高考數(shù)學第一輪復習第六講函數(shù)的概念講義（解析版）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

第06講函數(shù)的概念及其表示(精講)

題型目錄一覽

①給出函數(shù)解析式求解定義域

②抽象函數(shù)定義域的求法

③函數(shù)值域的求法

④函數(shù)解析式的求法

⑤分段函數(shù)的應用

★【文末附錄-函數(shù)的概念及其表示思維導圖】

、知識點梳理

1.函數(shù)的概念

(1)一般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個對應法則了,使得A中任意元素x,都有3中唯一確定的y與

之對應，那么從集合A到集合3的這個對應，叫做從集合A到集合8的一個函數(shù).記作：x^y=f(x),xeA.

集合A叫做函數(shù)的定義域，記為O,集合｛)，|y=.f(x),xeA｝叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.

(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=f(x),xwD

(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應法則.

(5)同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.

2.基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應注意：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

(3)對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

(4)零次幕或負指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

(5)三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是｛x|xeR,且門6+千丘％｝；

(6)已知/(x)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求/(X)的定義域，遵循兩

點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則J.下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

(7)對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

3.基本初等函數(shù)的值域

(1))，=履+%(/*0)的值域是R.

⑵y="+公+°(aH0)的值域是：當a>0時,值域為｛｝；當口<o時,值域為｛\>^c-b1.

而；”-yy]

(3)》=：(4二0)的值域是｛)，“力0｝.

(4)y=/(a>0且awl)的值域是(0,+8).

(5)y=log"X(a>0且的值域是R.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函

數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

提醒：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域

的并集.

二、題型分類精講

一J

題型一給出函數(shù)解析式求解定義域

令策略方法已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

⑴簡單函數(shù)的定義域：若/(X)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各

基本初等函數(shù)的定義域的交集.

(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函

數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.

【典例1】求下列函數(shù)的定義域:

(l)/(x)=2+--；

X—Z

⑵，(X)=(XT)°+R|]

⑶/(X)=j3-xjx-l-

⑷〃力=空>后.

【答案】(l){x|xw2}.

⑵{x|x>-l且XH1}.

(3){x|l<x<3}.

(4){x|x<lfix^-1).

【分析】(1)根據(jù)分母不為0,列式可求出；

(2)根據(jù)底數(shù)不為0以及二次根式的被開方數(shù)大于等于0且分母不為0,列式可求出

(3)根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,列式可得出；

(4)根據(jù)分母不為0和二次根式的被開方數(shù)大于等于0,即可求出定義域.

【詳解】(D由題意知，X-2H0,即：x*2,所以這個函數(shù)的定義域為{x|xx2}.

x-1^0

(2)由題意知，，解得：X>_1且xwl,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>-l且x*l).

X+1

x+1/0

3-x>0

⑶由題意知，■解得:W3,所以這個函數(shù)的定義域為{刈4x43}.

x-l>09

x+1。0

(4)由題意知，■解得：x41且x片-1,所以這個函數(shù)定義域為卜,Q且xx-1}.

INO'

【題型訓練】

一、單選題

1.下列四組函數(shù)中，兩個函數(shù)表示的是同一個函數(shù)的是()

A.f(x)=——j=^f(x)=x+42B./(x)=log3x2與f(x)=log3X

C.=與〃x)=xD.〃耳=((1)3與〃力=1

【答案】D

【分析】根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應法則也相同，即可判斷它們是同一函數(shù).

【詳解】對于A,5三^,x手而f(x)=x+V^,xeR,二者定義域不相同，不是同一函數(shù);

對于B,/(另=1。3爐，XHO,而〃x)=log/,犬>0,二者定義域不相同，不是同一函數(shù)；

對于C,/(力=而=兇，二者定義域相同，對應法則不相同，不是同一函數(shù)；

對于D,4x)=y(x-l)3=x-l,xeR,二者定義域、對應法則均相同，是同一函數(shù).

故選：D.

ln(x+l)

2.函數(shù)尸7K定義域為()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.(1,2)D.(1,2]

【答案】A

fx+l>0

【分析】由“，八計算得解.

[4-廠>0

fx+1>0ln(x+l)

【詳解】由彳，八得T<x<2,所以函數(shù)"定義域為(-1,2).

