4．MATLAB即具備構(gòu)造化控制語句，又有面向?qū)ο缶幊商匦浴?.語法限制不嚴(yán)格，程序設(shè)計自由度大。為了充分運用Fortran、C等語言資源，涉及顧客已編好Fortran、C語言程序，通過建立M文獻形式，混合編程，以便地調(diào)用關(guān)于Fortran、C語言子程序。6.程序可移植性較好，基本上不做修改就可以在各種型號計算機和操作系統(tǒng)上運營。7.MATLAB圖形功能強大。在C和FORTRAN語言里，繪圖都很不容易，但在MATLAB里，數(shù)據(jù)可視化非常簡樸。此外，MATLAB還具備較強編輯圖形界面能力。8.MATLAB具備一項重要特色是擁有功能強大工具箱。MATLAB包括兩個某些；核心某些和各種可選工具箱。功能性工具箱重要用來擴充其符號計算功能、圖示建模仿真功能、文字解決功能以及與硬件實行交互功能。功能性工具箱能用于各種學(xué)科。而學(xué)科性工具箱是專業(yè)性比較強；如Controltoolbox、Signalprocessingtoolbox、Communicationtoolbox等，這些工具箱都是由該領(lǐng)域內(nèi)學(xué)術(shù)水平很高專家編寫，因此顧客無需編寫自己學(xué)科范疇內(nèi)基本程序，而直接進行高、精、尖研究。9.源程序開放性。除內(nèi)部函數(shù)以外，所有MATLAB核心文獻和工具箱文獻都是可讀可變化源文獻，顧客可通過對源文獻修改以及加入自己文獻構(gòu)成新工具箱。MATLAB軟件自1984年推向市場以來，歷經(jīng)十幾年發(fā)展和競爭，現(xiàn)已成為(IEEE評述)國際公認(rèn)最先進科技應(yīng)用軟件。它功能強大、界面和諧、語言自然、開放性強特點是它獲得了相應(yīng)用學(xué)科(特別是邊沿學(xué)科和交叉學(xué)科)季強是賺錢，并且不久成為應(yīng)用學(xué)科計算機輔助分析、設(shè)計、仿真、教學(xué)乃至科技文字解決不可缺少基本軟件。在歐美等高校，MATLAB已成為理工科高檔課程基本工具，成為攻讀學(xué)位大學(xué)生、研究生生、博士生必要掌握技能。在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB已經(jīng)成為研究和解決各種詳細(xì)工程問題一種原則軟件。近年來該軟件系統(tǒng)開始在國內(nèi)國內(nèi)流行。受到理工科大中專院校釋省級科研人員注重，這也是本文選取用它來設(shè)計實現(xiàn)數(shù)學(xué)濾波器因素所在。1.3數(shù)字濾波器及其MATLAB實現(xiàn)數(shù)字濾波器是數(shù)字信號解決中最重要構(gòu)成某些之一。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛使用濾波器對信號進行了解決。濾波器是一種選頻裝置，它對某一種或幾種頻率范疇(頻帶)內(nèi)電信號給以很小衰減：使這某些信號可以順利通過，對其他頻帶內(nèi)電信號則給以很大衰減，從而盡量地制止這某些信號通過。通過濾波器時不經(jīng)受衰減或經(jīng)受很小衰減頻帶稱為通帶，經(jīng)受衰減超過某一規(guī)定值頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間頻帶稱為過渡帶。于是，依照通帶不同，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。此外，依照它所解決信號型類，濾波器又可分為模仿濾波器和數(shù)字濾波器，模仿濾波器用來解決持續(xù)信號，而數(shù)字濾波器用來解決離散信號，后者是在前者基本上發(fā)展起來。數(shù)字濾波器與模仿濾波器比較，其重要長處精度和穩(wěn)定性高，系統(tǒng)函數(shù)容易變化，因而靈活性高，不存在阻抗匹配問題，便于大規(guī)模集成，可以實現(xiàn)多維濾波。因而，當(dāng)前在諸如通信、雷達(dá)、遙感、聲納、衛(wèi)星通信、宇宙航行、測量、語言和生物醫(yī)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域信號解決中，已經(jīng)運用了數(shù)字濾波技術(shù)，并且隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)和數(shù)字計算技術(shù)發(fā)展，它應(yīng)用會越來越廣泛。