第3講下 控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖

信號(hào)流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系，也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)較為方便?？刂葡到y(tǒng)的信號(hào)流圖3.信號(hào)流圖的組成及性質(zhì)用小圓點(diǎn)和帶箭頭的直線組成的圖型，來(lái)表示一個(gè)或一組線性代數(shù)方程，然后利用梅遜/森公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù).組成：信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ)

節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的小圓點(diǎn)。方程組中有幾個(gè)變量，就可用相應(yīng)數(shù)目的節(jié)點(diǎn)。

支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段。線段上箭頭的方向，表示信號(hào)流通的方向。支路旁標(biāo)明的數(shù)字﹑字母或表達(dá)式稱為支路傳輸值或稱為支路傳輸增益。支路上的箭頭指向節(jié)點(diǎn)，叫該節(jié)點(diǎn)的輸入支路；支路上的箭頭離開(kāi)節(jié)點(diǎn)，叫該節(jié)點(diǎn)的輸出支路。用支路增益表示方程式中兩個(gè)變量的因果關(guān)系，因此支路相當(dāng)于乘法器。X1X2a12X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25例

設(shè)有一組線性代數(shù)方程為:

X2=a12X1+a32x3X3=a23X2+a43X4X4=a24X2+a34X3+a44X4X5=a25X2–a45X4怎么畫信號(hào)圖？例設(shè)有信號(hào)圖為:

怎么讀信號(hào)圖？所描述的線性方程組為：注意：(1)信號(hào)在節(jié)點(diǎn)上只能相加；(2)根據(jù)線性代數(shù)方程組，先確定變量數(shù)目，依此排列，然后畫圖；(3)流入節(jié)點(diǎn)的信號(hào)可以各不相同，但流出節(jié)點(diǎn)的信號(hào)表示同一個(gè)信號(hào)。

X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25輸入節(jié)點(diǎn)：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，叫輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)，如X1。輸出節(jié)點(diǎn)：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，叫輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)，如X5?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。

如X2、X3、X4。增加一條單位傳輸支路，可使混合節(jié)點(diǎn)變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，但不能使其變?yōu)檩斎牍?jié)點(diǎn)。X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X41X2通道：凡從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿支路的箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)一些節(jié)點(diǎn)而終止在另一節(jié)點(diǎn)或同一節(jié)點(diǎn)的路經(jīng)，統(tǒng)稱為通道。開(kāi)通道：如果通道從某一節(jié)點(diǎn)開(kāi)始終止在另一節(jié)點(diǎn)上，而且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次，該通道叫開(kāi)通道。

閉通道：如果通道的終點(diǎn)就是通道的始點(diǎn)，而且通道中每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次，該通道叫閉通道或叫回環(huán)、回路。

如a44，a34a43，a23a32；但a23a34a43a32不是。前向通道：在開(kāi)通道中，從源節(jié)點(diǎn)始到阱節(jié)點(diǎn)止，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過(guò)一次的通道。在確定前向通道時(shí)，首先要明確源節(jié)點(diǎn)與阱節(jié)點(diǎn)。X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4不接觸回路：一些沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路，如a44，a23a32。通道傳輸(或增益)：通道中各支路傳輸(或增益)的乗積?；芈穫鬏?或增益)：閉通道中各支路傳輸(或增益)的乗積。

信號(hào)流圖的性質(zhì)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點(diǎn)自左向右順序設(shè)置，每個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)的信號(hào)之代數(shù)和，而從同一節(jié)點(diǎn)流向各支路的信號(hào)均用該節(jié)點(diǎn)的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變換為另一信號(hào)。信號(hào)在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對(duì)于給定的系統(tǒng),節(jié)點(diǎn)變量的設(shè)置是任意的，因此信號(hào)流圖不是唯一的。信號(hào)流圖的化簡(jiǎn)

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：

混合支路的清除：

自回路的消除：4.信號(hào)流圖的繪制信號(hào)流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對(duì)應(yīng)關(guān)系得到。1）按微分方程繪制（用得少）。2）根據(jù)結(jié)構(gòu)圖繪制將輸入量、輸出量、比較點(diǎn)的輸出、分叉點(diǎn)及中間變量改為節(jié)點(diǎn)；用標(biāo)有傳遞函數(shù)的定向線段代替各環(huán)節(jié)的方框，成為流圖的支路。任一信號(hào)流圖，輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間的總增益（即總傳遞函數(shù)），可用如下梅遜公式求得：式中：n---從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道的總條數(shù)。Pk---從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通道的總增益。Δ流圖特征式：5.梅遜Mason公式特征式Δ中：

