中考數(shù)學復習指導：圖象過定點問題和“思維模式”

圖象過定點問題和“思維模式”關(guān)于函數(shù)圖象過定點的問題，很多同學感到棘手．本文將應(yīng)用“模式化”思維求解與按照常規(guī)思維求解進行比較，表明數(shù)學問題“模式化”的優(yōu)越性，供同學們在學習中參考．一、“模式化”思維例析例1若m是不為零的任意實數(shù)，求證：一次函數(shù)y＝mx－3m＋1的圖象必通過一定點，并求出此定點坐標．證明由于y＝mx－3m＋1＝m（x－3）＋1，而m是不為零的任意實數(shù)，要使該函數(shù)圖象通過一個定點，則此時y的值一定與m值無關(guān)，顯然，當且僅當x－3＝0時，y的值與m的值無關(guān)，此時，x＝3．y＝m(x－3)＋1＝1．所以一次函數(shù)y＝mx－3m＋1的圖象必通過一定點(3，1)．注常規(guī)方法為特殊值法，即取m1＝1，m2＝－1，然后構(gòu)建方程組求解并檢驗．求解時往往容易出錯．例2求證拋物線y＝x2－（k＋4）x－（2k＋12）（k為參數(shù)，且k≠0）恒過一定點，并求出此定點．證明要使拋物線恒過一定點，則該定點坐標必與k值無關(guān)．所以．y＝x2－(k＋4)x－(2k＋12)＝k(x＋2)＋x2－4x－12中，與k相關(guān)的因式值必為零(k≠0)，即：k＋2＝0．∴x＝－2．將x＝－2代入，函數(shù)y＝0，則該拋物線恒過定點（－2，0）．注常規(guī)法用參數(shù)法，令k的值分別為k1，k2，且k1≠k2，得方程組求之，但由于該方法有別于取特殊值法，不需驗證交點是否滿足原函數(shù)解析式，初學者不易掌握．例3已知二次函數(shù)y＝ax2＋（6－a）x－6a－1（a≠0），證明無論a為何值，拋物線恒過定點，并求定點坐標．證明要使拋物線恒過定點，則定點處的x，y值必與a的值無關(guān)，即y＝ax2＋（6－a）x－6a－1＝a(x2－x－6)＋6x－1（a≠0），必有x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2，∴y1＝17，y2＝－13．所以不論a為何值(a≠0)，拋物線恒過定點(3，17)與點（－2，－13）．注常規(guī)法用主元法，以a為主元，得a(x2－x－6)＝－6x＋y＋1．根據(jù)一元一次方程的解的性質(zhì)，a為任意非零實數(shù)，即說明關(guān)于a的方程有無窮解，由0·a＝0的模式可得解之即得．若應(yīng)用上述模式求證另辟蹊徑，較為方便．例4若a＝b－2求證函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋2的圖象過兩定點．證明因為a＝b－2，所以f(x）＝b（x2＋x）－2x2＋2．若函數(shù)f(x）的圖象過兩定點，則定點處的x，y值必與b的值無關(guān)，此時必有 x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1． 故不論a，b為何值但只需滿足a＝b－2時，函數(shù)f(x)的圖象必過兩定點（－1，0）與點(0，2)．注常規(guī)法用觀察法，因為a＝b－2，所以a－b＋2＝0，則f(－1）＝0，f(0）＝2，即得所求．但初學者往往不易把握，例5已知二次函數(shù)y＝x2－(m2＋6)x＋2m2＋8，求證不論m為何值，拋物線與x軸正方向都有兩交點，且其中一個交點為定點．證明因為無論m為何值，要使拋物線與x軸正方向恒有兩交點，且其中一個交點為定點，于是拋物線y＝m2（2－x）＋x2－6x＋8在定點處的函數(shù)值與m值無關(guān)，此時2－x＝0，x＝2，求得y＝0．若拋物線與x軸正方向恒有兩交點，則y＝0時有x2－(m2＋6)x＋2m2＋8＝0，分解因式得（x－2）（x－m2－4）＝0，∴x1＝2>0，x2＝m2＋4>0．所以不論m為何值，拋物線與x軸的正方向恒有兩交點(2，0)，(m2＋4，0)，且恒交定點(2，0)．注常規(guī)法用直接求根法，因為交點在x軸上，所以令y＝0，直接求元．由于該問題存在一個非定點，所以用常規(guī)法較方便．二、發(fā)散思維例析例6設(shè)a，b為任意實數(shù)，且2a＋b＝1，關(guān)于x，y的方程ax＋by＝3有一個解恒定不變，求方程的這個解．解∵2a＋b＝1，則b＝1－2a，∴原方程變形為ax＋y－2ay－3＝0，即a(x－2y)＋(y－3）＝0．由于a，b為任意實數(shù)，且方程ax＋by＝3有一個解恒定不變，則說明方程的解不因a，b的變化而變化．只有當x－2y＝0時，原方程的解才與a，b的值無關(guān)，所以x＝2y，解得y＝3，x＝6，即為方程的定解．例7已知m為一切非零實數(shù)，代數(shù)式my＋(m2－4m，)x2－2m2x－3的值恒為一個常數(shù)，求這個常數(shù)，并求此時x，y的值．解原式變形為m(y－4x2)＋m2(x2－2x)－3．由上述思維模式，得解得或所以當x＝0，y＝0或x＝2y＝16時，原代數(shù)式的值恒為－3．例8已知a＝－3x2－2xy＋3x＋1，b＝2x2＋xy－1，且2a＋3b的值與x無關(guān)，求y的值．解由上述思維模式，求得2a＋3b＝－6x2－4xy＋6x＋2＋6x2－3xy－3＝x（6－y）－1．由于2a＋3b的值與x無關(guān)，所以得6－y＝0，y＝6．三、小結(jié)(1)解決函數(shù)圖象過定點問題時，我們可以抓住定點的不變性與參數(shù)的可變性，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為以參數(shù)字母為主元的形式，從而可知與參數(shù)字母相乘的另一因式的值必為零．如上面例析，利用此“思維模式”能找到捷徑，也可將此“模式”引申到方程與代數(shù)式的定解、定值問題中．(2)當函數(shù)圖象除過定點外還過另一不定點，或問題中待定字母較多