福建省泉州市部分中學2022-2023學年高二下期末聯(lián)考數(shù)學試題(學生版+解析)

泉州市部分中學2024屆高二下期末聯(lián)考試題數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的展開式中常數(shù)項為()．A. B. C.15 D.202.等比數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.3.平行六面體的所有棱長均為1，，則的長度為()A. B. C. D.4.下列說法正確的是()A.若事件相互獨立，則B.設隨機變量滿足，則C.已知隨機變量，且，則D.在一個列聯(lián)表中，計算得到的值越接近1，則兩個變量的相關性越強5.記，則()A. B. C. D.6.空間直角坐標系中，，，，點平面內，且平面，則()A. B. C. D.7.已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，分別在點處作的兩條切線，兩條切線交于點，則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知，則的最小值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則()A. B.C.的最小值為 D.的最大值為10.已知圓與軸相切，且在直線上，圓，若圓與圓相切，則圓的半徑長可能是()A. B. C. D.11.已知數(shù)軸上一個質點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次受力質點原地停留或向右移動一個單位，質點原地停留的概率為，向右移動的概率為，且每次是否移動互不影響．若該質點共受力7次，到達位置的數(shù)字記為，則()A. B.C. D.12.平面兩兩互相垂直且有一個公共點，，，，直線過點，則下列結論正確的是()A.若與所成的角均為，則與平面所成的角為B.若與平面所成的角相等，則這樣的直線有且僅有1條C.若與平面所成的角分別為，則與平面所成的角為D.若點在上，且在的投影分別為，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線是雙曲線()的一條漸近線，則的離心率為______.14.數(shù)列中，，，則的前項的和為_________．15.甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球，則最后摸出兩球都是白球的概率為______；若最后摸出的兩球都是白球，則這兩個白球都來自甲箱的概率為______．16.某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個圓柱體與兩個半球對接而成的組合體，其中圓柱體的底面半徑為2，高為4．現(xiàn)要加工成一個圓柱，使得圓柱的兩個底面的圓周落在半球的球面上，則圓柱的最大體積為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求，；(2)設，數(shù)列前項和為，求證：．18.已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．19.如圖，在四棱臺中，，，，，．(1)證明：平面平面；(2)若四棱臺的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．20.學生的學習除了在課堂上認真聽講，還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后自主學習，人們普遍認為課后自主學習時間越多學習效果越好.某權威研究機構抽查了部分高中學生，對學生每天花在數(shù)學上的課后自主學習時間(分鐘)和他們的數(shù)學成績(分)做出了調查，得到一些數(shù)據(jù)信息并證實了與正相關.“學霸”小李為了鼓勵好朋友小王和小張努力學習，拿到了該機構的一份數(shù)據(jù)表格如下(其中部分數(shù)據(jù)被污染看不清)，小李據(jù)此做出了散點圖如下，并計算得到，，的方差為350，的相關系數(shù)().(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出的線性經(jīng)驗回歸方程，并由此預測每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時的數(shù)學成績；(2)受到小李鼓勵，小王和小張決定在課后花更多的時間在數(shù)學學習上，小張把課后自主學習時間從20分鐘增加到60分鐘，而小王把課后自主學習時間從60分鐘增加到100分鐘.經(jīng)過幾個月的堅持，小張的數(shù)學成績從50分提升到90分，但小王的數(shù)學成績卻只是從原來的100分提升到了115分.小王覺得很迷惑，課后學習時間每天同樣增加了40分鐘，為什么自己的成績僅僅提升了十幾分呢，為什么實際成績跟預測的成績差別那么大呢？①請根據(jù)你對課后自主學習時間與數(shù)學成績關系的看法及對一元回歸模型的理解，解答小王的疑惑；②小李為了解答小王的疑惑，想辦法拿到了上表中被污染的數(shù)據(jù)如下.據(jù)此，請在上圖中補齊散點圖，并給出一個合適的經(jīng)驗回歸方程類型(不必求出具體方程，不必說明理由).編號1415161718x8590100110120y113114117119119附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.21.已知為坐標原點，點到點的距離與它到直線的距離之比等于，記的軌跡為．點在上，三點共線，為線段的中點．(1)證明：直線與直線的斜率之積為定值；(2)直線與相交于點，試問以為直徑的圓是否過定點，說明理由．22.已知，.(1)求的極值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.

