2023年高考數(shù)學(xué)真題：數(shù)列（解析版）

專題07數(shù)列

目錄一覽

2023真題展現(xiàn)

考向一等差數(shù)列

考向二等比數(shù)列

考向三數(shù)列綜合

真題考查解讀

近年真題對比

考向一等差數(shù)列

考向二數(shù)列遞推公式

考向三數(shù)列的求和

考向四數(shù)列綜合

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

易錯易混速記/二級結(jié)論速記

考向一等差數(shù)列

1.（2023?新高考J?第7題）記S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛詼｝為等差數(shù)列；乙：W｝為等差數(shù)列,

則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

解：若｛即｝是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為m，公差為d,

則s尸因什若父乩

nnSn,n-1.dd

即——ciiHd——i—,

it222

故｛1｝為等差數(shù)列，

71

即甲是乙的充分條件.

反之，若｛1｝為等差數(shù)列，則可設(shè)嗎-1=0,

nn+1n

則皂=S|+(n-1)D,即S,=〃Si+〃(n-1)D,

n

當(dāng)"》2時，有S,-i=(〃-I)Si+("-I)(n-2)D,

上兩式相減得：an—Sn-S?-i=Si+2(/J-1)D,

當(dāng)”=1時，上式成立，所以“"=。1+2(n-1)D,

則an+i-a?=a\+2nD-[a,+2(n-1)D]=2D(常數(shù)),

所以數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列.

即甲是乙的必要條件.

綜上所述，甲是乙的充要條件.

考向二等比數(shù)列

2.(2023?新高考H?第8題)記S.為等比數(shù)列｛飆｝的前〃項(xiàng)和，若S4=-5,S6=21S2)則Ss=()

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解：等比數(shù)列｛斯｝中,S4=5,S6=21S2.顯然公比

設(shè)首項(xiàng)為0，則皿山=一5①，皿2吧=紡業(yè)吧②，

1-q1-q1-q

化簡②得/+/-20=0,解得/=4或寸=-5(不合題意，舍去)，

代入①得F=；，

1-q3

所以&=JC-q")=烏_(1-94)([+4)=：x(-15)X(1+16)=-85.

1-q1-q113

考向三數(shù)列綜合

3.(2023?新高考I?第20題)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,且d>l.令兒=之工記S”，7；分別為數(shù)列｛斯｝,

?n

｛兒｝的前〃項(xiàng)和.

(1)若3a2=30+。3，$3+73=21,求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)若｛d｝為等差數(shù)列，且89-兀9=99,求4.

解：(1)；3。2=3。1+。3，$3+4=21,

(3(%+d)=3al+%+2d

...根據(jù)題意可得3%+3d+(J3+=)=21,

I1ai+dai+2d，

.產(chǎn)=d

--(6d+^=21'

、a

；?2岸-7d+3=0,又d>l,

工解得d=3,.'.c〃=d=3,

=

ana\+(n-1)d=3n,〃WN*；

(2)???｛&)為等差數(shù)列，｛d｝為等差數(shù)列,且-=詈,

???根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)?！?打，則匕=等，且d=f>l；

或設(shè)斯=%(〃+1),貝％=￡,且d=Ql,

①當(dāng)an=tn,bn-卓,d=t>1時，

.|cT(t+99t)x992,100、99

則mS99-799=--Y-------(；z+—)Xy=99,

.,.50t-y=1,???50戶-，-51=0,又d=f>l,

J解得d=t=春

②當(dāng)小=攵(〃+b=女>時，

1),n7k,4=1

則-八9=名絲翠處”_《+普)x合=99,

：.51k--=d=k>l,

k1,；.51F-50=0,又

??.此時2無解，

...綜合可得d=?.

50

4.(2023?新高考II?第18題)己知｛%｝為等差數(shù)列，兒=1即一6,幾為奇數(shù)，記與“刀,為｛d｝的前"

I2an,n為偶數(shù)

項(xiàng)和，54=32,73=16.

