2023年中考九年級數(shù)學第一輪復習三角形動點問題練習

2023年中考九年級數(shù)學第一輪復習三角形動點問題專項練習

一、綜合題

1.如圖，已知:ZkABC中，AB=AC,ZBAC=90o,分別過B,C向經(jīng)過點A的直線EF作垂線，垂足

為E,E

(1)當EF與斜邊BC不相交時，請證明EF=BE+CF(如圖1)；

(2)如圖2,當EF與斜邊BC這樣相交時，其他條件不變，證明:EF=BE-CF;

(3)如圖3,當EF與斜邊BC這樣相交時，猜想EF、BE、CF之間的關系，不必證明.

2.如圖，AABC中，NACB=90。，AB=IOcm,8C=6cm,若點P從點A出發(fā)以每秒ICm的速度沿折線

A-C-B-A運動，設運動時間為?秒(/>0).

(1)若點P在AC上，且滿足∕?=P8時，求出此時f的值；

(2)若點尸恰好在/BAC的角平分線上(但不與A點重合)，求f的值.

3.已知：如圖①，ΔABC^?ADE,ZBAC=ZDAE=90o,AB=6,AC=8,點D在線段BC上運

動.

(1)當ADLBC時(如圖②)，求證：四邊形ADCE為矩形；

(2)當D為BC的中點時(如圖③)，求CE的長；

(3)當點D從點B運動到點C時，設P為線段DE的中點，求在點D的運動過程中，點P經(jīng)過的

路徑長(直接寫出結論).

4.教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內容.請根據(jù)教材中的分析.

(1)結合圖①，寫出“線段的垂直平分線質定理”完整的證明過程.

(2)定理應用：

如圖②，在小ABC^,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M.連接MB,若AB=8cm,

ΔMBC的周長是14cm.

①求BC的長；

②點P是直線MN上一動點，在運動的過程中，由P,B,C構成的APBC的周長是否存在最小值?

若存在，標出點P的位置，并求APBC的周長最小值；若不存在，說明理由.

5.如圖，在AABC中，點。為邊AC上的一個動點，過點。作直線MN//BC,設MN交?BCA

的外角平分線CF于點F,交?ACB的角平分線CE于E.

M.O

(1)求證：EO=FO；

(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論；

6.如圖，ΔABC中，NC=90。，AC=3cm,BC=4cm,動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速

度向點C移動，同時動點Q從點C出發(fā)以lcm∕s的速度向點A移動，設它們的運動時間為ts.

(1)t為何值時，ΔCPQ的面積等于ΔABC面積的?；

(2)運動幾秒時，ΔCPQ與ΔABC相似？

(3)在運動過程中，PQ的長度能否為Icm?試說明理由

7.如圖，已知A,B兩點的坐標分別為71(18,0),B(8,6),點P,Q同時出發(fā)分別作勻速運動，其

中點P從點A出發(fā)沿AO向終點O運動，速度為每秒3個單位長度，點Q從點O出發(fā)沿OB運動，速

度為每秒2個單位長度，當這兩個點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動，設P,Q運動時間

為t秒.

(2)若以O,P,Q為頂點的三角形與AABO相似，求此時t的值；

(3)是否存在t,使得AOPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出運動時間t；若不存在，請說

明理由.

8.如圖,在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點A、B、C的坐標分別為（0,6）、（一8,0）、

（一3,0）,AB=IO,將ΔABC沿著射線AC翻折，點B落到y(tǒng)軸上點D處.

（1）求點D的坐標；

（2）動點P以每秒1個單位長度的速度從點B出發(fā)沿著線段BO向終點。運動，運動時間為

t秒，請用含有t的式子表示APCA的面積，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，動點M以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)沿著線段AO向終點。

運動，動點N以每秒α個單位長度的速度從點O出發(fā)沿著%軸正方向運動，點P、M、N同

時出發(fā)；點M停止時，點P、N也停止運動，當ΔDOP=ΔMON時，求α的值.

