2024年3月貴州省高三數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性模擬考試卷附答案解析

2024年3月貴州省高三數(shù)學(xué)第二次適應(yīng)性模擬考試卷（試卷滿分150分；考試時(shí)間120分鐘）2024.03一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B． C． D．2．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．28 B．56 C．70 D．763．若數(shù)列滿足且，則的值為（）A．3 B．2 C． D．4．長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（

）A． B． C． D．5．在中，若，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．6．遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學(xué)家艾·賓浩斯（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律．人體大腦對新事物遺忘的循序漸進(jìn)的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對人類記憶認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響．陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率與初次記憶經(jīng)過的時(shí)間（小時(shí)）的大致關(guān)系：若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的50%，則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在（

）A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：007．如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓在第一象限交于點(diǎn)交的左支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．8．若，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．在銳角中，恒成立B．若，則C．將的圖象向右平移個單位長度，可得到的圖象D．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則10．如圖，在棱長為2的正方體中，為側(cè)面上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則過P、Q、三點(diǎn)的截面為四邊形B．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為C．不存在點(diǎn)，使D．與平面所成角的正切值最小為11．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B．C． D．三、填空題12．已知集合中僅有3個整數(shù)，則的取值范圍為．13．已知定義在上的函數(shù)滿足，若函數(shù)的最大值和最小值分別為，則．14．在四棱錐中，已知平面平面，，若二面角的正切值為，則四棱錐外接球的表面積為．四、解答題15．衛(wèi)生紙主要供人們生活日常衛(wèi)生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛(wèi)生紙生產(chǎn)廠家為保證產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)從甲?乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行品質(zhì)鑒定，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：合格品優(yōu)等品甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān)？(2)用頻率近似概率，從甲?乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行詳細(xì)檢測，記抽取的產(chǎn)品中優(yōu)等品的件數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中..16．在中，角的對邊分別為．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)，，求的最大值．17．如圖，在中，分別為邊上一點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使得為上一點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)若為線段上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且二面角的正弦值為，求的值．18．已知橢圓E：過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．19．已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．答案1．A【分析】由，結(jié)合復(fù)數(shù)的化簡式和除法公式可直接求解.【詳解】由得，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A2．A【分析】首先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后確定其常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得，故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：A.3．C【分析】根據(jù)題意依次求得的前若干項(xiàng)，推得為周期數(shù)列，從而得解.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以?shù)列具有周期性，且，所以.故選：C.4．C【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，每天玩手機(jī)超過”，事件為“任意調(diào)查一名學(xué)生，該學(xué)生近視”，則，，所以，則．故選：C5．D【分析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形相似推出，由題意可得，確定四邊形面積的最大值，即可得答案.【詳解】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，則，則∽，故,則，故又，則，故，當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，最大值為，故的面積的最大值為，故選：D6．A【分析】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開始.【詳解】令，，，∵，∴他在考試前半小時(shí)復(fù)習(xí)即可，∴他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在14：30，故選：A.7．D【分析】由雙曲線定義得，結(jié)合勾股定理得關(guān)系以及關(guān)系，結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】連接，設(shè)，則，由雙曲線的定義知，所以，在中，由勾股定理，得，即，所以或（舍）．在中，由勾股定理，得，即，所以，所以．故選：D．8．B【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意知，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以，即，所以，又，又，所以，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對已知實(shí)數(shù)進(jìn)行變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.9．ABD【分析】由誘導(dǎo)公式即可判斷A，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算即可判斷B，由三角函數(shù)圖像的平移變換即可判斷C，由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷D【詳解】對于，由題意知，所以，同理，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，所以，所以或所以，故B正確；將的圖像向右平移個單位長度，得的圖像，故C錯誤；對于D，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，所以解得，所以，故D正確．