(1)求｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

Sn,7；為｛為｝｛兒｝的前〃項(xiàng)和，54=32,73=16,

則產(chǎn)+?2+?3+a4=32_即=32,解得=5,

(%—6+2a2+。3-6=16&-7E=2

故〃“=5+2(--I)=2〃+3：

2n-3,n為奇數(shù)

(2)證明:由⑴可知，b=

n4n+6,n為偶數(shù)'

Sn="fj+4)n,

當(dāng)”為偶數(shù)時，〃>5,

。產(chǎn)-1+3+…+2(n-1)-3+14+22+??,+4/1+6

=_^[>-l+2(n-l)-3]十^(14+4n+6)_j(14+6n)_n'(3n+..7.)

2222f

Tn-Sn=^->0,

ra

當(dāng)n為奇數(shù)時，〃>5,Tn=Tn.\+bn=(n-*n+4)+2n—3=3

2

Tcn-3n-10、25-15-10

Tn-S〃=------->-------

故原式得證.

真題考查解讀

【命題意圖】

考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式，考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；考查數(shù)列的求和方法，

考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查數(shù)列和其他知識結(jié)合等綜合知識.

【考查要點(diǎn)】

數(shù)列是高考考查熱點(diǎn)之一，其中等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及與等差、等比數(shù)列有關(guān)

的錯位相消求和及裂項(xiàng)相消求和，是考查的重點(diǎn).作為數(shù)列綜合題，常和充要條件、方程、不等式、函數(shù)

等結(jié)合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者證明不等式等，對于基礎(chǔ)能力和基礎(chǔ)運(yùn)算要求較高.

【得分要點(diǎn)】

1.解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問題的幾點(diǎn)注意

(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；

(2)對于計算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；

(3)注重問題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式

和性質(zhì)解題；

(4)當(dāng)題目中出現(xiàn)多個數(shù)列時，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間

的內(nèi)在聯(lián)系.

2.數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根

據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，一般常見的求和方法有：

(-)公式法

①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：S產(chǎn)邈羅二.+巧

②等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

<7=1,

S=ya\—aq8(1-力一

l}-；----n=-；-----，qWL

1-。1-Q

③數(shù)列前〃項(xiàng)和重要公式：

⑴以=1+2+3+.+〃=皿電

k=\2

(2)￡(2左-1)=1+3+5++(2〃-1)=〃2

*=i

(3)￡%3=r+23+…+〃3=l?(n+l)

k=\_2

n1

(4)?=I2+22+32+---+H2=—〃(“+1)(2〃+1)

M6

(5)等差數(shù)列中，Sm+?=Sm+S?+mnd；

⑹等比數(shù)列中，Si=s.+q，5.=s”,+q，s-

(二)分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.

(三)裂項(xiàng)(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求

和.

(四)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

(1)適用條件：若｛a,,｝是公差為d(dWO)的等差數(shù)列，｛4｝是公比為g(qWl)的等比數(shù)列，求數(shù)列｛a“ZU

的前〃項(xiàng)和S;

(2)基本步驟

第一步—|展開S“=ard+%.62+”.+*.”-i+aj”①)

第二步乘公比"+<?2"3+…+%十]“十%?””②]

亞

第三步f錯位相減①■②得(1-9電=5"1+4(62+%+,?,+

bjq%

3E

r_4?61+4(62+63+…+%)-4?叫+1

求和七1

i-q

(3)注意事項(xiàng)：①在寫出S與的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出

S”qS”;

②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間〃一1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；

③運(yùn)算時，經(jīng)常把為+6sH---F6〃這〃一1項(xiàng)和看成〃項(xiàng)和，把一&4+1寫成+為4+1導(dǎo)致錯誤.

(五)倒序相加法

如果一個數(shù)列｛8,),與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式

相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此

法.用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r這種關(guān)系比較隱蔽.