[4-x2>0A/4-X2

故選：A.

二、填空題

3"函數(shù))'=兩匕的定義域是---------.

【答案】(L+8)

【分析】根據(jù)題意可得出》所滿足的不等式組，進而可得函數(shù)的定義域.

\2x-\>01

【詳解】由題意可得,(、n.n，解得且XH1.

[log5(2x-1)^02

因此'函數(shù)=隔，(1二1)的定義域是(；，i)(i，+°°)?

故答案為：七,110，+8).

4.函數(shù)y=lgsinx+Jg-cosx的定義域是.

【答案】2E+],2fat+兀)(AeZ)

【分析】根據(jù)偶次開方的被開方數(shù)為非負且對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0可以得到不等式組求解即可.

sinx>0

【詳解】要使函數(shù)有意義，需1八

12

2E<x<兀+2kli,keZ

解得：,兀ci/,571c77f

—F2kiiWxW—+2kn,keZ

133

Tl

即2E+—<x<2kn+Tt,keZ

故答案為：2E+',2E+j(kwZ)

三、解答題

5.求下列函數(shù)的定義域:

⑵f(x)=G

x-1

【答案】(D(x|x#4｝；(2)R；(3)｛x|xxl,且XH2｝；(4)｛x|x44且xkl)

【解析】(D根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(2)根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負實數(shù)直接求解即可；

(3)根據(jù)分式中的分母為不為零直接求解即可；

(4)根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負實數(shù)、分式中的分母為不為零直接求解即可

【詳解】解：⑴x-4#0,

：.x^4,定義域為｛X|XN4｝；

(2)不論x取什么實數(shù)，二次根式都有意義，所以定義域為R；

(3),^-3x+2^0,

且xw2,定義域為｛xlxRl,且"2｝；

’4一廚，[%4

(4).,八=><,=>X，4且xwL

x-l*O[xxl

.?.定義域為｛x|x44且xxl｝.

【點睛】本題考查了求函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

(I)求M

(2)當xwM時，求/(x)=e2-2+3x4*(4>—3)的最小值.

【答案】(1)(2)/Wmi?=4：3

——a2(-3<a<——)

34

【分析】(D根據(jù)被開方數(shù)大于等于零、分式分母不為零、對數(shù)的真數(shù)大于零求解定義域；(2)將f(x)看

成是關于2,的二次函數(shù)，根據(jù)2'的范圍討論。的范圍來確定最小值.

—>OKx^l

【詳解】解：(1)?.?由題意可得1-X

3—4x+f>0

可解得

7/74

(2)Jf(x)=〃?2V+2+3x4%=3(2X+y)2--a2

又一K2'<2,ci>—3,

2

?_網(wǎng)<2

3

①若-學44，即時，./'(x)mi?=/(-l)=2a+?,

3244

②若g<-g<2,即時，

所以當2'=-|a即X=log2(-y)時，/(X)*=-#

33

2a+-(a>——)

4

fMmin=-44

——a2(-3<a<——)

34

【點睛】(1)常見的定義域問題中會涉及：分式分母不為零、對數(shù)真數(shù)大于零、根號下數(shù)大于等于零、tanx

TT

中工工左乃十耳,左￡2等；

(2)對于形如/。)=〃2、+從優(yōu)+C形式的函數(shù)，可將其轉化為二次函數(shù)的形式，然后完成問題的求解.

題型二抽象函數(shù)定義域的求法

畬策略方法抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)/(g(x))的定義域由“空(x)助求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域為[a,h],則/(x)的定義域為g(x)在xW[a,歷時的值域.

提醒：明確定義域是自變量"x”的取值范圍.

【典例1]求下列函數(shù)的定義域：

(1)已知函數(shù)/(x)的定義域為[1,2],求函數(shù)y=/(2x+l)的定義域；

(2)己知函數(shù)y=/(2x+l)的定義域[1,2],求函數(shù)/(x)的定義域；

(3)已知函數(shù)y=/(2x+l)的定義域口，21,求函數(shù)y=/(2x-D的定義域.

