2024屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知P是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，PB=4,當(dāng)三棱錐尸-ABC的體積最大時(shí)，三棱錐尸-ABC

外接球的表面積為（）

A.16兀B.32兀

C.64無(wú)D.256兀

2.在下列命題中正確的是（）

A.已知a,。,c是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為p=xa+yb+zc

B.若AB,CD所在的直線是異面直線，則AB,CD不共面

C.若三個(gè)向量a,仇。兩兩共面，則共面

D.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，若。。=2函+,08+工。。，則A,B,C,。四點(diǎn)共面

236

3.圓/+丁2=1與圓（%一2）2+（丁—2）2=4的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離

C.內(nèi)切D.外切

4.若函數(shù)/（%）=cos年回+0）,xeR（其中0＞0,。＜。＜萬(wàn)）的最小正周期是4萬(wàn)，且〃o）=￥，貝!］（）

117171

262"4

C兀C兀

C?啰=2,0=—D.刃=2,0=一

64

5.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，若S3=5,56=20,則Sg=（）

A.66B.65

C.64D.63

6.將f+y2=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到曲線C,若直線，與曲線。交于A,B兩點(diǎn),且

A5中點(diǎn)坐標(biāo)為M（L4）,那么直線,的方程為（）

2

A.x+2y—2=。B.x—2y=0

C.2x-y-3=0D.2x+y+2=0

7.不等式2f—5%-3<0的一個(gè)必要不充分條件是()

A.—3<%<—B.-lVx<3

2

11

C.—<%<0D.—<%<3

22

8.已知向量”=(2,0,1)為平面a的法向量，點(diǎn)4(—1,2,1)在a內(nèi)，點(diǎn)。(1,2,—2)在a夕卜，則點(diǎn)P到平面a的距離為

()

A亞5

A.——1R5.---------

513

「V65DWL

655

9.已知命題P：”若。>6,則3">3〃"，命題4：“若a>。，則工〉!”，則下列命題中為真命題的是()

ba

A.nPB.q

c.p^q

22

10.設(shè)P為橢圓c：1s+々=1上一點(diǎn)，K，B分別為左、右焦點(diǎn)，且|P制=3戶閭，則歸閭=()

35

A.-B.-

22

715

C.1D.—

22

，、11

11.已知數(shù)列｛4｝中，=T^?+i------,則生=()

3l~an

13

A.-B.——

32

3

C.-2D.-

2

12.(l+x)4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為()

A.6B.-6

C.24D.-2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃=（1,2,—1）,6=（2,2加，一根），且"〃/?,則加=

14.復(fù)數(shù)z=—的共朝復(fù)數(shù)是__________

1-1

15.在數(shù)列｛4｝中，％=1,an+l-an=9-2n,則數(shù)列｛%｝中最大項(xiàng)的數(shù)值為

16.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0點(diǎn)）,（0,1）,（1,0）的圓的方程為_(kāi)____,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知/（x）=（sinx+cosx『—cos[2x—Ej

（1）求/（司的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）已知鈍角ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別a,b,c,若/（C）=l,c=2,b=20）.求。的值

18.（12分）已知圓C的半徑為2夜，圓心在直線％+y-1=。上，點(diǎn)。,0）在圓上.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若原點(diǎn)。在圓C內(nèi)，求過(guò)點(diǎn)P（0,-1）且與圓C相切的直線方程.

19.（12分）已知三角形ABC的內(nèi)角A5c所對(duì)的邊分別為a,4c,5asinC=3c且C為鈍角.

（1）求cosA；

（2）若。=3后，b=5,求三角形ABC的面積.

20.（12分）_ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為用兒c.已知c2+/cos2A=2"ccosA.

（1）求A

（2）,若問(wèn)題中的三角形存在，試求出cos。；若問(wèn)題中的三角形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

在①a=J+昱c，?b=-a+^-c，③°=正5—受a這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.

332222

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.（12分）經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量了（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度v（千米/小時(shí)）之間有函數(shù)關(guān)

系：y==-----------（v>0）

（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)車(chē)流量y最大？最大車(chē)流量為多少？（精確到o.oi）

（2）為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛〃卜時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

22.（10分）已知函數(shù)/'（X）=e*cos尤.