故選：ABD．10．B【分析】全程采用建系法可驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正確性，由向量平行可驗(yàn)證A；由線面角的正弦公式驗(yàn)證B，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證C，由線面角的正弦公式可求最小值，進(jìn)而求出正切值.【詳解】如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對于A項(xiàng)，連接P、、Q、四點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，，，，，所以為平行四邊形，A正確；對B，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，則與平面所成角的正弦值為，故B正確；對C，可設(shè)，，，，，，令，即，顯然能取到，故C錯誤；對D，當(dāng)與平面所成角的正切值最小時(shí)，與平面所成角的正弦值也最小，，設(shè)的法向量為，則與平面所成角的正弦值為，當(dāng)或2，時(shí)，，由三角函數(shù)可得與平面所成角的正切值最小為，故D錯誤.故選：AB11．BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，A錯誤；由②，②式兩邊對求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，B正確；因?yàn)?，可知也是周期?的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以，C正確；因?yàn)椋?，則，即，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭侵芷跒?的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點(diǎn)（縱坐標(biāo)相同）或者兩條直線（平行于y軸）對稱，則周期為這兩點(diǎn)或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點(diǎn)和一直線（平行于y軸）對稱，則周期為這點(diǎn)和這條直線的距離的四倍.12．【分析】由可知在數(shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對稱，則A中的三個整數(shù)為，建立不等式組，解之即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以在?shù)軸上集合A的端點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)1對稱，從而A中的三個整數(shù)為，所以，且，解得．即實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：13．4048【分析】利用賦值法可得為奇函數(shù)，則，令，根據(jù)定義法證得為奇函數(shù)，則，結(jié)合，即可求解.【詳解】令，得，令，則，所以，令，所以，為奇函數(shù)，．令，則，即為奇函數(shù)，所以．而，所以．故答案為：4048【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)最值和值域的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．14．/【分析】分別取、的中點(diǎn)、，連接，即可證明平面，從而得到，再由，即可得到平面，從而得到為二面角的平面角，即可求出，又三棱錐外接球的球心在直線上，求出三棱錐外接球的半徑，即可得到外接球的表面積，再由、、、四點(diǎn)共圓，即可得到三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，從而得解.【詳解】分別取、的中點(diǎn)、，連接．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，平面，所以，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，所以，所以三棱錐外接球的球心在直線上，由知在線段的延長線上．設(shè)，則，即，所以，所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為，因?yàn)椋?，即，所以、、、四點(diǎn)共圓，所以三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，故四棱錐外接球的表面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.15．(1)不能認(rèn)為(2)分布列見解析，【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能值為、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：補(bǔ)充列聯(lián)表如下：合格品優(yōu)等品總計(jì)甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計(jì)零假設(shè)產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立，即不能認(rèn)為產(chǎn)品的品質(zhì)與生產(chǎn)線有關(guān).（2）解：由樣本數(shù)據(jù)可知甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)等品的頻率分別為、.所以估計(jì)從甲?乙兩生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，其為優(yōu)等品的概率分別為、.的所有可能值為、、、、，，，，，.所以的分布列為所以.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角余弦公式化簡，再利用正弦定理，余弦定理運(yùn)算求解；（2）由，可得，根據(jù)余弦定理和基本不等式可求得的范圍，得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理，得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，所以，化簡，得，解得，由?），得，即，由，得，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），又，所以．而，且是關(guān)于的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，．17．(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，利用線面平行的判定推理即得.（2）由已知證得直線兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法列式計(jì)算即得.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由，得，在中，由，得，于是，則，，而又平面平面，所以平面．（2）由平面，得平面，又平面，則，又，因此，直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，解得或，所以或．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由橢圓上的點(diǎn)和離心率列方程求得，即可得到橢圓方程；（2）由題意，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而題意求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由分別直線AQ和直線BQ的方程可得點(diǎn)和點(diǎn)，從而利用以上條件代入化簡的值，進(jìn)而即可得證點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn).【詳解】（1）由題意得解得，．所以橢圓E的方程是．（2）橢圓E的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由題意，設(shè)直線l的方程為．，整理得．因?yàn)椋?，設(shè)直線l交橢圓E于點(diǎn)，，則，．由直線l的方程，令，解得，所以，．所以直線AQ的方程為，．令，解得，所以．直線BQ的方程為，．令，解得，所以．．由于，．則，所以線段CD的中點(diǎn)為F．19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用成立，求出；（2）由知，將各式累乘得證；（3）由知，將各式累加得證.【詳解】（1）由題意知，，，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由得，則