數(shù)字濾波器事實上就是一種數(shù)字信號解決系統(tǒng)算法或設(shè)備。數(shù)字濾波器事實上是一種運算過程，數(shù)字濾波器功能是將一組輸入數(shù)字序列通過一定運算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出數(shù)字序列，因而它自身就是一臺數(shù)字式解決設(shè)備。數(shù)字濾波器基本原理是：先運用取樣開關(guān)和模仿——數(shù)字轉(zhuǎn)換器將一種聯(lián)系性信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號。在數(shù)字計算器中完畢所規(guī)定傳播函數(shù)運算之后，再通過數(shù)字——模仿轉(zhuǎn)換器和保持電路，使信號形成最后規(guī)定波形。數(shù)字濾波器普通可用兩種辦法實現(xiàn)：一種是依照描述數(shù)字濾波器數(shù)字模型或信號流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺專門設(shè)備，構(gòu)成專用信號解決機，這就是硬件實現(xiàn)方式；另一種辦法就是直接運用通用計算機，將所需要運算編成程序來讓計算機來執(zhí)行，這就是軟件實現(xiàn)方式。在硬件實現(xiàn)方式中，是一數(shù)字組件如延遲器、加法器和乘法器作為基本部件構(gòu)成專用數(shù)字信號解決系統(tǒng)。不像模仿濾波器需要用電感和電容元件，因而數(shù)字信號解決機很容易用數(shù)字集成電路來制成，并且它轉(zhuǎn)移函數(shù)可變，各回路之間不存在阻抗匹配問題，因而可以很容易做成最佳沖激響應(yīng)和恒定延遲線性相移網(wǎng)絡(luò)。在軟件實現(xiàn)方式中，它是借助于通用計算機機器語言、匯編語言或高檔語言程序來做數(shù)字濾波器運算過程。數(shù)字濾波器設(shè)計與實現(xiàn)，普通按下屬環(huán)節(jié)進行：一方面，依照不同用途提出數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)，在設(shè)計一種濾波器前，必要由某些指標(biāo)，這些指標(biāo)要依照應(yīng)用規(guī)定擬定。然后，設(shè)計一種穩(wěn)定、因果數(shù)字模型H(Z)來逼近所規(guī)定技術(shù)指標(biāo)；最后，設(shè)計專用數(shù)字硬件來實現(xiàn)這個數(shù)字模型，或者用通用電子計算機來運營程序軟件予以實現(xiàn)。1.4IIR數(shù)字濾波器基本概念這里所講數(shù)字濾波器都是一種離散LTI系統(tǒng)，離散LTI系統(tǒng)模型如圖1-1：圖1-1注：X(n)、y(n)分別是系統(tǒng)輸入輸出序列，H(E)是系統(tǒng)自身特性(轉(zhuǎn)移算子)。系統(tǒng)對于輸入離散序列x(n)總有相應(yīng)輸出y(n)。x(n)是離散信號,每個x(i)也許有不同幅值,有了先后不同幅值變化,就可以引出離散信號頻率這一性質(zhì)。數(shù)字濾波器就是對不同頻率數(shù)字信號從頻域進行信號分離時序電路或器件或一段程序。數(shù)字濾波器按功能分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。（1-1）（1-2）由序列傅氏變換公式可知，離散信號傅氏變化是函數(shù)，周期為2。只需研究-，不需要在整個軸上分析其信號。因此，數(shù)字濾波器通帶分布如圖1-2：圖1-2IIR數(shù)字濾波器設(shè)計辦法比較2.1概述IIR數(shù)字濾波器最通用辦法是借助于模仿濾波器設(shè)計辦法。模仿濾波器設(shè)計已有了相稱成熟技術(shù)和辦法，有完整設(shè)計公式，尚有比較完整圖表可以查詢，因而設(shè)計數(shù)字濾波器可以充分運用這些豐富資源來進行。對于IIR數(shù)字濾波器設(shè)計詳細(xì)環(huán)節(jié)如下：(1)按照一定規(guī)則將給出數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模仿低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。