泉州市部分中學2024屆高二下期末聯(lián)考試題數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.的展開式中常數(shù)項為()．A. B. C.15 D.20【答案】B【解析】【分析】寫出展開式的通項公式，再令得，再代入通項公式即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項公式，令，解得，所以常數(shù)項.故選：B2.等比數(shù)列滿足，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可得答案.【詳解】由數(shù)列是等比數(shù)列，其首項，公比設為，則等式，整理可得，解得，即.故選：B.3.平行六面體的所有棱長均為1，，則的長度為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由為平行六面體，可知為體對角線，由向量的模長公式即可求得.【詳解】

故選：B4.下列說法正確的是()A.若事件相互獨立，則B.設隨機變量滿足，則C.已知隨機變量，且，則D.在一個列聯(lián)表中，計算得到的值越接近1，則兩個變量的相關性越強【答案】C【解析】【分析】A項，求出即可；B項根據(jù)的性質即可得出；C項，根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的性質求解作答；D項，根據(jù)的性質，即可得出相關性強弱.【詳解】對于A，若事件相互獨立，則,所以A錯誤，對于B，設隨機變量滿足，則所以B錯誤，對于C，隨機變量，且，則,所以C正確，對于D，在一個列聯(lián)表中，值越大，則兩個變量的相關性越強，所以D錯誤，故選：C.5.記，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)運算性質，借助中間量，結合指數(shù)冪的運算及函數(shù)的單調性比較大小即可.【詳解】因為，A錯誤;,B正確;C錯誤;,D錯誤;故選：B.6.空間直角坐標系中，，，，點在平面內，且平面，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出平面的法向量，再求出長，然后利用勾股定理求解作答.【詳解】由，，，得，設平面的法向量，則，令，得，有，而平面，于是，又，，所以.故選：D7.已知拋物線的焦點為，過的直線交于點，分別在點處作的兩條切線，兩條切線交于點，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設直線的方程為，，與拋物線聯(lián)立可得，再利用求曲線上一點的切線方程得過與相切的直線方程，再利用兩條直線的交點坐標得???????，再利用兩點間的距離公式計算得結論.【詳解】顯然直線的斜率存在，因此設直線的方程為，，

由得，因此，故.

因為，所以過與相切的直線方程分別為：、，

因此由得，即，

所以

.