【答案】(l)[0,y]

⑵[3,5)

(3)[2,3]

【分析】⑴由〃x)的定義域可得左+1V2,求出x的取值集合即可得出/(2x+l)的定義域；⑵由/(2x+l)

的定義域可得14X42,求出2x+l的取值集合即可得出f(x)的定義域;(3)由/(2x+1)的定義域可得14x42,

求出2x+l的取值集合即可得出/(x)的定義域，進而得出2x-l的取值集合，再求出x的取值集合即可；

⑴設2x+l=f,由于函數(shù)y=/Q)定義域為[1,2],

故1W2,BPl<2x+l<2,解得04x4工，

2

所以函數(shù)y=/(2x+D的定義域為[0,i-j；

⑵設2x+l=r,因為1MXW2,

所以3V2A+1V5,即34f45,函數(shù)V=/⑺的定義域為[3,5],

由此得函數(shù)y=/(x)的定義域為[3,5]：

(3)因為函數(shù)y=/(2x+l)的定義域為“，2],即14xW2,

所以3V2x+lV5,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為[3,5],

由3V2x-lV5,得24x43,

所以函數(shù)N=/(2X-1)的定義域為[2,3].

【題型訓練】

一、單選題

1.若函數(shù)/(x)的定義域為[0,4],則函數(shù)g(x)=〃x+2)的定義域為()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函數(shù)f(x)的定義域，可得OWx+244,求出x的范圍，即可得到函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】因為函數(shù)“X)的定義域為[0,4],

所以OWx+244,解得-24x42,

所以函數(shù)g(x)="X+2)的定義域為[-2,2].

故選：A.

2.已知函數(shù)y=/(x+l)的定義域為[1,2],則函數(shù)y=/(2x—l)的定義域為()

A.-JB.1,2C.[-1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行求解即可.

【詳解】???函數(shù)V=/(x+l)的定義域為[L2],即14x42,可得24X+Q3,

.??函數(shù)丁=〃*)的定義域為[2,3],

3

令242143,解得萬6<2,

「3~

故函數(shù)y=/(2x—1)的定義域為1,2.

故選：B.

3.函數(shù)/(X)的定義域為[-2,4],則丫=/①的定義域為()

X-]

A.(1,8]B.H，1)^(1,8]

C.(1,2]D.[-1,1)0(1,2]

【答案】D

【分析】利用抽象函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.

f-2<2x<4,

【詳解】解：由題意得,八

解得-U42且xwl.

故選：D

二、填空題

4.若已知函數(shù)/(4x-l)的定義域為[0,何，則可求得函數(shù)/(2x-l)的定義域為[0,2]；問實數(shù)的值為

【答案】1

【分析】分別求得4x-l和2x7的取值范圍，由這兩個范圍相同可得，"值.

【詳解】函數(shù).f(4x-l)中，0<x</n=>-l<4x—\<4m-\9

函數(shù)/(2D中，0KxK2=-lK2K3,

所以4帆-1=3,zn=1.

故答案為：1.

5.己知函數(shù)/(x+1)的定義域為1-2,3],則函數(shù)+的定義域_

【答案】卜腔彳或xj}

【分析】根據(jù)函數(shù)〃x+1)的定義域關系轉化求解T<-+1<4即可得解.

X

【詳解】已知函數(shù)/(X+1)的定義域為[-2,3],

所以函數(shù)F3的定義域為[-L4],

在函數(shù)+中，-14^+144,

-2<-<3

X

所以或xzg

所以函數(shù)/\+的定義域：卜或

故答案為：或

三、解答題

6.已知函數(shù)/(l-2x)的定義域為4=1,1.

⑴求“X)的定義域8;

(2)對于(1)中的集合B,若HxeB,使得a>/-x+l成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)8=卜1,0]

⑵。,內(nèi))

【分析】(D由復合函數(shù)的定義域定義求解，即由已知x的范圍求得l-2x的取值范圍；

(2)求出爐-x+l在xeB時的最小值即得.

【詳解】(D/(1-2到的定義域為4=1,1,

.?.gd41—2x40,則8=[-1,0].

(2)令g(x)=f-使得-x+1成立，即〃大于g(x)在[-1，。]上的最小值,

因為g(x)=+%g⑺在[T0]上的最小值為g⑼=1,

二實數(shù)。的取值范圍為。,內(nèi)).