(2)依照轉(zhuǎn)換后技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模仿低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器傳遞函數(shù))。(3)再按照一定規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器傳遞函數(shù))。若設(shè)計數(shù)字濾波器是低通，上述過程可以結(jié)束，若設(shè)計是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面環(huán)節(jié)：將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模仿濾波器技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。Matlab信號工具箱提供了幾種直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很以便地對濾波器進行設(shè)計。這里選用巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種辦法進行比較。給出用上述辦法設(shè)計數(shù)字濾波器函數(shù)如下：其中：Wp表達(dá)通帶截止頻率；Ws表達(dá)阻帶截止頻率；Rp表達(dá)通帶紋波系數(shù)；Rs表達(dá)阻帶紋波系數(shù)；N表達(dá)濾波器最小階數(shù)；Wn表達(dá)截止頻率。b，a分別表達(dá)階次為N+1數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率；n為在區(qū)間[OFs]頻率范疇內(nèi)選用頻率點數(shù)；f記錄頻率點數(shù)。n取2冪次方，可以提高運算速度，由于freqz函數(shù)采用基2FFT算法。ftype=high時，為高通濾波器；ftype=bandpass時，為帶通濾波器；ftype=stop時，為帶阻濾波器。2.2四種設(shè)計辦法比較(1)在低通濾波器中比較如果：Wp=20Hz，Ws=50Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1dB，Rs=30dB，分別用Butterworth低通濾波器、ChebyshevI型低通濾波器、ChebyshevⅡ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種辦法進行設(shè)計，如圖1所示。(2)在高通濾波器中比較如果：Wp=50Hz，Ws=20Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1dB，Rs=30dB，分別用Butterworth高通濾波器、ChebyshevI型高通濾波器、ChebyshevⅡ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種辦法進行設(shè)計，如圖2所示。(3)在帶通濾波器中比較如果：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3dB，Rs=30dB，F(xiàn)s=1000，分別用Butterworth帶通濾波器、ChebyshevI型帶通濾波器、ChebyshevⅡ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種辦法進行設(shè)計，如圖3所示。(4)在帶阻濾波器中比較如果：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3dB，Rs=30dB，F(xiàn)s=1000，分別用Butterworth帶阻濾波器、ChebyshevI型帶阻濾波器、ChebyshevⅡ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種辦法進行設(shè)計，如圖4所示。2.3比較成果分析通過對各種類型濾波器通過不同辦法進行設(shè)計，可以使某些結(jié)論得到驗證。運用Butterworth濾波器、ChebysheveI型濾波器、Che-bysheveⅡ型濾波器、橢圓濾波器都可以進行低通、高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計，但是各有特點。