第十一章 三角形章節(jié)復(fù)習(xí)（教學(xué)設(shè)計(jì)）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課系列（人教版）

PAGEPAGE4第十一章三角形章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)：1.梳理本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，回顧與復(fù)習(xí)本章知識(shí).2.結(jié)合圖形回顧本章知識(shí)點(diǎn)，復(fù)習(xí)幾種基本的畫圖，復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單的證明技巧，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行典型題、熱點(diǎn)題的較大量的訓(xùn)練，旨在提高同學(xué)們對(duì)三角形有關(guān)知識(shí)、多邊形內(nèi)角和、外角和知識(shí)綜合運(yùn)用能力.3.通過(guò)初步的幾何證明的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，通過(guò)由特殊到一般的探究過(guò)程的訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，創(chuàng)新能力，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的目的.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：三角形的三條重要線段、三角形的內(nèi)角和、外角和、多邊形的內(nèi)角和、外角和等知識(shí)的靈活運(yùn)用.難點(diǎn)：簡(jiǎn)單的幾何證明及幾何知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.三、教學(xué)過(guò)程：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)梳理1.由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.線段AB，BC，CA是三角形的邊.點(diǎn)A，B，C是三角形的頂點(diǎn).∠A，∠B，∠C是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角.

頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.

△ABC的三邊，有時(shí)也用a，b，c來(lái)表示.頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC用a表示，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊AC用b表示，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊AB用c表示.2.三角形的分類：3.三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.已知三角形的兩邊a、b（a＞b），則第三邊的范圍“a-b＜第三邊＜a+b”4.三角形的高、中線與角平分線：

高：頂點(diǎn)與對(duì)邊垂足間的線段，三條高或其延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，如圖.中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)間的線段，三條中線相交于一點(diǎn)（重心），如圖.三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段.三條角平分線相交于一點(diǎn)，如圖.5.三角形的內(nèi)角和與外角：(1)三角形的內(nèi)角和等于180°；

(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

(3)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；(4)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

(5)三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.6.多邊形及其內(nèi)角和：(1)在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.正多邊形是各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形.

(2)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出(n﹣3)條對(duì)角線；(3)經(jīng)過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成(n﹣2)個(gè)三角形；(4)n邊形一共有n(n(5)n邊形內(nèi)角和等于(n－2)×180°(n≥3的整數(shù))

(6)n邊形的外角和等于360°

(7)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是或

(8)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是考點(diǎn)解析考點(diǎn)一：三角形的三邊關(guān)系例1.已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)，且c為整數(shù)，求c的值．解：∵a2+b2=6a+10b﹣34，∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25=0，∴（a﹣3）2+（b﹣5）2=0，∴a=3，b=5，∴5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．又∵c是△ABC中最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)，

∴c=5、6、7.例2.已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)．（1）若a，b，c滿足,(a-b)2+b-c=0,（2）化簡(jiǎn)：b-c-a+解：（1）∵(a-b)2+|?????|=0，∴(a-b)2=0且|?????|=0，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形．（2）∵a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0，原式=-(b-c-a)+a-b+c-[-(a-b-c)]=a+c-b+a-b+c-b-c+a=3a-3b+c.例3.已知a，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6.(1)求c的取值范圍；(2)若△ABC的周長(zhǎng)為18，求c的值．(1)解：∵a，b，c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)，a＋b＝3c－2，a－b＝2c－6，∴解得2＜c＜6.(2)∵△ABC的周長(zhǎng)為18，a＋b＝3c－2，∴a＋b＋c＝4c－2＝18.解得c＝5.【遷移應(yīng)用】【1-1】下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3cm、3cm、6cm B．3cm、5cm、7cmC．2cm、4cm、6cm D．2cm、9cm、6cm答案：B【1-2】已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，a－1，4，則化簡(jiǎn)|a－3|－|a－7|的結(jié)果為___________.答案：2a－10【1-3】已知a，b，c是的三邊長(zhǎng)，a、b滿足，且的周長(zhǎng)為偶數(shù)，則邊長(zhǎng)c的值為多少？解：∵a，b滿足|a?7|＋（b?2）2＝0，∴a?7＝0，b?2＝0，解得a＝7，b＝2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7?2＜c＜7＋2，即：5＜c＜9，又∵三角形的周長(zhǎng)為偶數(shù)，a＋b＝9，∴c＝7．考點(diǎn)二：三角形中的重要線段例4.如圖,在△ABC中,∠ABC=40°,∠C=60°,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分線.(1)求∠DAE的度數(shù);(2)指出AD是哪幾個(gè)三角形的高.解:(1)AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°∵∠ABC=40°,∠C=60°,∴∠BAD=50,∠CAD=30°∴∠BAC=50°+30°=80°∵AE是∠BAC的平分線,∴∠BAE=40°.∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°.(2)AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高.例5.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,△ABD的周長(zhǎng)比△ADC的周長(zhǎng)多2,且AB與AC的和為10.(1)求AB、AC的長(zhǎng);(2)求BC邊的取值范圍.解:(1)∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD.∵△ABD的周長(zhǎng)-△ADC的周長(zhǎng)=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2,即AB—AC=2①.又AB+AC=10②,①+②得2AB=12,解得AB=6.∴AC=4.(2)∵AB=6,AC=4,∴2＜BC＜10.例6.如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝12A∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12×12∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝13S△ABC＝13×12∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.【點(diǎn)睛】三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比．【遷移應(yīng)用】【2-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，圖中可以作為△ACD的高的線段有()A．0條B．1條C．2條D．3條【2-2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上兩點(diǎn)，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列說(shuō)法中不正確的是()A．BE是△ABD的中線B．BD是△BCE的角平分線C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB【2-3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，DC＝2BD，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，S△ABC＝20cm2，則S△ADE＝_____cm2.答案：【2-1】C；【2-2】C；【2-3】203考點(diǎn)三：有關(guān)三角形內(nèi)、外角的計(jì)算例7.如圖，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．求證：∠EAC＝∠B；(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度數(shù)．（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC∵∠EDA＝∠B＋∠BAD，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC，∠EDA＝∠EAD，∴∠EAC＝∠B．（2）解：由(1)可知∠EAC＝∠B＝50°.設(shè)∠CAD＝x，則∠E＝3x，∠EAD＝∠ADE＝x＋50°，∴50°＋x＋50°＋x＋3x＝180°.∴x＝16°.∴∠E＝3x＝48°.例8.如圖，在△ABC中，三條內(nèi)角平分線AD，BE，CF相交于點(diǎn)O，OG⊥BC于點(diǎn)G.(1)若∠ABC＝40°，∠BAC＝60°，求∠BOD和∠COG的度數(shù)；解：∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝∠COG＝90°－∠OCG＝90°－12