La是信號(hào)流圖中每一個(gè)單獨(dú)回路的增益。

LbLc是信號(hào)流圖中任何兩兩互不接觸回路增益的乗積。

LdLeLf是信號(hào)流圖中任何三三互不接觸回路增益的乗積。Δk：第k個(gè)前向通道的余因子式；其值為Δ中去掉與第k個(gè)前向通道相接觸回路后的剩余部分。用梅遜公式可不必簡(jiǎn)化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之間的總傳輸即傳遞函數(shù)。例1利用梅遜公式求下圖的信號(hào)流圖中X1與X5之間的增益X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4上圖中有三條前向通道，即n=3，

即P1=–a12a23a34a45

P2=–a12a24a45

P3=a12a25X1X2X3X5a12a23a34-a45a32a44a43a24a25X4

ΣLa=a23a32+a34a43+a44+a24a43a32單獨(dú)回路的增益之和

ΣLbLc=a23a32a44兩兩互不接觸回路增益的乗積之和Δ=1–ΣLa

+ΣLbLc

特征式

=1–(a23a32+a34a43+a44+a24a43a32)+a23a32a44Δ1=1,Δ2=1,Δ3=1–a34a43

–

a44Δk：第k個(gè)前向通道的余因子式；其值為Δ中去掉與第k個(gè)前向通道相接觸回路后的剩余部分。X5與X1之間的增益X5/X1為

根據(jù)信號(hào)流圖，用梅森公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其步驟：1.找前向通道，并求：2.①找回路，求：②找兩兩不接觸的回路：③找三三不接觸的回路，求：3.求特征式：4.求余因子式：5.代入公式：例2圖中所示信號(hào)流圖共含有5個(gè)單獨(dú)回路和3對(duì)互不接觸回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

所有單獨(dú)回路增益之和為兩兩互不接觸回路增益乘積之和為

而△值為

把△中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，從輸入到輸出的前向通道、其增益以及相應(yīng)的余子式如下表所示：前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1[解]：前向通道有一條；有一個(gè)回路；[例3]求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計(jì)擾動(dòng)）[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號(hào)流圖如下：[例4]：繪出兩級(jí)串聯(lián)RC電路的信號(hào)流圖并用Mason公式計(jì)算總傳遞函數(shù)。---圖中，有一個(gè)前向通道；有三個(gè)回路；有兩個(gè)互不接觸回路；（因?yàn)槿齻€(gè)回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：討論：信號(hào)流圖中，a點(diǎn)和b點(diǎn)之間的傳輸為1，是否可以將該兩點(diǎn)合并，使得將兩個(gè)不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不能合并！因?yàn)閍、b兩點(diǎn)的信號(hào)值不一樣。[例5]：使用Mason公式計(jì)算下述結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)[解]：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點(diǎn)，如上。然后畫出信號(hào)流圖，如下：++--回路有三，分別為：有兩個(gè)不接觸回路，所以：求：前向通道有二，分別為:求：（藍(lán)線表示）

不變。（紅線表示）注意：上面講不變，為什么？是流圖特征式，也就是傳遞函數(shù)的特征表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特征表達(dá)式（流圖特征式）總是不變的。注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對(duì)輸入的增益。而輸出對(duì)混合節(jié)點(diǎn)（中間變量）的增益就不能直接應(yīng)用梅森公式。對(duì)此問(wèn)題有兩種方法求其傳遞函數(shù)：一、把該混合節(jié)點(diǎn)的所有輸入支路去掉，將其作為輸入節(jié)點(diǎn)處理，然后再用梅森公式。二、分別用梅森公式求取輸出節(jié)點(diǎn)及該節(jié)點(diǎn)對(duì)輸入節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，然后把它們的結(jié)果相比，即可得到輸出對(duì)該混合節(jié)點(diǎn)的傳遞函數(shù)，如上題中E節(jié)點(diǎn)。[例6]數(shù)數(shù)有幾個(gè)回路和前向通道。

有四個(gè)回路，分別是：它們都是互相接觸的。

有九條前向通道，分別是：

對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖為：--+++++為節(jié)點(diǎn)注意：①先將信號(hào)流圖中的節(jié)點(diǎn)照搬；②仔細(xì)確定前向通道和回路的個(gè)數(shù)，箭頭從節(jié)點(diǎn)指向相交點(diǎn)。作業(yè)2-15(a),(b),(c)6.閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

閉環(huán)控制系統(tǒng)（也稱反饋控制系統(tǒng)）的典型結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：-+

圖中，，為輸入、輸出信號(hào)，為系統(tǒng)的偏差，為系統(tǒng)的擾動(dòng)量，這是不希望的輸入量。由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求 對(duì)和對(duì)的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量。（一）給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：令，則有：-輸出量為：上式中，稱為前向通道傳遞函數(shù)，前向通道指從輸入端到輸出端沿信號(hào)傳送方向的通道。前向通道和反饋通道的乘積稱為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。含義是主反饋通道斷開(kāi)時(shí)從輸入信號(hào)到反饋信號(hào)之間的傳遞函數(shù)。（二）擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：此時(shí)R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)為：輸出為：-+給定輸入和擾動(dòng)輸入