9.如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊AABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A,點Q從頂

點B同時出發(fā)，且它們的速度都為lcm∕s.

(1)連接AQ、CP交于點M,則在P、Q運動的過程中，NCMQ變化嗎？若變化，則說明理由，

若不變，則求出它的度數(shù)；

(2)請求出何時APBQ是直角三角形？

10.如圖，在直角三角形△力BC中，NB=90。，AB=12cm,BC=16cm,點P從A開始沿AB邊向點

B以2cτn∕s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm∕s的速度移動.P,Q分別從A,B同

時出發(fā)，當一個動點到達終點則另一動點也隨之停止運動.設運動時間為t(s),則

(1)求t為何值時，APBQ為等腰三角形？

(2)是否存在某一時刻t,使點Q在線段4C的垂直平分線上？

11.已知：如圖所示，在XABC中，/8=90。，AB=5cm,BC=7cm,點P從點A開始沿

AB邊向點B以lcm∕s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm∕s的速度移動.當P、

Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動.

Q

（1）如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，XPBQ的面積等于4cm2?

（2）如果P,Q分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于2√IUcm?

（3）APQB的面積能否等于7cm2?請說明理由.

12.如圖，在44BC中，AB=AC,E是線段BC上一動點（不與B、C重合），連接AE,將線段AE繞

點A逆時針旋轉與NBAC相等的角度，得到線段AF,連接EF.點M和點N分別是邊BC,EF的中點.

E(M)EMG

圖1圖3

（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,若NBAC=60。，當點E是BC邊的中點時-，器=________,直線BE與MN

相交所成的銳角的度數(shù)為度.

（2）【解決問題】如圖2,若4BZC=60。，當點E是BC邊上任意一點時（不與B、C重合），上述

兩個結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

⑶【拓展探究】如圖3,若NBAC=90。，AB=6,CG=WCB,在E點運動的過程中，直接寫出

GN的最小值.

13.如圖，在RABC中，Z.C=90o,AC=8cm,BC=6cm,AB=IOcm.若動點P從點C開

始，按CTATBTC的路徑運動，且速度為每秒2cm.設運動的時間為t秒.

（1）當t為何值時，CP把&ABC的周長分成相等的兩部分?

（2）當t為何值時，CP把△力BC的面積分成相等的兩部分？

(3)當t為何值時，ABCP的面積為12cr∏2?

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90o,AC=20cm,BC=15cm.現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC

向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動.如果點P的速度是4cm∕s,點Q

的速度是2cm∕s,它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設運動的時間為ts,

(1)用含t的代數(shù)式表示Rt?CPQ的面積S；

(2)當t=3秒時，這時P、Q兩點之間的距離是多少？

(3)當t為多少秒時,S=?SAABC?

15.如圖，已知AABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、

BC方向勻速移動，它們的速度都是ICm/s,當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動

時間為t(s),則

(1)BP=cm,BQ=cm.(用含t的代數(shù)式表示)

(2)當t為何值時，4PBQ是直角三角形？

16.如圖，在RrAABC中，ZC=90o,AC=l()cm,8C=8cm.點M從點C出發(fā)，以2cm∕s的速度沿

CA向點A勻速運動，點N從點8出發(fā)，以lcm∕s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時,

另一點也隨即停止運動.

(1)經(jīng)過幾秒后，△MCN的面積等于aABC面積的I?

(2)經(jīng)過幾秒，AMCN與AABC相似？

答案

1.【答案】(1)證明：?.?BE?EA,CF±AF.,.ZBAC=ZBEA=ZCFE=90o,ZEAB+ZCAF=90o,ZEBA

+ZEAB=90o

.?.ZCAF=ZEBA,

在4ABE和BCAF中,

ZBEA=ZAFC,ZEBA=ZFAC,AB=AC,

」.△BEA之ZXAFC中，ΛEA=FC,BE=AF,

ΛEF=EA+AF=BE十CE

(2)證明:..?BEJ_EA,CFLAF,.