(180°－∠ABC－∠＝90°－40°＝50°.解：∠BOD＝∠COG.理由如下：∵∠BOD＝∠OAB＋∠OBA＝12∠BAC＋12∠ABC＝12

(180°＝90°－12∠ACB∠COG＝90°－∠OCG＝90°－12∠ACB∴∠BOD＝∠COG.【遷移應(yīng)用】【3-1】如圖，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為()A．65°B．70°C．75°D．85°答案：B【3-2】一副三角板如圖所示擺放，則∠α與∠β的數(shù)量關(guān)系為()A．∠α＋∠β＝180°B．∠α＋∠β＝225°C．∠α＋∠β＝270°D．∠α＝∠β答案：B【3-3】如圖，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是_______.答案：50°【3-4】一個(gè)銳角三角形，所有內(nèi)角的度數(shù)均為正整數(shù)，且最小角是最大角的15，則這個(gè)銳角三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為___________________.答案：17°、78°、85°考點(diǎn)4：多邊形的內(nèi)角和與外角和例9.如圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度數(shù)．解：∵∠A＋∠D＋∠F＝180°，∠B＋∠C＋∠E＋∠G＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°＋360°＝540°.例10.一個(gè)多邊形剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為1980°的新多邊形，求原多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，∵新的多邊形的內(nèi)角和是1980°，∴180°×（n﹣2）＝1980°，解得：n＝13，∵一個(gè)多邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)截去一個(gè)角后所形成的新的多邊形是十三邊形，①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為12，②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為13，③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為14，∴原多邊形的邊數(shù)可能是：12或13或14．例11.如圖,小明從A點(diǎn)出發(fā),沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°,再沿直線前進(jìn)8米,又向左轉(zhuǎn)45°……照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí),共走路程為(C)A.80米B.96米C.64米D.48米【遷移應(yīng)用】【4-1】把一個(gè)多邊形紙片沿一條直線截下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)十八邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)可能是_______________________________．答案：十七邊形或十八邊形或十九邊形【4-2】一個(gè)多邊形少算一個(gè)內(nèi)角，其余內(nèi)角之和是1500°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A．8B．9C．10D．11答案：D【4-3】如圖，已知正五邊形ABCDE,BG平分∠ABC,DG平分正五邊形的外角∠EDF,則∠G=()A.36°B.54°C.60°D.72°答案：B考點(diǎn)六：本章中的思想方法：1.方程思想：例13.如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等邊三角形，求∠C的度數(shù).解：設(shè)∠C=x°，則∠ABC=x°

∵△BDE是等邊三角形

∴∠ABE=60°

∴∠EBC=x°-60°

∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°

在△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

得90+x+x-60=180，解得x=75

∴∠C=75°【點(diǎn)睛】在角的求值問題中，常常利用圖形關(guān)系或內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)三角形內(nèi)角和定理列方程求解.【遷移應(yīng)用】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度數(shù).解：設(shè)∠1=x,根據(jù)題意得∠2=x.因?yàn)椤?=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因?yàn)椤?=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.2.分類討論思想：例13.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為10和6，則三角形的周長(zhǎng)是________．【解析】由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時(shí)周長(zhǎng)為26；第二種10為底，則6為腰，此時(shí)周長(zhǎng)為22.【點(diǎn)睛】別忘了用三邊關(guān)系檢驗(yàn)?zāi)芊窠M成三角形這一