7.已知函數(shù)f(x)=2'的定義域是[0,3],設g(x)=〃2x)—/(x+2),

(1)求g(x)的定義域；

⑵求函數(shù)g(x)的最大值和最小值.

【答案】⑴[0』

⑵最大值為-3,最小值為Y

【分析】(D根據(jù)/(對的定義域列出不等式即可求出；

(2)可得g(x)=(2*-2)2-4,即可求出最值.

【詳解】⑴〃x)=2'的定義域是[0,3],g(x)"(2x)―〃x+2),

因為的定義域是[0,3],所以臂解得淵1.

[(版W+23

于是g(x)的定義域為[0,1].

(2)設g(x)=(2,丫-4X2,=(2,-2『-4.

因為xe[0,l],即2'e[l,2],所以當2*=2時,即x=l時，

g(x)取得最小值，值為T；

當2”=1時，即x=0時，g(x)取得最大值，值為-3.

題型三函數(shù)值域的求宏

令策略方法函數(shù)宿城的求法主要有而沅而一

(1)觀察法:根據(jù)最基本函數(shù)值域(如VK),優(yōu)＞0及函數(shù)的圖像、性質、簡單的計算、推理，

憑觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域.

(2)配方法：對于形如，=以?+法+c(〃H0)的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結

合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.

(3)圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.

(5)換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形y=+0+的值城，可通過換元將

原函數(shù)轉化為二次型函數(shù).

(6)分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.

(7)判別式法：把函數(shù)解析式化為關于x的一元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值

域，一般地，形如后獲17或的函數(shù)值域問題可運用判別式法(注

ax+ex+f

意X的取值范圍必須為實數(shù)集R).

(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域(或它的子集)內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對于形如

y=ylax+b+^/cx+d或y=ax+b+^/cx+d的函數(shù)，當ac>0時可利用單調(diào)性法.

【典例1]試求下列函數(shù)的值域.

(l)/(x)=(x-l)2+l,xe{-1,0,1,2,3)

⑵/(力=%2-2x+2

⑶〃x)=J

(4)y=x-Jx+1

【答案】⑴定義域為{TO1，2,3},值域為{1,2,5}.

⑵定義域為R,值域為1,內(nèi))

⑶定義域為{xlxwl},值域(—,5)"5,+8).

-1，+8).

⑷定義域是{xlxN-1},值域

【分析】(D定義域已知，代入計算得到值域.

(2)變換〃X)=(X-1)2+1N1,得到答案.

(3)確定定義域，變換/(刈=5+3,得到值域.

X-1

(4)設r=yrr,y=*_]T=(一小二%計算得到定義域和值域.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域為卜1，0，1，2,3},則/(_l)=(_l_iy+i=5,

同理可得〃o)=2,/(1)=1,/⑵=2,/⑶=5,所以函數(shù)的值域為{1,2,5}.

(2)函數(shù)的定義域為R,因為/(x)=f-2X+2=(X-1)2+1N1,所以函數(shù)的值域為口,內(nèi)).

(3)函數(shù)的定義域為"lx"},因為〃力筆=5X-5：9=5+\

所以函數(shù)的值域為(—5)=(5,+8).

(4)要使函數(shù)有意義，需滿足X+1N0,即xN-1,故函數(shù)的定義域是{x|xN-l}.

設r=?7T,JUOx=r2-l(r>0),于是y=-_i_=5

4

又，2所以所以函數(shù)的值域為仔+8

【題型訓練】

一、解答題

1.求下列函數(shù)的值域:

(l)y=2r+l；

(2)y=x2—4x+6,xG[l,5)；

c、3x-\

(3)y=―-

X+1

(4)y=x+Vx.

【答案】⑴R；

⑵[2,11)；

(3){y|y#}；

(4)[0,+a>).

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)的圖像性質即可求其值域;

⑵作二次函數(shù)在口，5)之間的圖像，數(shù)形結合即可求其值域;

(3)函數(shù)解析式分離常數(shù)法即可求其值域;

(4)利用換元法，結合二次函數(shù)的性質即可求其值域.

(1)因為xCR,所以2x+16R,即函數(shù)的值域為R.