ZBAC=ZBEA=ZCFE=90o,ZEAB+ZCAF=90o,ZABE+ZEAB=90°,NCAF=NABE,

在AABE和AACF中，NEBA=NFAC,NBEA=NCFA,AB=AC,

Λ?BEA^ΔAFCΛEA=FC1BE=AF,

VEF=AF+AE,AEF=BE-CE

(3)解：EF=CF-BE,理由是:?.?BELEA,CF±AFZBAC=ZBEA=ZCFA=90o

ZEAB+ZCAF=90o,ZABE+ZEAB=90o.

NCAF=NABE,在△ABE和^ACF中，

ZEBA=ZFAC,NBEA=NCFA,AB=AC,

二ΔBEA^ΔAFC,ΛEA=FC,BE=CEEF=EA-AF,

,EF=CF-BE.

2.【答案】(1)解：作AB的垂直平分線交AB于D,交AC于P,連接PB,如圖所示,

由垂直平分線的性質可知PA=PB,此時P點滿足題意，

在Rt?ABC中，AC=y∣AB2-BC2=√102-62=8cm,

由題意PA=tcm,PC=(8—t)cm,

在RtΔPBC中，PC2+BC2=PB2，

即(8-t)2+62=t2，解得t=,

(2)解：作NCAB的平分線AP,過P作PD_LAB于D點，如圖所示

TAP平分NCAB,PC±AC,PD±AB,

ΛPC=PD

在Rt?ACP和Rt?ADP中,

(AP=AP

[PC=PD

：.RtLACP=Rt△ADP(HL)

/.AD=AC=8cm

BD=AB-AD=10-8=2cm

由題意PD=PC=(t-8)cm,則PB=6--8)=(14-t)cm,

在Rt?ABD中，PD2+BD2=PB2

即(-8)2+22=(14-t)2

解得t=等

3.【答案】(1)證明：VADlBC,ZDAE=90o,

ΛZADB=ZADC=ZDAE=90°,

ΛAE/7CD,

V△ABC^ΔADE,

.?.ZAED=ZACB,

VAD=DA,

Λ?ADC^?DAE,

JAE=DC,

???四邊形ADCE為平行四邊形，

VZADC=90o,

.?.平行四邊形ADCE為矩形

(2)解：VZBAC=90o,AB=6,AC=8,

ΛBC=10,

YD為BC的中點，

AD=BD=∣BC=5,

V?ABC^?ADE,

.AB_AC

"AD~AE'

VZBAC=ZDAE=90o,

ΛZBAD=ZCAE,

Λ?ABD^?ACE,

.AB_BD

''AC~CE，

(3)解：如圖，設BC中點為M,CE的中點為Q,連接MQ,當點D在點B時，M即為DE的中點,

當點D與點C重合時，DE的中點即為CE的中點,此時MQ的長即為點P經(jīng)過的路徑長，

4868

即

萬==

--爐

AB=6,AC=8,C8

B、A、E共線，.??BE=AB+AE=挈,ΛMQ=∣BE=

25

?，

即點P經(jīng)過的路徑長為孕.

4.【答案】(1)證明：'：MN1AB,

.??ACP=?BCP=90°f

在^ACP-?ΔBCP中，

AC=BC

?ACP=乙BCP,

.PC=PC

???△ACPdBCP,

ΛPA=PB;

(2)解：①TMN垂直平分AB.

ΛMB=MA,

又??，△MBC的周長是14cm,

?'?AC+BC=14cm,

?.?AC=AB=8cm,

ΛBC=6cm.

②如圖，

當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，

VMN垂直平分AB.

ΛPB=PA,

ΛPB+CP=PA+PC>AC,

.?.當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，為AC的長

Λ?PBC的周長最小值是8+6=14cm.

