2023年高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案第8章8-4直線平面平行的判定與性質(zhì)

§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

【考試要求】

L理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

【知識(shí)梳理】

I.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

，4a

判定平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直

bUa04〃a

定理線平行，那么該直線與此平面平行呂

a//b.

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直

a∕∕a

性質(zhì)

線的任一平面與此平面的交線與該直aU6?^a∕∕b

定理

線平行α∏6=r.

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

CIUB、

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另

bus

判定

一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面I司CICb=P>=^β∕∕a

定理

平行￡7alla

b∕∕a>

a∕∕β]

性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)^1IΓ

aC?γ=g>=>a∕∕h

定理平面相交,那么它們的交線平行I6∩y=/

【常用結(jié)論】

(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若”,α,aLβ,則α〃夕.

(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α〃?，β∕/γ,則a〃y.

(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a_La,?±α,則?！ㄥ?/p>

(4)?ra∕∕β,CIUa,則“〃及

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

（1）若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.（X）

⑵若直線“〃平面α,PWa,則過點(diǎn)P且平行于直線”的直線有無數(shù)條.（×）

⑶若直線4u平面α,直線/，＜=平面從a∕∕b,則α〃夕.（X）

（4）如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.（√）

【教材題改編】

1.下列說法中，與“直線。〃平面a”等價(jià)的是（）

A.直線。上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)

B.直線〃與平面a內(nèi)的所有直線平行

C.直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

答案D

解析因?yàn)閍〃平面a,所以直線a與平面a無交點(diǎn)，因此。和平面a內(nèi)的任意一條直線都

不相交.

2.已知不重合的直線a,〃和平面a,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若a〃a,bUa,則a〃Z?

B.若a〃a,b∕∕a,則“〃匕

C.若a〃匕，?Ca,則a〃a

D.若a〃方，?Ca,則6〃a或6Ua

答案D

解析若a〃a,bUa,則a〃?；虍惷?，A錯(cuò);

若a〃a,b∕∕a,則a〃b或異面或相交，B錯(cuò);

若?！?,bUa,則“〃a或aUa,C錯(cuò);

?a//b,aUa,貝!|b〃a或bua,D對(duì).

3.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為

答案平行四邊形

解析,/平面ABFE//平面DCGH,

又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面EFGaC平面DCGH=HG,

.?.E尸〃HG.同理EH〃FG,

.,.四邊形EFGH是平行四邊形.

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形，E,尸分別是SC,PC的中

點(diǎn)，求證：

⑴PB〃平面AC尸；

(2)EF〃平面PAB.

證明(1)如圖，連接B。交4C于。，連接。匕

,.?四邊形ABCD是平行四邊形，

。是BQ的中點(diǎn)，

又；尸是PO的中點(diǎn)，

J.0F//PB,

又「OFU平面ACEP用平面ACE

,PB〃平面ACF.

⑵取力的中點(diǎn)G,連接GF,BG.

是PD的中點(diǎn),

.?.GF是4B4O的中位線，

；.GF戚AD,

；底面4BC。是平行四邊形，E是8C的中點(diǎn),

：.BE^AD,：.GF^BE,

.?.四邊形BEFG是平行四邊形,

J.EF//BG,

又「ERJ平面∕?B,BGU平面∕?8,

.?.Ef〃平面PAB.

命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐「一ABCD中，四邊形A8C。是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在

DM上取一點(diǎn)G,過G和以作平面交BD于點(diǎn)H.

P

求證：PA//GH.

證明如圖所示，連接4C交BD于點(diǎn)0,連接OM,

P

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

二。是AC的中點(diǎn)，

又M是PC的中點(diǎn)，

J.PA//0M,

又OMU平面BMD,HW平面BMD,

.?.∕?〃平面BMD,

又平面∕?HG∩平面BMD=GH,

:,PA//GH.

【教師備選】

如圖，四邊形A8C。是矩形，內(nèi)平面A8CZ),過BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E,交DP于點(diǎn)

F,求證：四邊形BCFE是梯形.