Butterworth濾波器通帶內(nèi)幅頻響應(yīng)曲線能得到最大限度平滑，但犧牲了截止頻率坡度。ChebysheveI型濾波器通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)；ChebysheveⅡ型濾波器通帶內(nèi)單調(diào)，然而阻帶內(nèi)等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內(nèi)都是等波紋，但下降坡度更大，并且可以以更低階數(shù)實現(xiàn)和其她兩類濾波器同樣性能指標(biāo)。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計過程及辦法1、按設(shè)計任務(wù)，擬定濾波器性能規(guī)定，制定技術(shù)指標(biāo)2、用一種因果穩(wěn)定離散系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)3、運用有限精度算法實現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運算構(gòu)造、字長選取等4、實際技術(shù)實現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)是z有理函數(shù)，可表達(dá)為：（3-1）系統(tǒng)函數(shù)設(shè)計就是要擬定系數(shù)或者零、極點，以使濾波器滿足給定性能規(guī)定。這種設(shè)計普通有3種辦法。1、零極點位置累試法。當(dāng)濾波器性能未達(dá)到規(guī)定期，通過多次變化零極點位置來達(dá)到規(guī)定。此辦法只合用于簡樸濾波器。2、用模仿濾波器理論來設(shè)計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計中較多采用這種辦法。本節(jié)將詳細(xì)簡介這種辦法。用計算機輔助設(shè)計，優(yōu)化技術(shù)設(shè)計。4.IIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)辦法4.1脈沖響應(yīng)不變法要設(shè)計一種數(shù)字濾波器去仿真一種模仿濾波器有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。其設(shè)計過程都是由給定模仿濾波器系統(tǒng)函數(shù)去變換出相應(yīng)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計過程如下：1、已知一模仿濾波器系統(tǒng)函數(shù)：(設(shè)M<N)（4-1）2、為以便求出其時域單位脈沖響應(yīng)，將上式化為某些分式之和形式：（4-2）3、由拉氏反變換得模仿濾波器在時域單位脈沖響應(yīng)：4、由時域數(shù)字仿真條件(即脈沖響應(yīng)不變準(zhǔn)則)可得到相應(yīng)數(shù)字濾波器脈沖響應(yīng)：(4-3)5、再對兩邊進行Z變換，即可得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)：(4-4)用脈沖響應(yīng)不變法來設(shè)計數(shù)字濾波器，只需將給出模仿濾波器系統(tǒng)函數(shù)化為某些分式之和形式，找出極點和系數(shù)，帶入數(shù)字濾波器傳函當(dāng)中即可。（4-5）由上述和表達(dá)式可看出：是模仿濾波器一種極點，則相應(yīng)就是數(shù)字濾波器里一種極點。推而廣之，則可得到脈沖響應(yīng)不變法下s平面和z平面映射關(guān)系：令，可得z平面模、幅角和s平面實部、虛部之間關(guān)系：，圖4-1由周期是2可推得周期是2/T。注意,由周期性可見,必要滿足模仿濾波器最高頻率或頻率響應(yīng)必要在[-/T，/T]上嚴(yán)格限帶。4.2雙線性變換法雙線性變換法思想是：將模仿濾波器傳遞函數(shù)形式化為完全以積分器（1/s）構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)函數(shù)形式。然后由數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替模仿積分器，從而整個濾波器網(wǎng)絡(luò)都轉(zhuǎn)化成了數(shù)字。