(2)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因為x=[l,5),如圖所示:

y

所以所求函數(shù)的值域為[2,11).

(3)借助反比例函數(shù)的特征求.

3(X+1)-4=3_^

x+\x+lv7

4

顯然可取0以外的一切實數(shù)，即所求函數(shù)的值域為{y|yH3}.

x+l

(4)設〃=?(xNO),則x=u2(uN0),y="2+"=(u+g)-^-(M>0),

由uK),可知(u+；)>~,所以yK1.

所以函數(shù)y=x+-Jx的值域為[0,+s).

二、單選題

2.函數(shù)/(x)=>3x—2,xe{l,3,5},則/(x)的值域是()

A.[1,五布}B.[0,+8]C.[I*]D.R

【答案】A

【分析】由函數(shù)值域定義可得答案.

【詳解】由題意得：f（1）=1,/（3）=",/（5）=而.

故〃》）的值域是［1，曰,布｝.

故選：A.

-x,x<0

3.下列四個函數(shù)：①y=3-x；②y」；③y=V+2x-10；@y=\1八.其中定義域與值域相同

x——,x>0

.x

的函數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分別求得每個函數(shù)的定義域和值域，即可判斷出答案.

【詳解】①y=3-X的定義域和值域均為R,

②了二』,定義域為｛xeRIxH。｝,??.值域為｛yeRlywO｝,定義域與值域相同；

X

③y=f+2x-10=（x+l）2-ll的定義域為R,值域為3”-11｝,

定義域與值域不相同；

-x,x<0

@y=1c的定義域為R,當XMO時，y=rZ0；

——,x>0

、x

當x>0時，y=--<0,則函數(shù)值域為R,故函數(shù)定義域與值域相同，

X

所以函數(shù)定義域與值域相同的函數(shù)是①②④，共有3個.

故選：C.

4.下列函數(shù)中，值域是（0,+。。）的是（）

cx+2

A.y=y/x2-2x4-1B.y—，光￡（0,+OO）

x+1

21

CD.)'一|11

-)\+2x+I…Nk+i|

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質分別進行判斷即可.

【詳解】對選項A：y=VX2-2X+1=7（x-l）2=|x-l|>0,即函數(shù)的值域為［0,+少），錯誤;

對選項B：)，=當=與F=1+W，則函數(shù)在(o,+8)上為減函數(shù)，則i<y<2,即函數(shù)的值域為(1,2),

錯誤；

2

對選項C：函數(shù)的定義域為N,函數(shù)的y=2；,,xeN值域不連續(xù)，錯誤；

x+2x+\

對選項D：>=向>°，函數(shù)的值域為(。,也).

故選:D

三、多選題

4Y+1

5.已知函數(shù)/(刈="一，則().

A.〃x)的值域是{#X4}B.“X)的定義域為x*2

C./(2026)+/(-2022)=8D./(2023)+/(-2019)=8

【答案】ACD

【分析】由分式性質求定義域，分離常量法確定值域，進而得到f(x)的對稱中心，即可判斷C、D正誤.

【詳解】由/。)=返二芋=4+—二，則定義域為{x|xx2},值域為{y|y/4},

x-2x-2

所以(2,4)是/*)的對稱中心，則八2026)+/(-2022)=/(2023)+/(-2019)=8,

綜上，A、C、D正確，B錯誤.

故選：ACD

6.下列函數(shù)最小值為2的是()

A.y=x2+4x+6B.y=x+—

x

C.y=2*+(D.y=|lnr|+2

【答案】ACD

【分析】利用配方法判斷A,利用對勾函數(shù)的性質判斷B,利用均值不等式判斷C,利用對數(shù)函數(shù)的值域

判斷D.

【詳解】y=x2+4x+6=(x+2)2+2>2,最小值為2,選項A正確；

當x<0時，y=x+,<0,無最小值，選項B錯誤；

x

y=2'+^=2^2'~=2,當且僅當2'=/，即x=0時取得最小值2,選項C正確；

InxGR,所以|lnRN。，y=|lnx|+2>2,當x=l時取得最小值2,選項D正確.故選：ACD

四、填空題

7.函數(shù)=的值域為.（結果用區(qū)間表示）

【答案】

【分析】XG[-1,1],則d+ie[i,2],得至|」/@）=",*€卜1,1]的值域.