證明,/四邊形ABCD為矩形，

J.BC//AD.

「AOU平面剛。，BcU平面力。,

.?.BC〃平面PAD.

：平面BCFE∩平面PAD=EF,

BCU平面BCFE,

.,.BC∕∕EF.

'：AD=BC,AD≠EF,

.?BC≠EF,

，四邊形BCFE是梯形.

思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).

②利用線面平行的判定定理(Ha,bUa,a//bz^a∕∕a).

③利用面面平行的性質(zhì)(α〃乩"uct=>4〃4).

④利用面面平行的性質(zhì)(α〃夕，a<tβ,a∕∕a=^a∕∕β).

(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確

定交線.

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，已知四邊形ABCO是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF

的中點(diǎn).

(1)求證：AM〃平面8OE；

⑵若平面AZ)M∩平面BOE=/,平面ABMrl平面Bf)E=加，試分析/與的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

⑴證明如圖，記Ae與8。的交點(diǎn)為。，連接OE

因?yàn)?,M分別為AC,EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形,

所以四邊形AoEM是平行四邊形，

所以AM〃0E.

又因?yàn)镺EU平面BDE,AMQ平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

(2)解/〃相，證明如下：

由(1)知AM〃平面BDE,

又AMU平面ACM,平面ADWrI平面BOE=/,

所以l//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面ABMC平面BDE=〃?,

所以機(jī)〃AM,所以/〃丸

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3如圖所示，在三棱柱48C—AIBCI中，過BC的平面與上底面ABiG交于G"(GH與

BiCi不重合).

⑴求證：BC//GH；

(2)若E,F,G分別是AB,AC,AIBl的中點(diǎn)，求證：平面E∕?ι〃平面BCHG

證明(1)；在三棱柱A8C—48IG中，

，平面ABe〃平面AiBiCi,

又；平面BCHGC平面ABC^BC,

且平面BCHGC平面A↑BiCi=HG,

由面面平行的性質(zhì)定理得BC//GH.

(2)VE,尸分別為A8,AC的中點(diǎn)，

：.EF//BC,

；￡7過平面BCHG,BCU平面BCHG,

.?.EF〃平面BCHG.

又G,E分別為A∣Bι,AB的中點(diǎn)，A1B1

；.AlG舔EB,

四邊形AlEBG是平行四邊形，J.A↑E∕∕GB.

?.?AιE<I平面BCHG,GBU平面BCHG,

.?.A∣E〃平面BCHG.

又?.?AιE∩EF=E,A∣E,EFU平面￡7%，

平面E∕?∣〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若將條件''E,F,G分別是AB,AC,A∣8∣的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)。，D1

ΛΓ)

分別是AC,AlCI上的點(diǎn)，且平面BGD〃平面ABQJ',試求反的值.

解如圖，連接AIB交ABl于。，連接。Ci.

由平面BCQ〃平面ABιD∣,

且平面48Cm平面BeID=BCI,

平面AIBGrI平面ABiDi=DlO,

所以BC1〃DI0,則《夕=?=1.

Λ√1C∣UD

->-≤nΛ?D]DC

又7由雙bTγXDC-N5,

e/OCAΣ>

所以詬=1,即0π反=1.

【備選】

如圖，在三棱柱中,

ABC-AibGE,F,G分別為8ιG,A∣B1,A8的中點(diǎn).

⑴求證:平面4GG〃平面BEr;

(2)若平面AGGCBC=”，求證：”為BC的中點(diǎn).

證明(I)VE,步分別為BQ,481的中點(diǎn),

：.EF//AiCi,

?.NιGU平面AICIG,ERt平面AICIG,

.?.EF〃平面A∣C∣G,

又尸,G分別為A∣B∣,AB的中點(diǎn)，

ΛA∣F=BG,

又AIF〃BG,

四邊形4GB尸為平行四邊形，

則BF//AiG,

YAiGU平面AIGG,8叫平面AIGG,

.?.3F〃平面AICIG,

XEFHBF=F,EF,BFU平面BEF,

平面AIClG〃平面BEF.