近年真題對比』

考向一等差數(shù)列

5.(2022?新高考H)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA',BB',CC',DD'是桁，相鄰桁的水

平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中。A,CCi,BBi,AAi是

DDiCCiBBiAAi

舉，0D\,DC\,CB\,84是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為一L=0.5-------—L=Q,—1

0D?DC?CB?BAj

=h.已知％,k2,公成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725,則％3=()

圖2

C.0.85D.0.9

【解答】解：設(shè)ODI=OCI=C8I=BAI=1,則CCi=M,BB\=h，441=出3,

由題意得：知=內(nèi)-0.2,to=fo-0.1,

DD<+CC?+BB1+AA?

且一-——-——-——L=0725，

ODj+DCi+CBj+BAi

解得總=0.9,

故選：D.

考向二數(shù)列遞推公式

6.(多選)(2021?新高考H)設(shè)正整數(shù).=ao?2°+ai?2i+…+或-1，2*-1+以?2",其中”W{0,1},記3(〃)

—ao+ai+---+ak,則()

A.3(2〃)=3(n)B.3(2"+3)=3(n)+1

C.3(8/7+5)=3(4/1+3)D.3(2"-1)=n

【解答】解：2M=?(),21+(z??22+"?+ak-1*2k+ak*2l<+1,w(2/7)=3(〃)=ao+m+…+以，對；

當(dāng)”=2時，2n+3=7=P2°+P21+l*22,；.3(7)=3.

V2=0*2°+l?21,；.3(2)=0+1=1,；.3(7)#3(2)+1,...B錯；

：8〃+5=如?23+m?24+…+以?2什3+5=1?2°+1?22+ao?23+ar24+^?+m*2A-+3,

.,.co(8〃+5)=ao+a\+"*+ak+2.

*/4n+3=ao?22+〃]?2，+???+ak?2>?+3=1?2°+1?21+ao?22+a\^23^^^^+ak?2k+2,

/.CD(4〃+3)=4()+。1+???+以+2=3(8H+5).；?C對；

V2n-l=l?2°+P2l+?^+l?2,rl,；.3(2"-1)=〃,.?.￡)對.

故選：ACD.

考向三數(shù)列的求和

7.(2021?新高考I)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)

格為20小〃X12而？的長方形紙，對折1次共可以得到TOdmX12dm,20dmX6而?兩種規(guī)格的圖形，它們

的面積之和Si=240而P,對折2次共可以得到5而zX12而，10dmX6而力20曲?X3d機(jī)三種規(guī)格的圖形，

它們的面積之和S2=180而A以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對

n

折〃次，那么￡SA=dm2.

k=l

【解答】解：易知仃20dniXgdin,lOdinxgdin,5dinX3din,~dm^6din,?dinX12dirr共5種現(xiàn)

4224

格；

由題可知，對折上次共有什1種規(guī)格，且面積為四，故s,=240(k+l),

2kk2k

則上產(chǎn)唱號,記/詈則丸哈舞

]乙_個k+1_/k+]-i百1k+2_flk+])_n+1

萬”匕正占尹幺尹占產(chǎn)訶

上(1-—)

,,42n-1n+13n+3

12.122血

2

n+3

.W一

n

???￡“=240(3岑)?

k=i2n

故答案為：5；240(3」電).

2n

考向四數(shù)列綜合

8.(2021?新高考H)記S是公差不為。的等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，若G3=S5,。244=54.

(I)求數(shù)列｛?！ǎ耐?xiàng)公式即；

(II)求使S〃>a〃成立的n的最小值.

【解答】解：(I)數(shù)列S是公差d不為0的等差數(shù)列伍〃｝的前〃項(xiàng)和，若G=S5,〃244=S4.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，43=55=5.3,故〃3=0，

根據(jù)42O4=S4可得(a3-d)(。3+4)=(C13-2d)+(43-d)+〃3+(43+d),

整理得-/=-2d,可得d=2(d=0不合題意)，

故〃“=。3+(〃-3)d=2n-6.

