17.1 勾股定理（1） 課件 2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下

第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2探究：等腰直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1圖2ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1圖29918448SA+SB=SCABC把C“補(bǔ)”成邊長(zhǎng)為7的正方形那么對(duì)于一般的直角三角形這個(gè)結(jié)論也成立嗎？SA+SB=SC+=直角邊2直角邊2斜邊2SA=16SB=9SC=25ABCacbSA+SB=SC如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a、b，斜邊長(zhǎng)為c.猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2結(jié)論：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.命題：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2cab命題證明aaaabbbbcccc用拼圖法證明∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2證法一：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×ab+c2=c2+2ab讀一讀我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1-1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.圖1-2是在北京召開的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（TCM－2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.

圖1-1圖1-2abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦圖

現(xiàn)在我們一起來(lái)探索“弦圖”的奧妙吧！證法二：即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理∵∠C＝90°∴a2+b2=c2如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.cabBCA例：求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度68x5x13∵

x2+52=132∴

x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：例題講解解：（1）由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82x=10∵∴已知△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c（1）已知:a=3,b=4,求c;

（2）已知:

a=1,b=1,

求c.

總結(jié):已知直角三角形的任意兩邊,通過(guò)勾股定理可以求出第三邊.學(xué)以致用cba

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。cba公式變形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a21、判斷題：1)直角三角形三邊分別為a,b,c，則一定滿足下面的式子：a2+b2=c2()

2)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)是5.()

××當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2、求下圖中字母所代表的正方形的面積。225400A81225B6251443、求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③625576144169X=15Y=5Z=74、如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2。49ABCD7cm知識(shí)點(diǎn)：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1．(教材P28習(xí)題T2變式)由于臺(tái)風(fēng)的影響，一棵樹在離地面6m處折斷(如圖)，樹頂落在離樹干底部8m處，則這棵樹在折斷前(不包括樹根)的高度是

(

)A．8mB．10mC．16mD．18mC2．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了

____

步路(假設(shè)2步為1米)，卻踩傷了花草.43．(2023·東營(yíng))一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為

______

km.踩傷了花草.504．(教材P29習(xí)題T10變式)在平靜的湖面上，有一枝紅蓮，高出水面1m，一陣風(fēng)吹來(lái)，紅蓮吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2m，則這里的水深是多少？解：設(shè)水深OC為xm，則OB＝(x＋1)m，由勾股定理，得22＋x2＝(x＋1)2，得2x＝3，∴x＝1.5，∴這里的水深是1.5m波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮．婷婷多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊．離開原處兩尺遠(yuǎn)，花貼湖邊似睡蓮．請(qǐng)你動(dòng)動(dòng)腦筋看，湖水在此多深淺．這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)用勾股定理來(lái)解決這一實(shí)際問(wèn)題．印度的數(shù)學(xué)家婆神迦羅在他的著作《麗拉瓦提》中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：新課講授上面的問(wèn)題可以歸結(jié)為：如圖，AC長(zhǎng)為0.5尺，BC長(zhǎng)為2尺，OA＝OB，求OC長(zhǎng)為幾尺．請(qǐng)你解答這個(gè)問(wèn)題．ACOB解：OA＝OB＝OC＋0.5，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理，OB2＝OC2＋BC2，即(OC＋0.5)2＝OC2＋22，OC＝3.75．所以O(shè)C長(zhǎng)為3.75尺．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長(zhǎng)為18cm，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？AB（1）自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫幾條路線，你覺(jué)得哪條

路線最短？ABABAB

方案①

方案②

方案③（2）如圖，將圓柱側(cè)面剪開展成一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線是什么？

你畫對(duì)了嗎？ABABAB∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴方案③的路線最短．（3）螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是

多少？ABC高12cm，底面周長(zhǎng)18cm．

．求立體圖形中最短路徑問(wèn)題的一般步驟：（1）展平：將立體圖形表面展開為平面圖形，只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面（可能存在多種展法）．（2）定點(diǎn)：確定相關(guān)點(diǎn)的位置．（3）連線：連接相關(guān)點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形．（4）計(jì)算：利用勾股定理求解．例1如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距住宅樓8m（車尾AE距住宅樓墻面CD）處，升起云梯到火災(zāi)窗口B．已知云梯AB長(zhǎng)17m，云梯底部距地面的高AE＝1.5m，問(wèn)發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面多高？解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.

根據(jù)勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），

∴BC＝15m．∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面16.5m．典例精析例2有一個(gè)圓柱形油罐，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建到A點(diǎn)的正上方B

點(diǎn)，問(wèn)梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）ABABA′B′解：圓柱形油罐的展開圖如圖，則AB′為梯子的最短距離．AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），A′B′＝5m，由勾股定理，得AB′2＝

AA′2＋

A′B′

2

＝122＋52

＝169．所以AB′＝13．即梯子最短需13m．AB展開利用勾股定理解應(yīng)用題的三步驟123根據(jù)題意，畫出圖形分析題目中的數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，正確標(biāo)圖，將已知條件體現(xiàn)到圖形中在適當(dāng)?shù)闹苯侨切沃袘?yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算或建立等量關(guān)系，列出方程，解決問(wèn)題5．如圖，一個(gè)圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高AB為5cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是

(

)A．6cmB．12cmC．13cmD．16cmC6．(2023·安陽(yáng)林州七中月考)如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一根到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長(zhǎng)度(罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì))范圍是

(

)A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13A7．(泰州中考)如圖所示的象棋盤中，各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.“馬”從圖中的位置出發(fā)，不走重復(fù)路線，按照“馬走日”的規(guī)則，走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)間的最短距離為

_____．8．(岳陽(yáng)中考)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問(wèn)題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈．問(wèn)戶高、廣各幾何？”其意思為：今有一門，高比寬多6尺8寸，門對(duì)角線距離恰好為1丈．問(wèn)門高、寬各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如圖，設(shè)門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程為

___________________．(x－6.8)2＋x2＝1029．如圖，在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹，走到離樹20