指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練【例題精選】： 例1：如果指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在各自的定義域內(nèi)的增減性是相反的，即為增函數(shù)，為減函數(shù)；或?yàn)闇p函數(shù)，為增函數(shù)，那么的取值集合是 。 解析：此題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，依題意有 或 ∴ 或 ∴ 因此的取值集合為。 答案：。 例2：函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能是〔 〕 解析：這里要注意的圖象和圖象的關(guān)系，它們是關(guān)于軸對稱的，因此，的圖象，當(dāng)時(shí)為如以下圖〔1〕所示，當(dāng)時(shí)為如以下圖〔2〕所示。 由此容易得，此題應(yīng)選A。 答案：A。 例3：比擬大小，并說明理由： 〔1〕； 〔2〕 〔3〕與 解：〔1〕∵ 函數(shù)在上是增函數(shù)， 又 0<0.95<0.96 ∴ ∴ ∴ 〔2〕∵ 函數(shù)在上是減函數(shù)， 又 ， ∴ 〔3〕由，得， 又當(dāng)時(shí)，有， 并且函數(shù)在上是增函數(shù)， ∴ < 小結(jié)：利用函數(shù)單調(diào)性比擬大小，首先要想清楚用的是哪個(gè)函數(shù)，對于冪形數(shù)，假設(shè)同指數(shù)不同底數(shù)，那么可用冪函數(shù)；假設(shè)同底數(shù)不同指數(shù)，那么可用指數(shù)函數(shù)。 以上〔3〕提醒我們，要注意問題中的隱含條件。 例4：比擬大小，并說明理由： 〔1〕3202與2303； 〔2〕； 〔3〕1618與1816。 解：〔1〕由于3202=9101，2303=8101， 又 函數(shù)上是增函數(shù)， 且 ， ∴ 即 3202>2303 〔2〕由于， ∴ 〔3〕， 由于，故 即 于是有 。 小結(jié)：對于指數(shù)和底數(shù)均不相同的冪形數(shù)比大小，本例介紹了三種常用方法：①轉(zhuǎn)化成同底數(shù)或同指數(shù)〔如上〔1〕〕；②以特殊值〔常用0或1〕為中介，間接比大小〔如上〔2〕〕；③用比擬法〔如上〔3〕〕。 例5：當(dāng)時(shí)，試比擬與的大小，并說明理由。 解：用比擬法： － ∵ ，故， ∴ 。 又當(dāng) 當(dāng)。 小結(jié)：此題還用到了分類討論的思想，要體會(huì)為什么討論，討論什么？ 例6：函數(shù)。 〔1〕求的定義域和值域； 〔2〕利用函數(shù)單調(diào)性定義，證明在區(qū)間上是增函數(shù)； 〔3〕求的反函數(shù)。 解：〔1〕由，得 ∴ ∴ 的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽。 〔2〕任取， 由函數(shù)上是減函數(shù) ∴ ∴ 又函數(shù)上是減函數(shù)， ∴ 即 ∴ 在上是增函數(shù) 〔3〕由 ∴ 的反函數(shù)是 小結(jié)：本例有一定綜合性，要注意表述中的嚴(yán)謹(jǐn)。 例7：的減函數(shù)，那么的取值范圍是〔 〕 A．〔0，1〕 B．〔1，2〕 C．〔0，2〕 D． 答案：B。 解析：此題作為選擇題，用排除法求解較簡，由于這里雖然有，故在[0，1]上定為減函數(shù)，依題設(shè)必有，故應(yīng)排除A和C，在B、D中要作選擇，可取，那么函數(shù)為，但是此函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)然不可能在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，故又排除了D，從而決定選B。 在復(fù)習(xí)過程中，選擇題的特殊解法是要研究的，但還要研究多種解法，不僅可以在方法上豐富自己，還可以復(fù)習(xí)到許多深入的東西，例如本例求解中，就要涉及到兩條重要知識(shí)： ① 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由函數(shù)和的單調(diào)性決定的規(guī)律； ② 任何一個(gè)函數(shù)的任一個(gè)單調(diào)區(qū)間必然是這個(gè)函數(shù)定義域的子區(qū)間。 本例其他解法，同學(xué)們不妨自己作點(diǎn)探討。 例8：設(shè)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，又用M表示集合。 〔1〕求證：當(dāng)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，如果對所有實(shí)數(shù)都有意義，那么。 〔2〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值。 〔3〕求證：對每一個(gè)，函數(shù)的最小值都不小于1?！?