(I)求/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(II)若當(dāng)x>0時(shí)，/(x)2e%cosx—l)+￡+(a—1卜+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】由題意分析可得，當(dāng)平面ABC時(shí)三棱錐P-ABC的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三

棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.

【題目詳解】

由題意可知，當(dāng)三棱錐尸-A5C的體積最大時(shí)是PB_L平面ABC時(shí)，—ABC為正三角形，如圖所示，將三棱錐

P-ABC補(bǔ)成正三棱柱TPS-ABC,

該正三棱柱的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，

而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，

設(shè)ABC外接圓半徑為廠，三棱錐P-ABC外接球半徑為R,

2r=---=4、石

由正弦定理可得：一.兀一Y,所以r=2后，

sin—

3

，,PB。

R2=八(—y=12+4=16,

2

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4/=64兀.

故選：c.

2、D

【解題分析】對(duì)于A,利用空間向量基本定理判斷，對(duì)于B,利用向量的定義判斷，對(duì)于C,舉例判斷，對(duì)于D,共

面向量定理判斷

【題目詳解】對(duì)于A,若a,仇。三個(gè)向量共面，在平面a,則空間中不在平面a的向量不能用a,仇。表示，所以A錯(cuò)

誤，

對(duì)于B,因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)A3,CD所在的直線是異面直線時(shí)，AB,CD有可能共面，

所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,當(dāng)三個(gè)向量a,4c兩兩共面時(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量?jī)蓛晒裁妫@3個(gè)向量不共面，所以C

錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，。。=2。4+工。8+,0。，且工+工+,=1,所以A,B,C,。四點(diǎn)共面，

236236

所以D正確，

故選：D

3、A

【解題分析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.

【題目詳解】解：圓好+/=1的圓心為（0,0）,半徑為1,

0（X-2）2+（J-2）2=4圓心為（2,2）,半徑為2,

則兩圓圓心距d=J4+4=2A/2，

因?yàn)?—1<2血<2+1，

所以兩圓相交.

故選：A.

4、B

【解題分析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得0的值，由/（0）=日結(jié)合。的取值范圍可求得。的值.

【題目詳解】由已知可得。=至=工，/（0）=cose=受且0<。（萬(wàn)，因此，（p=~.

4兀2''）"24

故選：B.

5、B

【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的片段和性質(zhì)求解即可.

【題目詳解】解：由題知：S3=%+%+%=5，$6—S3=。4+%+“6=(4+。2=15,

Sg-Sg=%+%+%=^tZj+<22+^3)/=S9—20,

所以S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列,即5,15,Sg-20成等比數(shù)列，

所以152=5^9—20),解得Sg=65.

故選：B.

6、A

【解題分析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線/的斜率，從而可求出直線方程

【題目詳解】設(shè)點(diǎn)P(x,y)為曲線C上任一點(diǎn)，其在好+產(chǎn)=4上對(duì)應(yīng)在的點(diǎn)為(%,%)，貝！I

x=2xx

0得/°=3,

jo=y

2

所以工+/=4,

4-

所以曲線C的方程為好+4/=16,

設(shè)4(%,%),3(%2，＞2)，則

＜宕+4%2=16

引+4%2=16,

兩方程相減整理得(々+西)(尤2-%)+4(%+%)(%—%)=°，

因?yàn)锳3中點(diǎn)坐標(biāo)為拉(1,-),

2

X；+x

21

2%+X]=2

所以《1,即＜

M+為、%+%=1

22

所以(々一石)+2(%-%)=0,

所以上必￡

x2_玉2

所以直線/的方程為y—g=—g(x—1),即x+2y—2=0,

故選：A

7、B

【解題分析】解不等式2必一5x-3vO,由此判斷必要不充分條件.

【題目詳解】2X2-5X-3=（X-3）（2X+1）<0,解得—g<x<3,

所以不等式2f—5%—3<0的一個(gè)必要不充分條件是-1<x<3.

故選：B

8、A

【解題分析】先求出向量AP，再利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.