(2)：平面ABC〃平面AiBiCi,平面AIGGrI平面AlBlCI=AlG,

平面4GG與平面A8C有公共點(diǎn)G,則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC于點(diǎn)”，如圖，

則Alci〃GH,#GH//AC,

：G為AB的中點(diǎn)，,H為BC的中點(diǎn).

思維升華證明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(/_La,I邛=a∕∕β).

(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α〃4,

β∕/γ=^>a∕/γ).

跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱柱ABC。-4BlGcl的底面48C。是正方形.

(1)證明：平面AIBD〃平面CA3：

(2)若平面ABCDC平面CDIBl=直線/,證明：B↑D↑∕∕l.

證明(1)由題設(shè)知B8∣統(tǒng)DD所以四邊形是平行四邊形，所以8￡>〃8。|.

又BZXt平面CnB8Q∣U平面CD∣B∣,

所以平面CD1B1.

因?yàn)锳Q4BCi伽CC,

所以四邊形AlBCE>|是平行四邊形，

所以AlB〃DC.

又AlBa平面CD山OlCU平面C。山”

所以48〃平面CD?B?.

又因?yàn)锽OCAtB=B,BD,AiBU平面AjBD,

所以平面4B?！ㄆ矫鍯D∣B1.

(2)由(1)知平面AiBQ〃平面CDiBi,

又平面ABCDC平面CABl=直線/,

平面ABCCn平面A山。=直線BD,

所以直線/〃直線B。，

在四棱柱ABC。一AIBlCl。中，四邊形BDDlBl為平行四邊形，

所以BQ"5Z),所以BIQ1〃/.

題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

例4如圖，在正方體ABC￡>—4BIcQl中，P,。分別為對(duì)角線B。，C。上的點(diǎn)，且法=

BP=2

~PD=y

(1)求證：PQ〃平面AQjD4;

(2)若R是AB上的點(diǎn)，右的值為多少時(shí)，能使平面PQ?〃平面4AD4?請(qǐng)給出證明.

/1￡)

(1)證明連接C尸并延長(zhǎng)，與。A的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，如圖，連接MCI,因?yàn)樗倪呅蜛BCQ

為正方形,

所以BC〃4O,

故4PBCsgfM

CPBP2

所以,

PM~PD~y

又因?yàn)榭?"=2

乂因QDΓPD~y

,,CQCP2

mrvλ,

[QDi~PM~3

所以PQ∕∕MDi.

又ΛW∣U平面AIz)ID4,PQQ平面AQID4,

故PQ〃平面A∣D∣DA.

(2)解當(dāng)?shù)缘闹禐镮時(shí)，能使平面PQR〃平面AQlD4.如圖,

證明如下:

即朝,

,,BRBP

隊(duì)麗=麗

所以PR//DA.

又D4U平面AIoID4,PRa平面4AD4,

所以PR〃平面A?D↑DA,

又PQ〃平面4Q∣D4,PQCPR=P,PQ,PRU平面尸QR,

所以平面PQR〃平面A↑D↑DA.

【備選】

如圖，四邊形ABCo與Af)EF均為平行四邊形，M,N,G分別是A8,AD,EF的中點(diǎn).求

證：

(I)BE〃平面DMF；

(2)平面BOE〃平面MNG.

證明(1)如圖，連接AE,則AE必過。尸與GN的交點(diǎn)。,

連接M0,則Mo為AABE的中位線，所以BE〃M0.

又BEa平面DMF,MoU平面DMF,

所以BE〃平面QME

(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊A。，EF的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃GM

又。砌平面MNG,GNU平面MNG,

所以。E〃平面MNG.

又M為AB的中點(diǎn)，

所以MN為Bo的中位線，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BzK平面MNG,

所以80〃平面MNG,

又￡>E,BoU平面BOE,DEQBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

思維升華證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題

的關(guān)鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形EFG4為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊

形.

⑴求證：AB〃平面EFGa

(2)若AB=4,CD=G,求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.