【詳解】xe[-l,l],貝ljx2+le[l,2],故"》）=*/€卜1,1]的值域為.故答案為：

9Y2—1

8.函數(shù)y=的值域為.

X+1

【答案】[-1,2）

【分析】應用分離常量法求函數(shù)值域即可.

【詳解】由y=2（>jD-3=2一/又d+izi,則0<e43,所以ye[-l,2）.

x2+\x2+lX-+1

故答案為：[-1,2）

題型四函數(shù)解析式的求法

至策略方法函數(shù)解析式的常見求法

待一醋巨而由藪而親至百拓蒜系藪京.....'：

國，I」巨曲蒙吝菌藪7（/；萬一的樨標芟;行甫拗

?換兀'|一沃法，此時要注意新元的取值范圍;

兩巨如秦庫巨方0（丁河蔣元川

配示法|一：改寫成關于g（%）的表達式，然后以％替代:

屹（％）,便得了（%）的解析式

:已知/（%）與/（千）或/（-%）之間的關系

消去（方

一?式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等

程組）法

，式組成方程組，通過解方程組求出/（%）

【典例1]⑴已知/（X）是一次函數(shù)，且滿足3/（X+1）—/（X）=2X+9,求/（X）的解析式.

(2)若對任意實數(shù)x,均有/")—2/(—x)=9x+2,求“X)的解析式.

【答案】(D/(x)=x+3；(2)/(x)=3x-2.

【分析】(D設〃司="+①利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)構造關于/(X)J(T)方程組求解即可.

【詳解】(1)因為“X)是一次函數(shù)，所以設1(%)="+8,%工0,

又因為3〃X+1)-/(X)=2X+9,

所以3,(x+l)+可-(依+b)=2x+9,整理得2fcv+3A'+2b=2x+9,

⑵1=2,\k=\

故Q,解得,“

[3K+2b=9[b=3

所以〃x)=x+3.

(2)因為〃x)-2〃-x)=9x+2①，

^flU/(-x)-2/(x)=-9x+2(2),

由①+2x②得：-3〃x)=-9x+6,

解得：〃x)=3x-2.

【典例2】(1)已知/(x+l)=2x—3,求〃x)的解析式；

(2)已知/(力+3/(-力=/+/一2》，求〃x)的解析式.

32

【答案】(1)/(x)=2x-5；(2)f(x)=~x+^x+x

【分析】(D應用換元法求函數(shù)解析式；

(2)構造方程組并作差求函數(shù)解析式.

【詳解】(1)令t=x+l,貝!=f—故/⑺=2?-1)-3=2，-5,

所以f(x)=2x-5；

(2)由題設/(-*)+3/(1)=-丁+/+2初，結合/(》)+3/(司=/+'2一2%②,

3x①-②得：8/(x)=-4x3+2x2+8x,故/'(x)=+x.

【題型訓練】

一、單選題

1.已知函數(shù)“X)滿足〃2X+1)=4X2-6X+5,則〃X)=()

A./(x)=+5x+9B.=f+5x-9

C./(x)=x2-5x+9D./(x)=x2-5x-9

【答案】C

【分析】利用換元法求解即可.

【詳解】因為/(2x+l)=4--6x+5,xeR,

令f=2x+l,則x=g(r-l),/GR,

所以/(,)=4xl(z-l)2-6xl(/-i)+5=z2-2z+l-3r+3+5=r2-5r+9,

故/(X)=X2_5X+9.

故選：C.

2.一次函數(shù)滿足〃1)+〃2)=〃3),且“2)/(3)=/⑷，則”X)的解析式為()

23

A./(x)=-xB.f[x)=-xC./(x)=x+lD./(.r)=-2x+l

【答案】A

【分析】由題意，設/(力=打+》，(b0).根據(jù)〃1)+〃2)=〃3),且〃2)/(3)=〃4),利用待定系數(shù)法

求解即可.

【詳解】由題意，設/(乃=四+必辦0).

???/0)+/(2)=/(3),

即k+b+2k+b=3k+b,

可得：Z?=0.