(II)an=2n-6,m=-4,

Sn=-4“+n(n-l)X2="2,5/JI

2

Sn>an)即n~-5n>2n-6,

整理可得n2-7〃+6>0,

當(dāng)”>6或“VI時，S">”"成立,

由于“為正整數(shù),

故”的最小正值為7.

9.e?新高考I)已知數(shù)列的滿足……卜3A］警

a:2,n為偶數(shù).

(1)記加=。2〃,寫出加,歷,并求數(shù)列｛叢｝的通項(xiàng)公式;

(2)求他〃｝的前20項(xiàng)和.

ajl，n為奇數(shù)

【解答】解：(1)因?yàn)椤?=1,4〃+1=4

a:2,n為偶數(shù)'

所以42=41+1=2,43=42+2=4,44=43+1=5,

所以從=42=2,歷=44=5,

bnbn-\=d2n~Clin-2=Cl2nCl2n-I+。2〃-1-Cl2n-2=1+2=3,〃-2,

所以數(shù)列S〃｝是以b｝=2為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，

所以加=2+3(/?-1)=3/7-1.

另解：由題意可得42〃+1=42〃-1+3,〃2“+2=42〃+3,

其中01=1,42=41+1=2,

于是bn=a2n=3(〃-1)+2=3〃-L〃WN*.

(2)由(1)可得。2〃=3〃-1,〃€N*,

則。2〃-1=。2〃-2+2=3(n-1)-1+2=3〃-2,幾22,

當(dāng)〃=1時，〃1=1也適合上式，

所以ain-1=3/?-2,n€N*,

所以數(shù)列｛〃〃｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，

則｛〃“｝的前20項(xiàng)和為。1+42+...+42()=(41+43+…+。19)+(42+44+…+。20)=10+1°義,X3+10X2+1。X

22

X3=300.

S

10.(2022?新高考【)記S〃為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，已知ai=l,｛—2｝是公差為」■的等差數(shù)列.

(1)求｛板｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明：-L+^L+-+-L<2.

ala2an

s

【解答】解：(1)己知0=1,｛上｝是公差為上的等差數(shù)列，

an3

所以廣=1,(n-1)=會看整理得Sn^nan+^an，①,

故當(dāng)"》2時，Sn_j=y(n-1)②，

①-②得：，dna--na-a」

§,33n^n-l3an-l

故(〃-1)an=(n+l)an.

化簡得：上山，..…，蹌=生21=3：

an-in-1an_2n-2a22ali

所以工n(n+1)

ai2

n（"l）（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）.

故an

2

n(n+l)

所以a

n~2~

由于乙呼

證明：（2）

所以工百篇-=2《焉），

an

所以上..+—=241)=2X(磊)<2

ala2annn+1

11.(2022?新高考H)已知｛“"｝是等差數(shù)列，｛為｝是公比為2的等比數(shù)列，且“2-歷=43-63=/>4-a4.

（1）證明：ai=b\；

（2）求集合｛他1<，%W500｝中元素的個數(shù).

【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為力

由02-歷=〃3-加，得m+d-2b]=a\+2d-4/?i,則d=2b\,

由々2-歷=64-〃4,得m+d-2。1=8力-(ai+3J),

即m+d-2歷=4d-(ai+3J)，

??u\=b\?

(2)由(1)知,d=2bi=2〃i,

山以=即+。|知，b]■2'1=a]+(iirl)d+aj

???電?2卜1=1>1+（1[1-1）?2電+1）1，即21=2如

又1WWW500,故2W211W1000,則2WZW10,

故集合｛A跳=〃m+m,1WWW500｝中元素個數(shù)為9個.