⑴證明；四邊形EFGa為平行四邊形，

:,EF//HG.

YHGU平面AB。，0巾平面ABD

.?.E∕〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面ABZ)∩平面ABC^AB,

.?EF//AB,

又YzWQ平面EFGH,EFU平面EFGH,

.?.A8〃平面EFGH.

⑵解設(shè)EF=X((KX<4),

由(1)知EF//AB,

.CF=EF=x

"'CB=AB=4,

與(1)同理可得CDHFG,

?FG_BF

,,CD=βC,

FGBFBC-CF,X

則

6BCBCl4,

3

.?.FG=6一>.

四邊形EFGHr的周長(zhǎng)

XV0<Λ-<4,

Λ8<L<12,

故四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是（8,12）.

課時(shí)精練

1.（2022.寧波模擬）下列命題中正確的是（）

A.若a,。是兩條直線，且?！╞,那么〃平行于經(jīng)過匕的任何平面

B.若直線〃和平面α滿足a〃a,那么“與α內(nèi)的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

D.若直線mb和平面α滿足a〃b,aUa,Ma,則b〃a

答案D

解析A中，?？梢栽谶^匕的平面內(nèi)；B中，a與a內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可能

相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知6〃a,正確.

2.（2022?呼和浩特模擬）設(shè)4,6是兩條不同的直線，ɑ,夕是兩個(gè)不同的平面，則α〃Ρ的一

個(gè)充分條件是（）

A.存在一條直線4,a//a,a//β

B.存在一條直線”,αUα,a//β

C.存在兩條平行直線”,b,aUa,h1^β,a//β,h//a

D.存在兩條異面直線”,b,αUα,bUβ,a//β,b//a

答案D

解析對(duì)于A,一條直線與兩個(gè)平面都平行，兩個(gè)平面不一定平行，故A不正確；

對(duì)于B,一個(gè)平面中的一條直線平行于另一個(gè)平面，兩個(gè)平面不一定平行，故B不正確；

對(duì)于C,兩個(gè)平面中的兩條直線平行，不能保證兩個(gè)平面平行，故C不正確；

對(duì)于D,如圖，在直線b上取點(diǎn)8,過點(diǎn)B和直線α確定一個(gè)平面y,交平面“于a',

因?yàn)棣痢ㄈ怂?。?

又a'<la,αCot,所以“'//a,

又因?yàn)槿恕é?bC?a'=B,h^β,a'up,所以￡〃a.

3.（2022?成都模擬）如圖，在三棱柱ABC-AIBIG中，AM=2MA↑,BN=2NBi,過MV作一

平面分別交底面AABC的邊BC,AC于點(diǎn)￡,F,則（）

A.MF〃EB

B.AlBI〃NE

C.四邊形MNEF為平行四邊形

D.四邊形MNE尸為梯形

答案D

解析由于B,E,尸三點(diǎn)共面，F(xiàn)W平面BEF,M在平面BEF,故MF,EB為異面直線，

故A錯(cuò)誤；

由于S,N,E三點(diǎn)共面，Bi∈平面BINE,Al陣平面BINE,故A∣B∣,NE為異面直線，故B

錯(cuò)誤；

;在平行四邊形44∣Bι8中，AM=2MAi,

BN=2NB?,

C.AM∕∕BN,AM=BN,

故四邊形AMNB為平行四邊形，

:,MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面ABC,

,MN〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

C.MN∕∕EF,.?EF∕∕AB,

顯然在AABC中，EF≠AB,

.?EF≠M(fèi)N,

四邊形MNE尸為梯形，故C錯(cuò)誤，D正確.

4.（2022?杭州模擬）已知P為aABC所在平面外一點(diǎn)，平面α〃平面ABC,且α交線段出，

PB,PC于點(diǎn)A',B',C',若以'：44'=2：3,則SUFC：SAABC等于（）

P

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析平面α〃平面ABC,

：.A'C'//AC,A'B'//AB,B'C'/∕BC,

2

.".S&AB'c?S^ABC=（PA'：PA）,

又附'：AA'=2：3,

：.PA'：PA=2：5,

?,?5ΔA,BC:SAABC=4:25.