又?.?/(2)/(3)=/(4)

即2kx3k=4k

??./(x)的解析式為"x)=(x.

故選：A.

3.已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)〃x),其值域也是R,并且對于任意的x,"R,都有/卬3)=孫，則

|/(2022)|等于()

A.0B.1C.20222D.2022

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件可得“存在)beR，使得/(%)=1"，再利用給定函數(shù)關系式，求出解析式即可計算

作答.

【詳解】由于“X)在R上單調(diào)，且值域為R,則必存在%eR,使得/(%)=1,

令y=%得,/(￥(%))=孫)，即f(*)=%x,

于是Vx,yeR,/(#(y))=f(xyoy)=y0(xyoy)=y1xy=xy,則%=±1,

從而/(x)=±x,<|/(2022)|=2022.

故選：D

4.設/(x)是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，且〃〃x)-3x)=4,則()

A./(-1)=-1B./(0)=1C./(1)=2D./(2)=3

【答案】B

【分析】換元，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值即可求出函數(shù)解析式，然后求函數(shù)值.

【詳解】令f=/(x)-3x,則/⑺=4,

因為f(0是定義域為R的單調(diào)函數(shù)，

所以t為常數(shù)，即"x)=3x+f,

所以.f(f)=4f=4,解得f=l,

所以〃x)=3x+l,

故/(0)=1，〃-1)=一2,/(1)=4,/(2)=7.

故選：B

二、填空題

5.已知函數(shù)/(x-l)=f-4x,貝ij/(2x+l)=.

【答案】4X2-4

【分析】利用換元法求得/⑺=產(chǎn)-〃-3,即可求得答案.

【詳解】令f=x-lJeR,，x=，+l,故由/(x-1)=x?-4x,

可得f⑴=(f+l)2_4(f+l)=*_2T,

所以f(2x+l)=(2x+l)2-2(2x+l)-3=4d-4.

故答案為：4X2-4

6.己知/=[+則/(x)的值域為.

【答案】(1,內(nèi))

【分析】先求出/(x)=(x—iy+l(x*l),再結合二次函數(shù)的性質即可得出值域.

Y4-1

【詳解】解：令/=燈，則f=l+±*l,所以

XXX

所以

故"X)的解析式為/(x)=(x-l)2+l(xwl)，其值域為(1,例).

故答案為：(l,y).

7.設定義在(0,+8)上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=24-g(j-1,則g(x)=一

【答案】|4+g(x>0)

【分析】利用方程組法求函數(shù)解析式，將X換成,，兩式聯(lián)立即可求解.

X

【詳解】因為定義在(。,+8)上的函數(shù)g(x)滿足g(x)=2?

將X換成:可得：將其代入上式可得:

g(x)=2Gg(/卜1=2>/x-[--j=-g(x)-1]-1=4g(x)—2\[x—\

所以g(x)='|?+g(x>0),

故答案為：-y/x+-(x>0).

三、解答題

8.在①/(2x-3)=4d-6x,@f(x)+2f(-x)=3x2-3x,③對任意實數(shù)x,y,均有

f(x+y)=2/(y)+，+2砂-V+3》_3y這三個條件中任選一個,補充在下面問題中并解答.已知函數(shù)fM滿

足，求/(X)的解析式.

【答案】f(x)=x2+3x.

【分析】選①，利用換元法即可求出函數(shù)的解析式；

選②，利用方程法即可求出函數(shù)的解析式；

選③，利用賦值法即可求出函數(shù)的解析式.

【詳解】選①，令f=2x—3,貝=

因為/(2工-3)=4/一6x,

所以")=4x(苧2_6x宇

="+67+9-3/-9,

=?+3/，

BP/(x)=x24-3X.

選②，fM+2/(-x)=3x2-3x,(1)

所以/(-x)+2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3x2+3x,(2)

(2)X2-(1)^3/(X)=3X2+9X,

即f(x)=x2+3x.

選③，令x=y=O,

貝！]/(0)=2/(0),即"0)=0,

令y=°,則/(%)=2/(0)+爐+3%=X2+3天,

所以/(X)=X2+3X.

9.求下列函數(shù)的解析式

⑴若/1+[=/+:，求“X)的表達式.