雙線性變換法設(shè)計過程如下：1.由積分器構(gòu)成模仿濾波器系統(tǒng)函數(shù)形式：（設(shè)M=N以以便闡明）（4-6）2.由傳遞函數(shù)得信流圖：圖4-2積分器數(shù)字形式推導(dǎo)已知：，若積分器輸入輸出為、，則有：（4-7）設(shè)有0<<,可得：（4-8）當(dāng)趨于時，可得：（4-9）令=nT-T，=nT，即，則T0時，有下式成立：（4-10）令y(n)=(nT),x(n)=(nT),得到數(shù)字式積分器差分方程：（4-11）對數(shù)字式積分器差分方程兩邊進行Z變換，可得數(shù)字式積分器傳遞函數(shù)：（4-12）4.當(dāng)T足夠小時候，信流圖當(dāng)中模仿積分器傳遞函數(shù)就可以由數(shù)字積分器傳遞函數(shù)代替。從而得到性能與模仿濾波器相近數(shù)字濾波器。（4-13）5.從而可得到模仿濾波器復(fù)頻率與數(shù)字濾波器復(fù)頻率之間關(guān)系：或（4-14）因此，用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器，只需將給出模仿濾波器系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)中s替代為一種關(guān)于z成雙線性關(guān)系網(wǎng)絡(luò)即可。（4-15）6.令s=+j,z=r可得z平面與s平面映射關(guān)系：（4-16）即：圖4-3討論s平面虛軸與z平面單位圓之間映射關(guān)系，令=0可得到雙線性變換法下模仿濾波器角頻率與數(shù)字濾波器角頻率之間關(guān)系：或（4-17）由關(guān)系式可知與之間非線性關(guān)系如圖：圖4-4從而使所設(shè)計數(shù)字濾波器截止頻率發(fā)生變化。設(shè)計當(dāng)中應(yīng)式子：把已經(jīng)得到數(shù)字濾波器截止頻率預(yù)先變換為。4.2.1巴特沃斯低通濾波器設(shè)計巴特沃斯濾波器，又被稱為“最平”幅頻響應(yīng)濾波器。這是由于，該濾波器在通帶內(nèi)具備最大平坦幅度特性，并且隨著頻率升高呈現(xiàn)出單調(diào)減小特點。N階低通巴特沃斯濾波器特性函數(shù)為（4-18）其中，為通帶寬度，即截止頻率。當(dāng)階次N增大時，濾波器特性曲線變得更加陡峭，其特性就越接近于抱負(fù)矩形幅頻特性。巴特沃斯濾波器屬于全極點設(shè)計，它極點由下式?jīng)Q定。（4-19）式中，。因此，在s平面上有2N個極點等間隔地分布在半徑為圓周上，并且極點都是成復(fù)共軛對浮現(xiàn)，極點位置與虛軸對稱，但不在虛軸上。下面結(jié)合一種詳細(xì)實例，來闡明巴特沃斯濾波器設(shè)計過程。例：設(shè)計一種性能指標(biāo)為：通帶截止頻率=10000rad/s，通帶最大衰減=3dB，阻帶截止頻率=40000rad/s,阻帶最小衰減=35dB巴特沃斯濾波器。解：（1）求有關(guān)參數(shù)（2）擬定參數(shù)N（3）取N=3，依照得到因此，極點形式可表達(dá)為即滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)程序：Wc=10000;Ws=40000;Ap=3;As=35;Np=spt(10^(0.1*Ap)-1);Ns=sprt(10^(0.1*As)-1);n=ceil(log10(Ns/Np)/log10(Ws/Wc));[z,p,k]=buttap(n);Symsrad;Hs1=k/(i*rad/Wc-p(1))/(i*rad/Wc-p(2))/(i*rad/Wc-p(3));Hs2=10*log10((abs(Hs1))^2);ezplot(Hs2,[-60000,60000]);4.2.2切比雪夫低通濾波器設(shè)計切比雪夫濾波器振幅特性就具備這種等波紋特性。它有兩種形式：切比雪夫I型濾波器，即振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋，在阻帶內(nèi)是單調(diào)；切比雪夫II型濾波器，即振幅特性在阻帶內(nèi)是等波紋，在通帶內(nèi)是單調(diào)。下面重要簡介切比雪夫I型濾波器設(shè)計原理。切比雪夫I型濾波器幅度平方函數(shù)為：(4-20）其中，表達(dá)通帶內(nèi)振幅波動限度，它為一種不大于1正數(shù)，其值越大波動就越大。