5.【答案】（1）解：VMNΛzBC,

ΛZOEC=ZECB,

YCE平分NACB,

ΛZACE=ZBCE,

ΛZOCE=ZOEC,

ΛOC=OE,

同理OC=OF,

ΛOE=OF;

(2)解：當點0運動到AC中點即AO=CO時，四邊形AECF是矩形，理由如下:

由(1)知，OE=OF,

???AO=CO,

?四邊形AECF是平行四邊形，

???CE是Z.BCA的角平分線，CF是?ACD的角平分線，

.?.?OCE+?OCF=90°,

即乙ECF=90°,

???四邊形AECF是矩形.

6.【答案】(1)解：經(jīng)過t秒后，PC=4-2t,CQ=t,由題意知，0<t<2,

當ΔCPQ的面積等于ΔABC面積的?時，

11

=-X-X3X4

即?×(4-2t)t82

解得：t1=l,t2=；，滿足題意，

所以經(jīng)過掾或J秒后，當ΔCPQ的面積等于ΔABC面積的?時；

ZZo

(2)解：設經(jīng)過t秒后兩三角形相似，

①若RtΔABC?RtΔQPC,則強=第，即搟=?,解之得t=帛；

DCrL?4--Zt?

②若RtΔABC?RtΔPQC,則提=第，即,=早，解之得t=筆；

又0<t<2,滿足題意，

所以要使ΔCPQ與ΔCBA相似，運動的時間為I秒或Il秒；

(3)解：???NC=90。,若PQ=I,

則(4-2t)2+t2=l,

.?.St2-16t+15=0

Vb2-2ac=256-300=-44<0

所以此方程無實數(shù)解，PQ的長度不能為Icm.

7.【答案】(1)解：由題意得：

O≤3t≤18

O≤2t≤IO

解得：0≤t≤5

(2)解：設從出發(fā)起，運動了t秒，以O,P,Q為頂點的三角形與XABo相似

AP=3t,OQ=2t,：.OP=18-3t

分兩種情況討論：

①如果APoQSAAOB,則需=黑，...竺薩=啜，解得t=萼

UAUDIOIU11

②如果XPOQSZiBOA,則需=器，?????“=??，解得t=嚼

UDUAIUIO?/

故當t=得或t=帶時，以O,P,Q為頂點的三角形與ΔABO相似

⑶解：當t=學或t=當或t=券時，△OPQ為等腰三角形.提示：當△OPQ為等腰三角

形時，分三種情況：

①如果OP=OQ,那么18-3t=2t,解得：t=當

②如果PO=PQ,如圖，過點P作PF1OQ于F,貝IJOF=FQ=^OQ=2t=t

???在RtAOPF中，乙。"=90°,.?.OF=OP?cos?POF=(18-3t)×?=?(18-3t),?t=

4

?(18—3t)9

解得：t=筆

③如果QO=QP,如圖，過點Q作QGIoP于F,

則OG=GP=1OP=*(18-3t)=9一尹

???在RtZkOQG中,?OGQ=90o,.?.OG=OQ?cos?QOG=2t×?=∣t,

?,?9—11=t，解得：t=

綜上所述：當t=善或"烏或"翳時，AOPQ為等腰三角形.

8.【答案】（1）解：YAD是由AB折疊得到

AAD=AB=IO,

??0,-4);

(2)解：BP=C,當0≤tV50'J?,

Vβ(-8,0),C(-3,0),

：.0B=8,OC=3,

11

??SZJAC0=2OA?OC=2×6×3=9,

OP=OB-BP=8-t,

11

??S44p0=2OA?OP=2x6(8—t)=24—3t,

??S*PC4=S4i4po-S^ACO=24—3t—9=15—3t，

當5Vt≤8時，

SAPCA=S2Mco—S/Apo=9-(24—3t)=3t-15,

綜上所述，APCA的面積是S=15-3t,0≤tV5,或S=3t-15,5<t≤8.