命題規(guī)律解密

重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，考查錯位相減、裂項(xiàng)相消等求和方法。

有時考查數(shù)列的創(chuàng)新問題，實(shí)際應(yīng)用問題，與不等式的綜合問題，考查劃歸與轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力。

考查形式多樣。

名校模擬探源

數(shù)列的函數(shù)特性（共4小題）

1.（2023?河南模擬）己知數(shù)歹的通項(xiàng)公式為an=2n-2023n（nfN*），則當(dāng)最小時，〃=（）

A.9B.10C.11D.12

n

【解答】解：數(shù)列｛?。?，an=2-2023n-

則a/「an=2n_2023，

而210V2023V2”,

于是當(dāng)10時，〃/計1-〃〃V0,即

當(dāng)〃211時，an+\-即?！?/p>

因此當(dāng)於N*,時，數(shù)列｛〃”｝單調(diào)遞減，當(dāng)〃211時，數(shù)列｛〃”｝單調(diào)遞增，

所以當(dāng)且僅當(dāng)〃=11時，〃〃最小.

故選：C.

2.（2023?西固區(qū)校級一模）數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)積為次,那么當(dāng)時，劭=.

【解答】解：設(shè)數(shù)列｛"〃｝的前〃項(xiàng)積為Tn,則…」如二川①,當(dāng)幾22時7〃-1=414243X…

Xan-\=（〃-1）2②，①4■②得（—2—）*123（〃22）；

n-l

故答案為：（」一）2（〃22）.

n-l

3.（2023?南崗區(qū)校級三模）己知數(shù)列伍〃｝的通項(xiàng)公式是劭=2〃-I,記版為｛〃〃｝在區(qū)間際2〃?）（〃代N*）

內(nèi)項(xiàng)的個數(shù)，則加=,不等式加+L加＞2062成立的m的最小值為.

【解答】解：令mW2“-lV2%得空L4n〈2mTj，

22

當(dāng)根為奇數(shù)時，b=2^1-空L+1=2-典」，

Dm4222

當(dāng)"，為偶數(shù)時，=2,rr1--+l=2IIr1---

bm422

所以加=24-§+1=14,

22

當(dāng)"，為奇數(shù)時，bm+i-bm=2m(221￡卷)=-1>2062，

即2"廠1>2063,因?yàn)?“<2063<212,所以加-1212,即,“213,

因?yàn)?，〃為奇?shù)，所以，"的最小值為13；

當(dāng)〃?為偶數(shù)時，bm+i-bm=2血^(221￡)=221>2062，

因?yàn)?“V2062V2%所以〃L1N12,即山213,

因?yàn)閙為偶數(shù)，所以m的最小值為14.

綜上所述，m的最小值為13.

故答案為：14；13.

4.(2023?海淀區(qū)校級模擬)已知點(diǎn)列T-.Pi(xi,yi),尸2(X2,…Pk(xk,”)(依N*,Z，2)

X=x_<+1fx=x_

滿足Pi(I,1),ii與］ii1(i=2,3,4…4)中有且只有一個成立.

(1)寫出滿足％=4且滿足尸4(3,2)的所有點(diǎn)列；

kk

(2)證明：對于任意給定的k(AWN*,4》2),不存在點(diǎn)列T,使得￡y.=2勺

i=l1i=l1

kk

(3)當(dāng)％=2〃-1且尸2〃一1(小〃)(HGN*,〃22)時，求￡xX￡y.的最大值.

i=l1i=l1

【解答】解：(1)符合條件的點(diǎn)列T為：Pi(1.1),Pl(1,2),尸3(2,2),P4(3,2),

或Pi(1,1),P2(2,1),P3(2,2),P4(3,2),

或P(1,1),P2(2,1),P3(3,1),P4(3,2)；

(2)證明：由已知對沙=樸|+9一1+1,則數(shù)列｛?+)?｝是公差為1的等差數(shù)列，

由xi+yi=2,可得xi+yi=i+1(i=l,2,…，k),

kkk1

￡x+￡y,=￡(H+V)=2+3+???+(KI)=Ua+3),

i=l1i=l1i=l2

kk

若存在點(diǎn)列r,使得￡Xj+￡y.=2〃，即工(k+3)=2k,即Aa+3)=2?+i,

i=l1i=l12

由A和A+3一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)，且k》2,而整數(shù)2什〕不含大于1的奇因子，