【題目詳解】解：由題知，點(diǎn)4（—1,2,1）在a內(nèi)，點(diǎn)。（1,2,—2）在卜，

所以AP=（2,0,—3）

又向量”=（2,0,1）為平面a的法向量

\AP-A1也

所以點(diǎn)P到平面a的距離為：d=^T^=-r=^-

WV55

故選：A.

9、D

【解題分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題夕的真假，利用特殊值法可判斷命題q的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假

可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.

【題目詳解】對(duì)于命題P,由于函數(shù)y=3、為R上的增函數(shù)，當(dāng)，>人時(shí)，3a>3J命題〃為真命題；

對(duì)于命題4,若a>b,取a=l,/?=—1,則一〉7，命題4為假命題.

ab

所以，f、q、。人4均為假命題，（「？”（一1?）為真命題.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解題分析】根據(jù)橢圓的定義寫(xiě)出|所|+歸閭=2a=10,再根據(jù)條件|P國(guó)=3歸閭即可解得答案.

22

【題目詳解】根據(jù)尸為橢圓C：二+乙=1上一點(diǎn)，

259

則有歸耳|+|尸閭=2a=2后=10,

又|P制=3忸閭，所以歸用=?=｝

故選：B.

11、D

【解題分析】由數(shù)列｛an｝的遞推公式依次去求，直到求出生即可?

11

【題目詳解】由4=二，。"+1=;------

31-%

113

可得出=匚［=n=5,

3

1_1_1

--

l-tz31-(-2)3

故選：D.

12、A

【解題分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.

42

【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式(1+%)展開(kāi)式中第3項(xiàng)T3=Clx=6x,

所以(1+x)4展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6.

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

22^77—vn

【解題分析】由共線向量得了=k=—解方程即可.

12-1

22m—Tn

【題目詳解】因?yàn)樗?=丁=-p解得加=2.

故答案為：2

1-i

14、一

2

【解題分析】利用復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)Z,由共朝復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出I即可.

11+i1+i

【題目詳解】z=-----

1-iF

.-1-i

???z------?

2

1-i

故答案為：——

2

15、17

【解題分析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).

【題目詳解】當(dāng)“之2時(shí)，

4二（凡一%-1）+（為-1一%-2）+…+（。2一q）+6

=（n—2〃）+（13—2〃）+…+7+1

?一、八(n-I)ny

=9(〃-1)-2x---F1

=—〃2+10,7-8=—（“-5）2+17,所以數(shù)列｛4｝中最大項(xiàng)的數(shù)值為17

故答案為：17

【解題分析】設(shè)所求圓的方程為x^+y1+Dx+Ey+F=0,然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中解方程組求出D,E,F的值,

可得圓的方程

【題目詳解】設(shè)所求圓的方程為必+必+m+切+尸=0,貝!!

F=0

<1+￡1+/=0,解得

(D=7

[1+。+/=0E.T

,F=0

所以圓的方程為x~+y2-x-y=0,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17-.（1）兀,[E—由,丘+普]伏eZ）；

（2）2.

【解題分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)/'（九），再利用三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.

⑵由⑴的結(jié)論及已知求出角C,再利用余弦定理計(jì)算判斷作答.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，f(x)=l+sin2x-(——cos2x+—sin2x)=—sin2x----cos2x+l=sin(2x—)+1，

22223

27r

則/(X)的最小正周期T=—=n,

由2E—四K2x—二42E+二,AcZ,解得碗」工xWE+漢,kGZ,則/(尤)在［也-百加+豫(左eZ)上單調(diào)

23212121212

遞增，

所以“力的最小正周期為不，遞增區(qū)間為時(shí)-卷，加+得］(%?Z).

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知，/(C)=sin(2C-1)+1=1,即5山(2。一三)=0,在ABC中，c=2,b=2?,

則C<5,即0<C<工，--<2C--<—,于是得2C—巴=0,解得。=工，

233336

在ABC中，由余弦定理02="+/2一2"。5。得：*=a1+(2回-2a.26cos3,即/—6a+8=0,解得a=2或

?(;O

a=4,

當(dāng)a=4時(shí)，〃+/=片，AS。為直角三角形，與一ABC是鈍角三角形矛盾，

TT27r

當(dāng)a=2時(shí)，a=c,A=C=—,此時(shí)3=——，ABC是鈍角三角形，則a=2,

63

所以a的值是2.