5.如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則

在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

答案D

解析A項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB〃NQ,NQU平面MNQ,ABa平面MNQ,AB〃平面MNQ,

排除；

B,C項(xiàng)，由正方體性質(zhì)可知AB〃MQ,MQU平面MN。，AM平面MN。，4B〃平面MNQ,

排除；

D項(xiàng)，由正方體性質(zhì)易知，直線AB與平面MNQ不平行，滿足題意.

6.如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器A8CABGA內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊48于

地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

①?zèng)]有水的部分始終呈棱柱形；

②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

③隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行;

④當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí)，AE?A”為定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根據(jù)棱柱的特征（有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的

公共邊都互相平行），結(jié)合題中圖形易知①正確；由題圖可知水面EFG”的邊E尸的長(zhǎng)保持不

變，但鄰邊的長(zhǎng)卻隨傾斜程度而改變，可知②錯(cuò)誤；因?yàn)锳lci〃AC,ACU平面ABeQ,AlCi

C平面ABe。，所以ACl〃平面ABa）,當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABC。時(shí)，AlG不平行

于水面所在平面，故③錯(cuò)誤；當(dāng)容器傾斜如題圖（3）所示時(shí)，因?yàn)樗捏w積是不變的，所以棱

柱AEH-BFG的體積V為定值，又V=SAAE"?AB,高AB不變，所以SAAE”也不變，即AEAH

為定值，故④正確.

ZnUal//m

7.考查①②兩個(gè)命題，①l//m'=l∕/a；②m//a,=^l∕∕a,它們都缺少同一個(gè)條件,

補(bǔ)上這個(gè)條件就可以使其構(gòu)成真命題（其中/,〃，為直線，α為平面），則此條件為

答案IQa

解析①由線面平行的判定定理知/Qα;②由線面平行的判定定理知/Gt.

8.如圖所示，在正四棱柱ABC。一AB∣CQ∣中，E,F,G,H分別是棱CC∣,CbD∣,DQ,

OC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),則M只需滿足條件

就有MN〃平面Bl8。。.（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）

答案點(diǎn)M在線段FH上（或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合）

解析連接HN,FH,FM圖略），

則尸“〃力。1,HN//BD,

.,-平面FHN//平面B?BDD?,只需MGFH,

則MNU平面FHN,：.MN//平面B↑BDD↑.

9.如圖，在正方體ABeO-ABlClA中，E,F,G,H分別是BC,CCl,C↑D?,ΛΛ的中點(diǎn),

求證:

⑴BF〃HDi;

(2)EG〃平面BBQQ;

⑶平面BO/〃平面BlDIH.

證明如圖.

(1)取B山的中點(diǎn)M,

連接”M,MC1,易證四邊形HMCIol是平行四邊形,

J.HD↑∕∕MC?.

又MC?∕∕BF,

：.BF//HD\.

⑵取8。的中點(diǎn)。，連接0E,ODI,

貝UOE嗡DC.

又DlG酷DC,

：.OEDiG.

四邊形OEGDl是平行四邊形，

J.EG∕∕D?0.

又U平面BBiDiD,EGl平面BBQiD,

,EG〃平面BB?D?D.

(3)由(1)知8尸〃，功，由題意易證801〃BD

又BQ,HDlU平面BIA”，BF,B。U平面80尸，且BIDlrIHDl=Dι,DBQBF=B,

平面BZ)B〃平面BιD↑H.

10.如圖，在四棱錐「一ABC。中，AD∕∕BC,AB=BC=WAD,E,F,”分別為線段AO,PC,

Cz)的中點(diǎn)，AC與BE交于。點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).

⑴求證：AP〃平面BEF；

⑵求證：GH〃平面以D

證明(1)如圖，連接EC,

因?yàn)锳O〃8C,BC=^AD,

所以BC〃AE,BC=AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形,

所以。為AC的中點(diǎn).