kk

故對于任意給定的k(k€N*,右2),不存在點(diǎn)列7,使得￡y.=2*;

i=l1i=l1

(3)由已知％=i+l-制(i=L2,…，2n-1),

kk

￡XX￡y.=(xi+x2+…+x2〃-1)(2-xi+3-戈2+…+2〃-X2〃-1)

i=l1i=l1

=(X1+X2+…+X2〃-1)((2+3+…+2〃)-(X1+X2+…+X2〃-1)),

kk

令f=Xl+X2+…+X2〃.1,則￡XX￡y?=4(〃+l)(2〃-1)-/],

i=l1i=l1

考慮了(f)=4(n+1)(2n-1)-t\,

①當(dāng)〃為奇數(shù)時，可得上(”+l)(2〃-1)為正整數(shù)，

2

構(gòu)造數(shù)列｛xi｝：1.2,…，—(〃+1),…，—(n+1),—(n+1)+1,,?,>〃，

222

對應(yīng)數(shù)列｛yi｝：1,1,…，1,2,…，〃，…，n.

而此時X1+X2+…+X2*1,=1+2+…+〃+工(n+1)+—(n+1)(〃+1)=1+2+…+〃+」(n+1)(/?-

2222

1)

=-1(n+1)(2n-1),

2

所以喝3D⑵7),1］乂￡門的最大值為乎"+1)2(2〃7)2；

/i=li=l&

②當(dāng)n為偶數(shù)時，可得上(n+1)(2?-1)不為正整數(shù)，-1(n+1)<2//-1)-上是離其最近的正整數(shù),

222

構(gòu)造數(shù)列｛?,｝：1,2,,,,>—n,…，L?,上n+1,A,J+2,…，n,

2222

對應(yīng)數(shù)列｛y」：1,1,…，1,2,…,—n+l,Xi+1,—n+2,—//+—//.…,n.

22222

而此時X\+X2+"'+X2n-1>=1+2+…+”+▲〃+…+L?+L"+l…+工"+1=

2222

A(n+1)(2?-1)-A,

22

kk

所以(2/7-1)-XyXxyy的最大值為2(〃+l)2(2〃-1)2-上

22占?占％44

二.等差數(shù)列的性質(zhì)(共4小題)

5.(2023?安慶二模)己知等差數(shù)列｛.｝滿足1+2?=4,則“2+43不可能取的值是()

14

A.-3B.-2A/2C.立一D.V2

2

【解答】解：設(shè)m=2cos8,a4=2sin。.

則42+a3=m+〃4=2cose+2sine=2V^sin（84-2^/^,2*\/2b

.??42+。3不可能取的值是-3.

故選：A.

6.（2023?江西模擬）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物

的剖面圖，DDi,CCi,BBi,AAi是舉，。。1,DCi,CBi,84是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

DD1CC1BB1AA1

——L,—L,—L,且成首項(xiàng)為0.114的等差數(shù)列，若直線OA的斜率為0.414,則該數(shù)列公

ODiDCiCB1BA]

【解答】解：由圖形得。力i=E>Ci=CBi=84,不妨設(shè)QDi=OCi=CBi=84i=l,則皿）1=0.114,CC\

—x,BB\-y,AAi—z,

DD<+CC<+BB<+AA,n11A+++

由題意得一1-------1-------1-------1=0.414,即5l14+Yx+Vy+7z=0414,

0D?+DC?+CB?+BA?4

設(shè)數(shù)列的公差為d,則x=0.114+d,y=0.114+2d,z=0.114+3J,

.0.114X4+6d=0.414,解得"=0.2,

故選：B.