為通帶寬度，也是截止頻率。是切比雪夫多項式，定義為：（4-21）切比雪夫多項式遞推公式為:（4-22）通過上面簡介，可以看出擬定切比雪夫濾波器需要3個參數(shù)：、和N。（1）擬定通帶波紋定義為（4-23）而又由于因此得到即（4-24）（2）N擬定階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個數(shù)總和。如果N是奇數(shù)，則在=0處有一最大值，如果N為偶數(shù)，則在=0處有一最小值。令阻帶截止頻率為，阻帶容許衰減為，則（4-25）又由于，因此（4-26）因此，化簡后得到（4-27）又由于因此濾波器階數(shù)N為N（4-28）這樣，、和N數(shù)值擬定后來，就可以求出濾波器極點，并擬定了。（3）濾波器系統(tǒng)函數(shù)極點擬定濾波器系統(tǒng)函數(shù)極點由下式擬定：（4-29）可解得：其中，由此可見，濾波器極點分布在一種橢圓圓周上。求得濾波器系統(tǒng)函數(shù)極點后，即可求出切比雪夫I型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：（4-30）而切比雪夫II型濾波器幅度平方函數(shù)為：（4-31）Cheb1ap函數(shù)：設(shè)計切比雪夫I型濾波器調(diào)用方式：[z,p,k]=cheb1ap(n,rp):返回設(shè)計切比雪夫I型濾波器零點、極點和增益。n為濾波器階數(shù)。另一種輸入?yún)?shù)rp為濾波器在通帶內(nèi)最大衰減值。例：設(shè)計一種在阻帶內(nèi)最大衰減為0。05dB5階切比雪夫I型低通模仿濾波器原型。程序：n=5;rp=0.05;[z,p,k]=cheb1ap(n,rp);[b,a]=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-1,1);freqs(b,a);運營成果：z=[]p=-0.1913+1.1185i-0.5008+0.6913i-0.6190+0.0000i-0.5008-0.6913i-0.1913-1.1185ik=0.5808Cheb2ap函數(shù)：設(shè)計切比雪夫II型濾波器調(diào)用方式：[z,p,k]=cheb2ap(n,rs):輸出參數(shù)z、p和k分別返回設(shè)計切比雪夫II型濾波器零點、極點和增益。輸入?yún)?shù)n為濾波器階數(shù)。另一種輸入?yún)?shù)rs為濾波器在阻帶內(nèi)最小衰減值。例：設(shè)計一種在阻帶內(nèi)最小衰減為60dB3階切比雪夫II型低通模仿濾波器原型。程序：n=3;rs=60;[z,p,k]=cheb2ap(n,rs);[b,a]=zp2tf(z,p,k);w=logspace(-1,1);freqs(b,a);運營成果：z=0+1.1547i0-1.1547ip=-0.0784-0.1375i-0.1597-0.0000i-0.0784+0.1375ik=0.00305.各種設(shè)計辦法MATLAB實現(xiàn)5.1基于模仿低通濾波器原型MATLAB實現(xiàn)%通過模仿低通原型濾波器進行數(shù)字帶通設(shè)計程序：fp=480%模仿低通通帶上限頻率fs=520%模仿低通阻帶下限頻率wp=2*pi*fp%模仿低通通帶上限角頻率ws=2*pi*fs%模仿低通阻帶下限角頻率rp=3%通帶波動rs=20%阻帶衰減%巴特沃斯模仿低通原型濾波器設(shè)計[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s’)[z,p,k]=buttap(n)%模仿低通原型零、極點系數(shù)[b1,a1]=zp2tf(z,p,k)%零、極點系數(shù)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)%巴特沃斯模仿低通原型濾波器頻率響應(yīng)[h1,w1]=freqs(b1,a1)mag1=abs(h1)%模仿低通原型濾波器幅頻特性曲線subplot(221);semilogx(w1,mag1)fw=40%模仿帶通濾波器帶寬頻率bw=2*pi*fw%模仿帶通濾波器帶寬角頻率%由模仿低通原型轉(zhuǎn)變?yōu)槟７聨V波器[b2,a2]=1p2bp(b1,a1,wn,bw)%模仿帶通濾波函數(shù)%巴特沃斯模仿帶通濾波器頻率響應(yīng)[h