18、(1)(x+1)2+(j-2)2=8^(x-3)2+(j+2)2=8

(2)x-y-l=0或x+7y+7=0

【解題分析】(1)先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上和圓心在直線上得到圓心坐標(biāo)的方程組，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程;

(2)先利用原點(diǎn)在圓內(nèi)求出圓的方程，設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑進(jìn)行求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》—“)2+('—32=8,

a+Z?-1=0

由已知得，

(l-?)2+62=8,

a=-1a=3

解得或

b=2b=—2’

故圓C的方程為(x+l)2+(y_2p=8或(無(wú)一3『+(y+2『=8.

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)椋∣+iy+（O-2,=5<8,

（0-3）2+（0+2）2=13>8,且原點(diǎn)在圓內(nèi)，

故圓的方程為（％+1丁+（'—2）2=8,

則圓心為（—1,2）,半徑為廠=2后，

設(shè)切線為丁=近一1,即日一丫一1=。，

則更生=20,解得左=1或—

故切線為〉=*-1或y=—

即X—y—1=0或x+7y+7=0即為所求.

4

19、（1）-

5

⑵—

2

【解題分析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角A的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.

4

⑵由（1）cosA=-,由余弦定理，求出邊。的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得面積

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?asinC=3c,由正弦定理得5sinAsinC=3sinC

3

因sinCwO,所以sinA=1.

因?yàn)榻恰殁g角，所以角A為銳角，所以cosA=Jl—sin2A=g

【小問(wèn)2詳解】

4L

由（l）cosA=《，由余弦定理〃之二/+c2一2》ccosAa—3v2,b=5，

4

W18=25+C29-2X5CX-,所以/一80+7=（）,

解得。=7或。=1,c=l〈"不合題意舍去，.?.c=7

11321

故ABC的面積為一bcsinA=—x5x7x—二—

2252

71

20、（1）B=-

2

（2）答案見(jiàn)解析

【解題分析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；

（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③,

由余弦定理可求解

【小問(wèn)1詳解】

由。2+（/?cosA）2—2cbcosA=0,可得（c—〃cos=0,貝！|c=bcosA.

AsinC=cosAsinB，

在_ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

jr

則sinAcosB=0,V0<A<,/.sinA0,/.cosB=0,°；0<B<兀，；?B=—?

2

【小問(wèn)2詳解】

選擇條件①

a-^-b+^-c9在一ABC中，「:.'=,可得sinA=sin5+^^sinC,

33sinAsinBsine33

71

*.*B=-,:.sinA=cosC,

2

：?cosC=避+^^sinC,y/3cosC-sinC=1，

33

根據(jù)輔助角公式，可得cos[c+力=；,

TTTTTT

c+—=—,即。=—,

636

故cosC=-?

2

選擇條件②

由Z?=!a+=—a1+—c2-\-^-ac,

22442

,:B=1,/.b2=a2+c29因此，a2+c2=—a2+—c2+^-ac>

2442

整理得34—2y[3ac+，=0,即（—c）2=0,則百〃=c?

在H/_ABC中，—=tanC=A/3,/.C=—.

a3

故cosC

2

選擇條件③

由c=得b=\/^c+a，

22

即b2=2c2+a2+2立ac=〃+c?,

整理得°2+2缶°=0，

由于a>0,c>0,則方程無(wú)解，故不存在這樣的三角形.

21、（1）當(dāng)v=40（千米/小時(shí)）時(shí)，車(chē)流量最大，最大值約為11.08千輛/小時(shí)；

（2）汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi)（單位：千米〃J、時(shí)）.

【解題分析】（1）利用基本不等式可求得》的最大值，及其對(duì)應(yīng)的v值，即可得出結(jié)論；

（2）解不等式292°〔210即可得解.

V2+3V+1600

【小問(wèn)1詳解】

920v920,9209201

y=------------------=---------------s----------=-----x11.0n8o

解：v>0