⑵已知3/(x)+2"—x)=x+3,求“X)的表達式.

⑶已知/(x)是二次函數(shù),且滿足〃0)=lJ(x+l)-/(x)=2x,求“X).

【答案】⑴〃勾=*2-2(xM-2或X22)

3

⑵〃x)=x+g

⑶.f(x)=x2-X+l

【詳解】(D解：令f=_r+L當x>0時，貝1=x+，22、]工=2,當且僅當x=l時取等號，

xxVx

當x<0時，t=x+-=-(-x)+—<-2.(-X)--=-2,當且僅當x=-l時取等號，

x[_-xjV-x

所以，區(qū)-2或也2,

且Y+J=(x+Jj_2=r_2,所以，/(/)=/-2,其中Y-2或d2,

因此，/(x)=x2-2(xM-2或xN2).

解：由已知條件可得A["；2m="+3解得〃x)=x+：.

[3f(-x)+2f(x)=-x+35

(3)解:由題知〃x)是二次函數(shù)，

不妨設/(犬)=加+法+。,"0,

因為7?(O)=l"(x+l)-〃x)=2x,

=++/>(%+l)+c-(ax2+bx+c}=2x,

即2ax+a+b=2x,

濟/2a=2

故有|a+b=O，

解得:a=l力=-l,

故/(x)=f-x+l；

題型五分段函數(shù)的應用

^^策略方法

1.分段函數(shù)求值的策略

⑴求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應的

解析式求值.

(2)當出現(xiàn)/(/(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

⑶當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應參照分段函數(shù)不同段的端點.

2.求參數(shù)或自變量的值

解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變

量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可.

3.分段函數(shù)與不等式問題

解由分段函數(shù)構成的不等式，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進行分類討論.如果分段函

數(shù)的圖象比較容易畫出，也可以畫出函數(shù)圖象后，結合圖象求解.

⑴求，(2)J(/(—3))

⑵若/3)=。+6,求實數(shù)々的值

【答案】⑴八2)=3J(/(-3))=5

(2)a=-3或〃=7

【分析】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式計算即可；

(2)分情況討論，代入求解,再驗證后得出實數(shù)。的值

【詳解】⑴/(2)=3,/(/(-3))=/(3)=5

(2)若〃〉0,貝由f(a)=a+6得2々-1=0+6,解得a=7＞0

若。＜0,貝()/(?)="+2a,由/(。)=。+6得。2+2。=4+6,

解得〃=-3或。=2,由于。＜0,。=-3

綜上。=-3或。=7

【題型訓練】

2片,(“<2),

1.設〃?=則1/V(2))=(

log,(A-2-l),(x>2),

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求/&),再求/(/(2))即可.

【詳解】由已知"2)=k)g3(22—l)=l,

.??/(/(2))=/(l)=2e,-'=2.

故選：C.

2Xx<\

2.函數(shù)/（*）="\.,,則f（5）的值為（）

J1

A.gB.2C.32D.專

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可得.f（5）=.f（l）.

【詳解】/（5）=/（3）=/（1）=2'=2.

故選：B.

x2+\,x<l

3.已知函數(shù)/（x）=，若,f（4）=10,則實數(shù)。的值是（)

2x,x>1

A.-3或5B.3或一3C.5D.3或-3或5

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分別討論a<1,兩種情況，結合題中條件，即可求出結果.

【詳解】若avl,則〃。）="+i=io,??.〃=_3（々=3舍去），

若則“〃）=2〃=10,工〃=5,

綜上可得，。=5或々=一3.

故選：A.

-x2-ar-5,x<1

4.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是（）

一，x>1

A.[-3,0）B.（e,-2]

C.（-0）D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結合二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質列不等式求參數(shù)范圍即可.

【詳解】函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，則Ax）在（―內(nèi)上單調(diào)遞增，故-殳1=>。4-2,

此時滿足函數(shù)f（x）在（1,內(nèi)）上也是單調(diào)遞增;

最后，只需在x=l處滿足-F-a-5WanaN-3,

綜上：”的取值范圍是[-3,-2].

故選：D

二、多選題

5.已知函數(shù)"X)=[：3：,T關于函數(shù)/(x)的結論正確的是()

A.〃x)的定義域為R