7.（2023?阿拉善盟一模）已知｛加｝是等差數(shù)列，S”是｛““｝的前〃項(xiàng)和，則“對任意的〃6N*且”W3,Sn>

S3"是的（）

A.既不充分也不必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.充要條件

【解答】解：由對任意的“CN*且〃W3,Sn>S3,可得等差數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和的最小值為S3,

等差數(shù)列｛斯｝僅有前三項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)，且公差d>0,

...可得44>。3,

反過來，由04>。3,可得d>0,但不能得到等差數(shù)列｛.｝僅有前三項(xiàng)為負(fù)項(xiàng),

即不能得到等差數(shù)列｛““｝的前n項(xiàng)和的最小值為S3,

“對任意的KN*且〃W3,Sn>S3”是的充分不必要條件,

故選：B.

8.(2023?青羊區(qū)校級模擬)下列結(jié)論中正確的是()

A.若a>b>0,c<d<0,則互>更

cd

B.若x>y>。且孫=1‘則(x+y)

y2X，

C.設(shè)｛〃〃｝是等差數(shù)列，若。2>41>0,則&2<正高

D.若xW[0,+8),則In(1+x))乂4乂2

o

【解答】解：選項(xiàng)A,由c<d<0,可得-c>-d>0,則]>」>o，

dc

又4b>0,所以二?〉衛(wèi)，則互>包，故A正確.

deed

1>

選項(xiàng)8,取x=2,y—則x」-=4,log2(x+y)=log2-^^V

Ny2，其N

則不等式X」>工〉log。(X+y)不成立，故B不正確.

y2X

選項(xiàng)C,由題意得4i+〃3=2n2且m#43,

所以“2蔣(a1+&3)義2，@1@3川&1@3‘故《不正確，

選項(xiàng)。，設(shè)h(x)=ln(1+x)一乂+乂2，貝Uh'(x)=(x"嚀=:jj+jj，

當(dāng)0VxV3時，h'(x)<0,則力(x)單調(diào)遞減，h(x)<h(0)=0,

即In(1+x)<x—x'故。不正確,

o

故選：A.

三.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(共3小題)

9.(2023?武功縣校級模擬)已知數(shù)列｛的｝為等差數(shù)列，雨=2,w=-4,那么數(shù)列伍〃｝的通項(xiàng)公式為()

A.Cln=~2/1+10B.Cln=-2〃+5C.Cln=--Al+10D.Cln=~—71+5

22

【解答】解:設(shè)等差數(shù)列｛如｝的公差為d.

Vtz4=2,ai=-4,

faj+3d=2

a1+6d=-4

解得6ti=8,d=-2.

.'.an=a\+(/?-1)d=8-2(H-1)=10-2〃.

故選：A.

10.(2023?涼山州模擬)在等差數(shù)列｛〃〃｝中,。2+。4=2,八=3,則以9=()

A.3B.5C.7D.9

【解答】解：由題設(shè)。2+〃4=2〃3=2,則。3=1,而45=3,

a5a3

若等差數(shù)列公差為d,則d=-=1,

所以3｝通項(xiàng)公式為的=。3+(/I-3)d=n-2,

故619=7.

故選：C.

11.(2023?雁塔區(qū)校級模擬)已知數(shù)列卜片｝為等差數(shù)列，且m=l,a4=^|，則"2023=()

A2021B_2021C2019D2019

'2023-2023'2021'’2021

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列1_￡｝為等差數(shù)列，且小=1,a4=-l,

所以-I—義2=4,

1+a?1+&4

設(shè)該等差數(shù)列的公差d,則3d=47=3,即d=l,

——?——=1+20224=2023,

1+a2023

所以“2023=-2021.

2023

故選：B.

四.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(共2小題)

12.(2023?玉樹州模擬)記等差數(shù)列｛a,｝的前〃項(xiàng)和為S”若SII=44,則〃4+“6+。8=()

A.12B.13C.14D.15

【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，

11(a+a)

則S]]二----―7；————二11a§=4個變形可得〃6=4,

又由44+48=〃6，則〃4+。6+〃8=3優(yōu)=12.