因為，所以，因此，所以的取值范圍是.故選:C.8.已知，則的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】等價于對于，恒成立，設，求出函數(shù)最大值，得到，設，求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】對于，恒成立，設，所以.當時，，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)沒有最大值，所以這種情況不滿足已知；當時，當時，，函數(shù)單調遞增.當時，，函數(shù)單調遞減.所以.所以.所以.設，所以，當時，，函數(shù)單調遞減.當時，，函數(shù)單調遞增.所以.所以的最小值為.故選:C.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題的求解，常用的方法有：(1)分離參數(shù)求最值；(2)直接法；(3)端點優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則()A. B.C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出的值，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項；利用等差數(shù)列的通項公式可判斷B選項；求出的最小值，可判斷C選項；利用二次函數(shù)的基本性質可判斷D選項.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得.對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，故當或時，取最小值，C錯；對于D選項，，故當時，取得最大值，D對.故選：ABD.10.已知圓與軸相切，且在直線上，圓，若圓與圓相切，則圓的半徑長可能是()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設圓的方程為，由條件方程求解即可.【詳解】設圓的方程為，因為圓與軸相切，且在直線上，所以，即，所以圓的方程為或，又圓的圓心為，半徑為1，當圓與圓外切時，或(舍去)，解得或；當圓與圓內切時，或，解得或(舍去)；綜上，圓的半徑長可能是、或2.故選：BCD11.已知數(shù)軸上一個質點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次受力質點原地停留或向右移動一個單位，質點原地停留的概率為，向右移動的概率為，且每次是否移動互不影響．若該質點共受力7次，到達位置的數(shù)字記為，則()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二項分布的概率計算即可判斷ACD，根據(jù)二項分布的期望公式即可判斷B.【詳解】設質點向右移動的次數(shù)為,則，由于，所以,,故A正確，,故B錯誤，由于,所以,故C正確，，，，,,,因此最大，故，故D錯誤，故選：AC12.平面兩兩互相垂直且有一個公共點，，，，直線過點，則下列結論正確的是()A.若與所成的角均為，則與平面所成的角為B.若與平面所成的角相等，則這樣的直線有且僅有1條C.若與平面所成的角分別為，則與平面所成的角為D.若點在上，且在的投影分別為，則【答案】AD【解析】【分析】把問題轉化為正方體中的線面關系，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】由題意，平面兩兩互相垂直且有一個公共點，不妨平面放置在正方體的三個相鄰面中，記平面為平面，記平面為平面，記平面為平面，則直線為，直線為，直線為，記正方體棱長為1，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖：則點、、、、、、、，又直線過點，再取上一點，設點，對于選項A，，，，因為與所成的角均為，即，所以，所以，所以，即，所以，即，易知平面的法向量為，設與平面所成的角為，則，又，所以，所以與平面所成的角為，正確；對于選項B，易知平面的法向量為，平面的法向量為，若與平面所成的角相等，則三個線面角的正弦值相等，所以，即，所以，所以或或或，則這樣的直線有4條，錯誤；對于選項C，若與平面所成的角分別為，則，所以，，所以，所以，即，設與平面所成的角為，易知平面的法向量為，則，又，所以，所以與平面所成的角為，錯誤；對于選項D，因為點在的投影分別為，則，所以，又，所以，正確.故結論正確的是AD.故選：AD【點睛】關鍵點睛：對于立體幾何中角和長度的計算難題，往往可以用空間向量法，通過求解直線的方向向量或平面的法向量，利用向量夾角和距離公式求解即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線是雙曲線()的一條漸近線，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，然后代入離心率公式求解.【詳解】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以，所以C的離心率為.故答案為：14.數(shù)列中，，，則的前項的和為_________．【答案】【解析】【分析】推導出數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得數(shù)列的前項的和的值.【詳解】在數(shù)列中，，，則，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，則，所以，數(shù)列的前項和為.故答案為：.15.甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球，則最后摸出的兩球都是白球的概率為______；若最后摸出的兩球都是白球，則這兩個白球都來自甲箱的概率為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】從甲箱中取出兩白球、取出一白一黑，分別為事件表示，從乙箱中取出的兩球時白球為事件，結合條件概率的計算公式和全概率公式，即可求解.【詳解】由題意，從甲箱中任取兩球放入乙箱僅有2中可能，取出兩白球、取出一白一黑，分別用表示，設“從乙箱中取出的兩球時白球”為事件，可得，其中，所以從乙箱中取出兩球是白球的概率為；設從乙箱摸出兩個白球都來自甲箱為事件，則,則.故答案為：；.16.某幾何體的直觀圖如圖所示，是由一個圓柱體與兩個半球對接而成的組合體，其中圓柱體的底面半徑為2，高為4．現(xiàn)要加工成一個圓柱，使得圓柱的兩個底面的圓周落在半球的球面上，則圓柱的最大體積為______．