〕證明：當(dāng)時(shí)，那么， 于是有 ∴ 對任意成立， ∴ 當(dāng)時(shí)，對所有實(shí)數(shù)都有意義。 反之，如果對所有實(shí)數(shù)都有意義，那么，對任意，都有 >0 ∴ ∴ 即 又 ， 于是有。 〔2〕解：由〔1〕有，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)镽。 并且當(dāng)時(shí)，的最小值為。 又函數(shù)上是增函數(shù)， ∴ 當(dāng)有最小值，為 。 〔3〕證明：當(dāng)時(shí)，那么有，即。 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，故時(shí)，上式“≥”處等號成立。 又 在上是增函數(shù)， 于是 的最小值指數(shù)方程和對數(shù)方程【例題精選】： 例1：解方程： 〔1〕； 〔2〕 〔3〕 解析：以上三題均指數(shù)方程，指數(shù)方程求解，只限于簡單的特殊的情形，此三題又代表了三種根本類型和三種根本方法。 解：〔1〕原方程可化為 ， ∴ ， 即 ， ∴ 或 ∴ 原方程的解集為。 〔2〕原方程可化為 ∴ 或〔舍去〕 ∴ ∴ 原方程的解集為{－2}。 〔3〕把原方程兩邊同取常用對數(shù)，得 ∴ ∴ 或 ∴ 原方程的解集為 小結(jié)：解簡單指數(shù)方程的三種根本方法是同底比擬法；換元法和取對數(shù)法。 例2：方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為〔 〕 A．0 B．1 C．2 D．3 解析：用求出方程的解，再數(shù)其個(gè)數(shù)的方法這里不行了，只能利用函數(shù)圖象用數(shù)形結(jié)合法。 原方程 利用圖象變換，在同一坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象如左圖，由于它們有兩個(gè)公共點(diǎn)，故此題應(yīng)選C。答案：C。 例3：，試求使方程：有解的的取值范圍。 解：原方程 由〔2〕可得 (3) 當(dāng)知方程〔3〕無解，故此時(shí)原方程也無解； 當(dāng)時(shí)，方程〔3〕的解為， 代入〔1〕中，得， 即 〔變換時(shí)用到了〕， 解之，得， 因此，當(dāng)時(shí)，原方程有解。 小結(jié)：上述求解過程表達(dá)了等價(jià)變換思想與分類討論思想的結(jié)合?！緦ｍ?xiàng)訓(xùn)練】：〔90分鐘〕 一、選擇題：1、集合，并且集合，那么集合A的個(gè)數(shù)是〔 〕 A．4 B．16 C．32 D．無窮多個(gè)2、設(shè)I為全集，A、B均非空集合，且，那么以下集合中表示空集的是〔 〕 A． B． C． D．3、以下函數(shù)中，值域是的是〔 〕 A． B． C． D．4、函數(shù)的圖象〔 〕 A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線對稱5、以下函數(shù)中是偶函數(shù)且又在上是減函數(shù)的是〔 〕 A． B． C． D．6、把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到圖形，又 關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形是，那么對應(yīng)的函數(shù)式是〔 〕 A． B． C． D．7、的〔 〕 A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分條件也非必要條件8、二次函數(shù)對任意都有，那么下 列關(guān)系中成立的是〔 〕 A． B． C． D．的大小關(guān)系不確定9、如果，那么〔 〕 A． B． C． D．10、定義在R上的偶函數(shù)上是增函數(shù)，且，那么滿足 的的取值范圍是〔 〕 A． B． C． D． 二、填空題：11、函數(shù)的定義域是 。12、函數(shù)的遞減區(qū)間是 。13、函數(shù)的反函數(shù)是 。14、方程的解集是 。15、假設(shè)函數(shù)對任意都有，那么的取值范圍是 。16、函數(shù)的值域?yàn)椋敲此亩x域?yàn)? 。 三、解答題：17、利用函數(shù)單調(diào)性定義，證明函數(shù)在〔0，1〕上是增函數(shù)。18、求函數(shù)的定義域。19、是函數(shù)的反函數(shù)，且，都有意義，試比擬2 與4的大小，并說明理由。20、如下圖，長方形ABCD中，上分別取E、 F，使∥∥AB，的面積和為S。 〔1〕求的表達(dá)式和該函數(shù)定義域； 〔2〕求的最小值。[答案]： 一、選擇題：1、B 2、D 3、D 4、C 5、C6、C 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空題：11、[1，2〕 12、 13、14、{－10，10} 15、〔1，+〕 16、 三、解答題：17、任取那么 ∴ 又函數(shù)上是增函數(shù)， ∴ ∴ 在〔0，1〕上