故選：A.

13.(2023?陳倉區(qū)模擬)在等差數(shù)列｛〃〃｝中，46,418是方程/-8x-17=0的兩個根，則伍〃｝的前23項(xiàng)的

和為()

A.-184B.-92C.92D.184

【解答】解：46,418是方程，--17=0的兩個根，

所以06+418=8,

所以｛s?｝的刖23項(xiàng)的和s2。=-----g~且_=-----L——=92?

故選：C.

五.等比數(shù)列的性質(zhì)（共4小題）

Sq1Sn

14.（2023?玉林三模）已知等比數(shù)列｛板｝的前〃項(xiàng)和為S,若二=工，則一豈=（）

$66S3

A.12B.36C.31D.33

【解答】解：由題意可知，S3,S6-S3,S9-S6為等比數(shù)列，

則（S6-S3）2=S3（S9』），

..S31

?--=—，

s66

，

25S3=S3S9-6S3解得S9=31S3,

S

；，―^9-=31.

$3

故選：C.

15.（2023?河南模擬）已知數(shù)列｛加｝為等比數(shù)列，斯＞0,〃€N*,且a.+a9…+a2』?空-入，則實(shí)數(shù)

12n3

入=（）

A.2B.工C.3D.工

23

【解答】解：因?yàn)閿?shù)列｛的｝為等比數(shù)列，所以｛an2｝也為等比數(shù)列，

n2n

2_aj(l_q)_af%q

設(shè)數(shù)列｛a/）的公比為4,貝Ua；+a/=z

n1-q1-q1-q

因?yàn)閍：+a：+，，，+a：A，4n-人,

22

a11a1

所以一1義，-X=—

]_q3l_q

所以人」.

3

故選：o.

16.（2023?鎮(zhèn)江三模）已知41,42,43,3,45成等比數(shù)列，且2和8為其中的兩項(xiàng)，則“5的最小值為（）

【解答】解：若相鄰兩項(xiàng)為2和8,則公比為正數(shù)，每一項(xiàng)都為正數(shù)，求的是最小值，應(yīng)該要負(fù)數(shù)，故

舍去；

若奇數(shù)項(xiàng)為2和8,則奇數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)，舍去；

因此只能〃2和〃4分別為2和8,

當(dāng)42=8,44=2時，公比為±*,則〃5=4的=±1；

當(dāng)42=2,44=8時，公比為±2,則“5=44]=±16;

則45的最小值為-16.

故選：B.

17.（2023?吳忠模擬）已知｛“〃｝是等比數(shù)列，若。3。7=3。5,且。8=-24,則。10=()

A.96B.-96C.72D.-72

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛4〃｝的公比為夕,

??45=3,

??q，=---=-8?解得：q=~2,

a5

?2

,?a10=a8q=-24X4=-96-

故選：B.

六.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(共5小題)

18.(2023?河南模擬)在等比數(shù)列｛〃〃｝中，若。5=2,。348=。7,則｛〃〃｝的公比4=()

A.^2B.2C.272D.4

【解答】解：依題意，由。348=07,

可得

化簡整理，得〃4=1,即衣=1,

公比夕=上§_=2=2.

a41

故選：B.

19.(2023?南江縣校級模擬)在等比數(shù)列｛〃〃｝中，m+-=2,。5+-=18,則。3+。5=()

A.3B.6C.9D.18

4.4

4

【解答】解：因?yàn)閙+G=2,45+3=18,所以二—1=—i---------—=a=9>解得/=3,

al+a3al+a3

則23+25=(a^ag)q2=6-

故選：B.

20.(2023?山西模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃〃｝滿足〃3-m=2,則〃4+。3的最小值是()

A.4B.9C.6D.8

【解答】解：由。3-m=2,得a1q2_ai=2,即ai-—(q>l)，

11，乙4

q-1

32

則a4+a3=a,(q+