(3)解：ΛCΔDOP=ΔM0N,

：.OP=ON,OM=OD,

由題意可知：BP=t,AM=2t,ON=at,OD=4

,OP=OB—BP=8—t,OM=AO-AM=6-2t,

Λ6—2t=4,解得t=l,8—t=at,解得α=7,

?ɑ的值是7.

9.【答案】(1)解：不變，ZCMQ=60o.

,.,ΔABC是等邊三角形，

，等邊三角形中，AB=AC,ZB=ZCAP=60o

又???點P從頂點A,點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為?em/s.

ΛAP=BQ,

Λ?ABQ^?CAP(SAS),

ΛZBAQ=ZACP,

NCMQ=∕ACP+NCAM=NBAQ+NCAM=ZBAC=60。；

(2)解：設時間為t秒，貝IJAP=BQ=tcm,PB=(4-t)cm,

當NPQB=90°時，

VZB=60o,

ΛPB=2BQ,即4-t=2t,t=g,

當∕BPQ=90。時，

VZB=60o,

ΛBQ=2BP,得t=2(4-t),t=1,

.?.當?shù)贗秒或第I秒時，△PBQ為直角三角形.

10?【答案】(1)解：由題意得，AP=2t,BQ=4t,

則BP=12-23

當APBQ為等腰三角形時，只有BP=BQ,

Λ12-2t=43解得，t=2；

(2)解：當點Q在線段AC的垂直平分線上時，QC=Q/,

設BQ=X,則J12?+N=16-X，

解得，％=3.5,即BQ=3.5,

.?.t=竽="秒).

11.【答案】(1)解：設經(jīng)過X秒以后，APBQ面積為4cm2(0<%≤3.5),

此時AP=xcτn,BP=(5-x)cm,BQ=2xcm,

由;BP?BQ=4,得;(5-x)x2x=4，

整理得：X2-5x+4=O,

解得：X=I或％=4(舍)，

答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2；

(2)解：設經(jīng)過t秒后，PQ的長度等于2√TUcm

由PQ2=BP2+BQ2,

即40=(5-t)2+(2t)2，

解得：t=3或-1(舍),

；.3秒后，PQ的長度為2√TUcm;

(3)解：假設經(jīng)過t秒后，APBQ的面積等于7cm2,

即BPX竿=7,(5-t)Xy=7.

整理得：t2-5t+7=O,

由于b2-4αc=25-28=-3<O,

則原方程沒有實數(shù)根，

ΛΔPQB的面積不能等于7cτ∏2.

12.【答案】⑴岑;30°

(2)解：上述兩個結論均成立；

連接AM、AN

BΛ/

VAB=AC,NBAC=60°

Λ?ABC為等邊三角形

?；M是BC中點，

ΛAM±BC,即∕BMA=90°

在直角AABM中，ZB=60o,

.?.NBAM=30°,AM√3

SinB=AB=T'

同理可得NEAN=30。，SinAEF=空=卑，

AE2

ΛZMAN=ZBAE,AN_AM_43

近=松=T

Λ?MANSaBAE,

二怨=3，NAMN=NABE=60。，

BE2

,ZNMC=ZAMC-ZAMN=90o-60o=30o,

綜合得：嚶=圣,直線BE和MN相交所成的銳角的度數(shù)為30。；

BE2

(3)解：GN最小值=1.

13.【答案】(1)解：在XABC中，

?.?AC=8cm,BC=6cm,AB=IOcm,

.?.ΔABC的周長為8+6+10=24(cm),

.?.當CP把△力BC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時.

CA+AP=BP+BC=12cm

運動速度為每秒2cm,

?2t=12,

解得t—6

故當t為6時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分

(2)解：：當點P在AB中點時，CP把XABC的面積分成相等的兩部分，止匕時AP=^AB=5Cm

：.AC+AP=8+5=13(cm),

???2t=13/

解得t=6.5,

故當t為6.5時?，CP把XABC的面積分成相等的兩部分.

(3)解：分兩種情況：

當點P在AC上時，

v