【答案】【解析】【分析】設加工成的圓柱底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的體積用含有h的代數(shù)式表示，利用導數(shù)求其最大值即可.【詳解】設加工成的圓柱的底面半徑為，高為，軸截面如圖，則，則加工后所得圓柱的體積，所以可得當時，，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，取得最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求，；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【解析】【分析】(1)當時由＝(＋1)與＝(＋1)作差，由此得出是等差數(shù)列，從而求出即可；(2).通過(1)再裂項得出數(shù)列的通項公式，進而并項相加即得結論．【小問1詳解】……①，……②由②－①得，，．又，所以，由①所以是首項為1公差為的等差數(shù)列，所以，代入①得．【小問2詳解】，，因為，所以，即．18.已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)求出、的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；(2)令，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)單調性與極值，結合不等式的基本性質可證得結論成立.【小問1詳解】解：因為，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程為，即．【小問2詳解】證明：令，其中，要證，即證，因為，當且僅當時，等號成立，所以在單調遞增，又，所以當時，，，當時，，；當時，．故，即，得證．19.如圖，在四棱臺中，，，，，．(1)證明：平面平面；(2)若四棱臺的體積為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)解法一：證明，從而得到，結合面面垂直的判定即可證明；解法二：建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可；(2)解法一：利用錐體體積公式求出，建立合適的空間直角坐標系，利用線面角的空間向量求法即可；解法二：利用錐體體積比從而得到，再建立空間直角坐標系，利用線面角的空間向量求法即可.【小問1詳解】解法一：，，，在中，，由余弦定理得，故，則，因為棱臺，故交于一點，即共面，又，即，，平面，所以平面，因為面，所以，又，即，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；解法二：由棱臺的定義，把四棱臺的側棱延長交于點，得到四棱錐，，同解法一，可得，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系如圖，則，設，由，則有，所以，即，所以平面，因為平面，故平面平面，即平面平面；【小問2詳解】解法一：設梯形與梯形的面積分別為，，因為梯形與梯形相似，且，故，所以，由(1)知，平面，則，所以，故，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系如圖，，由，得，由，得，所以，設平面的法向量為，則，取，設直線與平面所成的角為，則．解法二：可知四棱錐與四棱錐，相似比為，故體積比為，故，所以，又，所以，故，所以，故下同解法一．20.學生的學習除了在課堂上認真聽講，還有一個重要環(huán)節(jié)就是課后自主學習，人們普遍認為課后自主學習時間越多學習效果越好.某權威研究機構抽查了部分高中學生，對學生每天花在數(shù)學上的課后自主學習時間(分鐘)和他們的數(shù)學成績(分)做出了調查，得到一些數(shù)據(jù)信息并證實了與正相關.“學霸”小李為了鼓勵好朋友小王和小張努力學習，拿到了該機構的一份數(shù)據(jù)表格如下(其中部分數(shù)據(jù)被污染看不清)，小李據(jù)此做出了散點圖如下，并計算得到，，的方差為350，的相關系數(shù)().(1)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出的線性經(jīng)驗回歸方程，并由此預測每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時的數(shù)學成績；(2)受到小李的鼓勵，小王和小張決定在課后花更多的時間在數(shù)學學習上，小張把課后自主學習時間從20分鐘增加到60分鐘，而小王把課后自主學習時間從60分鐘增加到100分鐘.經(jīng)過幾個月的堅持，小張的數(shù)學成績從50分提升到90分，但小王的數(shù)學成績卻只是從原來的100分提升到了115分.小王覺得很迷惑，課后學習時間每天同樣增加了40分鐘，為什么自己的成績僅僅提升了十幾分呢，為什么實際成績跟預測的成績差別那么大呢？①請根據(jù)你對課后自主學習時間與數(shù)學成績的關系的看法及對一元回歸模型的理解，解答小王的疑惑；②小李為了解答小王的疑惑，想辦法拿到了上表中被污染的數(shù)據(jù)如下.據(jù)此，請在上圖中補齊散點圖，并給出一個合適的經(jīng)驗回歸方程類型(不必求出具體方程，不必說明理由).編號1415161718x8590100110120y113114117119119附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.【答案】(1)，140分(2)①答案見解析；②答案見解析【解析】【分析】(1)先求出平均數(shù)，利用最小二乘法求出回歸方程，代入數(shù)據(jù)即可預測；(2)①根據(jù)回歸方程的含義及統(tǒng)計知識解答疑惑即可；②補齊散點圖，根據(jù)所學函數(shù)選擇非線性回歸方程即可.【小問1詳解】，，又方差為，所以，，故，當時，，故預測每天課后自主學習數(shù)學時間達到100分鐘時數(shù)學成績?yōu)?40分；【小問2詳解】①(i)所求的經(jīng)驗回歸方程依據(jù)的樣本數(shù)據(jù)時間范圍在20~80分鐘，當時間范圍擴大后，之間不一定還符合該方程，所以預測與實際情況可能會有較大差別；(ii)事實上，樣本數(shù)據(jù)時間在70分鐘以后，對應成績的增速已有明顯減緩的趨勢，因此當時間范圍擴大后，相關系數(shù)會降低，所求經(jīng)驗回歸方程模型不一定適合.(iii)小李所拿到的樣本數(shù)據(jù)的缺失可能使得回歸模型不恰當，