江蘇省淮安市李集中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省淮安市李集中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.參考答案：A略2.如圖，矩形長(zhǎng)為5，寬為3，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒100顆黃豆，數(shù)得落在橢圓內(nèi)的黃豆數(shù)為80顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估算橢圓的面積約為（

）

A．11

B．9

C．12

D．10參考答案：C3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．x=1

B．x=－1

C．y=1

D．y=－1參考答案：B4.實(shí)數(shù)的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知隨機(jī)變量X～N（6，1），且P（5＜X＜7）=a，P（4＜X＜8）=b，則P（4＜X＜7）=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可求得P（4＜X＜7）．【解答】解：∵隨機(jī)變量X～N（6，1），∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=6，∵P（1≤X≤5）=0.6826，∵P（5＜X＜7）=a，P（4＜X＜8）=b，∴P（7＜X＜8）=，∴P（4＜X＜7）=b﹣=．故選：B．6.直線的傾斜角是（

） (A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B7.設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則下列不能成為的概率分布列的一組數(shù)據(jù)是（

）A．B．C．D．參考答案：D8.若平面α，β的法向量分別為u＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1,4)，則()．A．α∥β

B．α⊥βC．α、β相交但不垂直

D．以上均不正確參考答案：C9.已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（

）2345648111418

A.2.6 B.-2.6 C.-2.8 D.-3.4參考答案：B【分析】根據(jù)最小二乘法：，求得平均數(shù)后代入回歸直線即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：；本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求解回歸直線問題，關(guān)鍵在于明確回歸直線必過，因此代入點(diǎn)即可求解出.10.已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為A．

B．

C．

D．參考答案：D通過圖像將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值。所以，解得，由內(nèi)切圓的面積公式，解得。故選D。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，則點(diǎn)P所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是__________.參考答案：略12.將標(biāo)號(hào)分別為1、2、3、4、5五個(gè)小球分別放入紅、黃、藍(lán)、白、黑5個(gè)盒子里，每個(gè)盒子里只放1個(gè)小球．則1號(hào)球不在紅盒內(nèi)且2號(hào)球不在黃盒內(nèi)的概率是

．參考答案：略13.某汽車交易市場(chǎng)最近成交了一批新款轎車，共有輛國(guó)產(chǎn)車和輛進(jìn)口車，國(guó)產(chǎn)車的交易價(jià)格為每輛萬元，進(jìn)口車的交易價(jià)格為每輛萬元．我們把叫交易向量，叫價(jià)格向量，則的實(shí)際意義是

參考答案：.該批轎車的交易總金額

14.若對(duì)于?x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是

．參考答案：[，+∞）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】?x＞0，≤a恒成立，即函數(shù)f（x）=的最大值小于等于a，利用導(dǎo)數(shù)當(dāng)研究函數(shù)的最值，可得答案．【解答】解：∵對(duì)于?x＞0，≤a恒成立，故函數(shù)f（x）=的最大值小于等于a，∵f′（x）=，故當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且恒為負(fù)，當(dāng)﹣1＜x≤1時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，且恒為正，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且恒為正，即x=1時(shí)，函數(shù)有最大值故a的取值范圍是：[，+∞），故答案為：[，+∞）．15.已知0<a<b，x=–，y=–，則x，y的大小關(guān)系是

。參考答案：x<y16.化簡(jiǎn)的結(jié)果是

A．B．

C．

D．參考答案：A17.已知雙曲線與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線方程為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線y2=4x截直線y=2x+m所得弦長(zhǎng)|AB|=．（1）求m的值；（2）設(shè)P是x軸上的點(diǎn)，且△ABP的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）將直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可知．即可求得m的值；（2）由直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，利用三角形的面積公式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將直線方程代入拋物線方程，整理得4x2+4（m﹣1）x+m2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1+x2=1﹣m，．于是==．因?yàn)椋?，解得m=﹣1．∴m的值﹣1；（2）設(shè)P（a，0），P到直線AB的距離為d，因?yàn)閘AB：2x﹣y+m=0，由點(diǎn)到直線的距離公式得，又，所以，于是，解得a=5或a=﹣4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（﹣4，0）．19.已知函數(shù)f（x）=lnx．（1）求函數(shù)g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若x1＞x2＞0，求證：＞．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，極值，最值即可求．（2）本小題轉(zhuǎn)化為在x＞0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)h（x）=，利用導(dǎo)數(shù)研究出h（x）的最大值，再利用基礎(chǔ)不等式可知，從而可知a的取值范圍．（3）本小題等價(jià)于．令t=，設(shè)u（t）=lnt﹣，t＞1，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出u（t）＞u（1）=0，由此能夠證明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．當(dāng)x∈（﹣1，0）時(shí)，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（x）在x=0處取得最大值g（0）=0．（2）∵對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，設(shè)h（x）=，則，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必須a．另一方面，當(dāng)x＞0時(shí)，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必須a≤2，∴滿足條件的a的取值范圍是[，2]．（3）當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)，＞等價(jià)于．令t=，設(shè)u（t）=lnt﹣，t＞1則＞0，∴u（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．20.（2016秋?廈門期末）拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，過點(diǎn)H（3，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，其中點(diǎn)A，C在x軸上方．（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），求△ABC的面積；（Ⅱ）若p=2，直線BC過點(diǎn)F，求直線CD的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）點(diǎn)C（2，2）在拋物線E上，可得4=4p，解得p，可得拋物線E的方程為y2=2x．由AB⊥CD，可得kAB?kCD=﹣1，解得kAB，由直線AB過點(diǎn)H（3，0），可得直線AB方程為y=（x﹣3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得y2﹣4y﹣6=0；可得|AB|=，|CH|，S△ABC=|AB|?|CH|．（Ⅱ）設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），利用AB⊥CD，可得?=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0．根據(jù)直線BC過焦點(diǎn)F（1，0），且直線BC不與x軸平行，設(shè)直線BC的方程為x=ty+1，聯(lián)立，得y2﹣4ty﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)C（2，2）在拋物線E上，∴4=4p，p=1，∴拋物線E的方程為y2=2x，∵kCD==﹣2，且AB⊥CD，∴kAB?kCD=﹣1，∴kAB=，又∵直線AB過點(diǎn)H（3，0），∴直線AB方程為y=（x﹣3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化簡(jiǎn)得y2﹣4y﹣6=0；所以△=40＞0，且y1+y2=4，y1?y2=﹣6，此時(shí)|AB|==10，|CH|==，∴S△ABC=|AB|?|CH|==5．（Ⅱ）設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），則=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），∵AB⊥CD，∴?=（x2﹣3）（x3﹣3）+y2y3=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0，（1）∵直線BC過焦點(diǎn)F（1，0），且直線BC不與x軸平行，∴設(shè)直線BC的方程為x=ty+1，聯(lián)立，得y2﹣4ty﹣4=0，△=16t2+16＞0，且y2+y3=4t，y2?y3=﹣4，（2）∴x2+x3=ty2+1+ty3+1=t（y2+y3）+2=4t2+2，x2?x3===1．代入（1）式得：1﹣3（4t2+2）+9﹣4=0，解得t=0，代入（2）式解得：y2=﹣2，y3=2，此時(shí)x2=x3=1；∴C（1，2），∴kCD==﹣1，∴直線CD的方程為y=﹣x+3．【點(diǎn)評(píng)】本小題考查直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查學(xué)生基本運(yùn)算能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力；考查學(xué)生函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．21.據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示，過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km)．(1)當(dāng)t＝4時(shí)，求s的值；(2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生