又因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，

所以FO//AP,

因?yàn)镕OU平面BEF,

AR平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

（2）連接尸H,0H,因?yàn)槭?，H分別是PC,CO的中點(diǎn),

所以FH//PD,

因?yàn)镻Z）U平面以￡）,FHq平面f?O,

所以尸”〃平面PAD.

又因?yàn)?。是BE的中點(diǎn)，”是Cr）的中點(diǎn)，

所以0H〃AD,

因?yàn)锳OU平面PAD,。用平面PAD,

所以O(shè)H〃平面PAD.

又FHCOH=H,FH,OHU平面OHF,

所以平面OHF〃平面PAD.

又因?yàn)镚HU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

11.（2022?福州檢測(cè)）如圖所示，正方體ABC。-AIBlCIA中,點(diǎn)E,F,G,P,。分別為棱

AB,C∣D∣,D∣Al,DDCIC的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）

A.直線BQ〃平面EFG

B.直線48〃平面EFG

C.平面ApC〃平面EFG

D.平面Al8?！ㄆ矫鍱FG

答案B

解析過點(diǎn)、E,F,G的截面如圖所示（H,/分別為AΛ,Be的中點(diǎn)），連接48,BQ,AP,

PC,易知BQ與平面E尸G相交于點(diǎn)Q,故A錯(cuò)誤；

'CA?B∕∕HE,AIBa平面EFG,"EU平面EFG,

.?.A∣B〃平面EFG,故B正確；

APU平面ACQιA∣,"GU平面AOf>∣A∣,延長(zhǎng)，G與以必相交，故C錯(cuò)誤；

易知平面48。與平面EFG有交點(diǎn)。，故D錯(cuò)誤.

12.如圖所示，正方體A8CO-AB∣C∣。的棱長(zhǎng)為3,M,N分別是棱A/”5G的中點(diǎn)，P

是棱AD上的一點(diǎn),AP=1,過P,M,N的平面交上底面于PQ,。在Cn上，則PQ=.

答案2市

解析因?yàn)槠矫鍭BCO〃平面48C1A,平面ABCDC平面PQMW=P。，

平面A∣B∣CjDι∩平面PQNM=MN,

所以MN//PQ,

又因?yàn)镸N〃AC,所以PQ〃AC.

又因?yàn)锳P=I,

所以出=毀=改=2

m^ADCDAC3'

29

所以PQ=FC=WX3啦=2啦.

13.在正四棱柱ABCn-AIBlGOl中，。為底面A8C。的中心，尸是。9的中點(diǎn)，設(shè)Q是

CG上的點(diǎn)，則點(diǎn)。滿足條件時(shí)，有平面。山Q〃平面以。

答案。為CG的中點(diǎn)

解析如圖所示，設(shè)Q為CG的中點(diǎn)，

因?yàn)镻為On的中點(diǎn)，

所以QB〃/?.連接08,

因?yàn)镻,。分別是。Oi,力8的中點(diǎn)，所以D山〃P0,

又Z)IBG平面∕?0,QBa平面fi40,PoU平面∕?0,∕?U平面以0,

所以。山〃平面∕?0,QB〃平面物0,

又OlBnQB=B,DιB,QBU平面。∣BQ,

所以平面ABQ〃平面PAO.

故。為CG的中點(diǎn)時(shí)，有平面GBQ〃平面南0.

14.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—ABiCiA中，AD=DDi=I,AB=小,E,F,G分別是AB,BC,

GoJ的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCz)內(nèi)，若直線OIp〃平面EFG,則線段Q尸長(zhǎng)度的最小值是

答案γ

解析如圖，連接AA,AC,DiC.

因?yàn)镋,F,G分別為A3,BC,CQl的中點(diǎn),

所以AC〃E尸，

又ERJ平面ACD1,ACU平面AcD1,

則EF〃平面ACA.

同理可得EG〃平面ACQ1,又EFCEG=E,

EF,EGU平面EFG,

所