2,w2]=freqs(b2,a2)mag2=abs(h2)%模仿帶通濾波器幅頻特性曲線（db）subplot(222);plot(20*log10(mag2))%沖擊響應(yīng)不變法進行離散化設(shè)計fo=%采樣頻率[bz,az]=impinvar(b2,a2,)%數(shù)字帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器頻率響應(yīng)[hz,w]=freqz(bz,az)magz=abs(hz)phz=unwrap(angle(hz))subplot(223);plot(magz)%數(shù)字帶通濾波器幅頻特性曲線subplot(224);plot(phz)%數(shù)字帶通濾波器相頻特性曲線5.2基于適當(dāng)類型模仿濾波器MATLAB實現(xiàn)%通過適當(dāng)類型模仿濾波器進行數(shù)字帶通設(shè)計程序：fp=[480,520]:fs=[450,550]%模仿通帶、阻帶頻率wp=[480,520]*pi*2%模仿通帶角頻率ws=[450,550]*pi*2%模仿阻帶角頻率rp=3;rs=20%通帶波動、阻帶衰減%巴特沃斯模仿帶通濾波器設(shè)計[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s’)[b,a]=butter(n,wn,’s’)%模仿帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯模仿帶通濾波器頻率響應(yīng)[ha,w]=freqs(b,a)ma=abs(ha);pha=unwrap(angle(ha))subplot(421);plot(w/(2*pi),ma)%模仿幅頻曲線subplot(431);plot(w/(2*pi),pha)%模仿相頻曲線%沖擊響應(yīng)不變法進行離散化設(shè)計fo=5000%采樣頻率[bn,an]=impinvar(b,a,5000)%數(shù)字帶通濾波函數(shù)系數(shù)%巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器頻率響應(yīng)[hz,w]=freqz(bn,an)mz=abs(hz);phz=unwrap(angle(hz))subplot(422);plot(w,mz)%數(shù)字濾波器幅頻曲線subplot(424);plot(w,phz)%數(shù)字濾波器相頻曲線hi=impz(bn,an)%數(shù)字濾波器沖擊響應(yīng)subplot(425),plot(hi)%沖擊響應(yīng)曲線n=0:300;t=n/fox1=2*square(2*pi*500*t)%500Hz方波波形yi=conv(hi,x1)%時域卷積輸出subplot(427);plot(yi)%卷積輸出波形y1=filter(bn,an,x1)%數(shù)字濾波函數(shù)輸出subplot(428);plot(y1)%數(shù)字濾波器輸出波形5.3基于直接原型變換法MATLAB實現(xiàn)%數(shù)字帶通濾波器直接設(shè)計程序fp=[480,520];fs=[450,550]%模仿通帶、阻帶頻率rp=3;rs=20%通帶波動、阻帶衰減 fo=10000%采樣頻率%頻率指標(biāo)變換wp=2*pi*fp/fo%數(shù)字通帶頻率wp=2*pi*fs/fo%數(shù)字阻帶頻率%切比雪夫I型數(shù)字帶通濾波器直接設(shè)計[n,wn]=cheblord(wp/pi,ws/pi,rp,rs)[b,a]=cheby1(n,rp,wn)%數(shù)字帶通濾波器系數(shù)%切比雪夫I型數(shù)字帶通濾波器頻率響應(yīng)[h,w]=freqz(b,a,128,10000)mag=abs(h):pha=unwrap(angle(h))subplot(321);plot(w,mag)%幅頻曲線subplot(322);plot(w,pha)%相頻曲線hi=impz(b,a)%沖擊響應(yīng)subplot(324);plot(hi)%響應(yīng)曲線n=0:500;t=n/fcx1=2*square(2*pi*500*t)%500Hz方波信號subplot(323);plot(t,x1)%500Hz方波波形yi=conv(hi,x1)%時域卷積輸出subplot(326);plot(yi)%卷積輸出波形y1=filter(b,a,x1)