江蘇省百校大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊期末檢測模擬試題含解析

江蘇省百校大聯(lián)考2024屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線2x+6y—1=0的方向向量為。

A.(3,l)B.(l,-3)

C.(l,3)D.(3,-l)

2.若拋物線W=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2石，則點(diǎn)尸到拋物線的焦點(diǎn)尸的距離為()

A.4B.5

C.6D.7

3.已知拋物線E：/=4x,焦點(diǎn)為若過尸的直線/交拋物線于A、3兩點(diǎn)，A、3到拋物線準(zhǔn)線的距離分別

為3、7,則AB長為

A.3B.4

C.7D.10

4.下列雙曲線中,以(2,0)為一個(gè)焦點(diǎn)，以(1,0)為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線方程是()

A爐21

A.-----y=1

4

2

C.x-i=lD./_J=]

3

5.若+展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()

A.6B.12

C.20D.32

6.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S〃，S?=2a?+l(2>l),%=-2,貝|九=()

A.-2047B.-1023

C.1025D.2049

7.已知x是［0,3］上的一個(gè)隨機(jī)的實(shí)數(shù)，則使x滿足九2—440的概率為（）

8.已知圓C:（九一2）2+/=2,P為圓。外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓。的兩條切線24、PB,使得其

中A、B為切點(diǎn).在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段叢所掃過圖形的面積為（）

A.屈兀B.兀

C.26D.2乃

22

9.方程上—+上_=1表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則兀的取值范圍是（）

4-kk-1

A.l<k<—B.lv左<4

2

C.左<1或左>4D.-<^<4

2

10.過點(diǎn)A(3,3)且垂直于直線4x+2y—7=0的直線方程為

A?y=；%+2B.y=-2%+7

1513

C.V——XHD.V——XH

2222

11.設(shè)函數(shù)/(九)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)丁==/'（X）的圖象可能為（）

+4

4_」/%/>-

x

12.已知直線/：1-6丁+6=0與圓/+；/=12交于4,3兩點(diǎn)，過A,3分別作/的垂線與x軸交于C,￡＞兩點(diǎn)，則

13=

A.2B.3

7

C.-D.4

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)aeR,若直線龍—◎=2—2。與直線or—y=。-1平行，則。的值是

27r

14.若直線依+2y+l=0與直線xcos3+y—l=0互相垂直，則。=.

15.函數(shù)尸在x=l處有極值10,貝!Ia=.

16.已知球。的半徑為4,圓”與圓N為該球的兩個(gè)小圓，A3為圓〃與圓N的公共弦，AB=4,若OM=ON=3,

則兩圓圓心的距離MN=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知點(diǎn)直線/：4x-3y=0,直線機(jī)過點(diǎn)N且與/垂直，直線機(jī)交圓Y+/=4于兩點(diǎn)4

B.

(1)求直線機(jī)的方程;

(2)求弦A3的長.

18.(12分)已知三棱柱ABC—A與G的側(cè)棱垂直于底面，ZBAC=9Q°,AB=AAi=2,AC=1,M,N分別

是4月，BC的中點(diǎn).

B

(I)證明：MN//平面ACCA；

(II)求二面角V—AN—3的余弦值.

19.(12分)如圖1,已知正方形ABC。的邊長為4，E,尸分別為的中點(diǎn)，將正方形ABC。沿所折成如圖

2所示的二面角，點(diǎn)M在線段AB上(含端點(diǎn))運(yùn)動(dòng)，連接A。

(1)若加為A3的中點(diǎn)，直線與平面ADE交于點(diǎn)。，確定。點(diǎn)位置，求線段0A的長；

(2)若折成二面角大小為45。，是否存在點(diǎn)M,使得直線OE與平面EMC所成的角為45。，若存在，確定出點(diǎn)加

的位置；若不存在，請說明理由

20.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA±^ABCD,AD//BC,ADYCD,ABLAC,CD=2AD=2

(1)證明：PB±AC；

4

(2)當(dāng)尸3的長為何值時(shí)，直線45與平面PC。所成角的正弦值為二？

21.(12分)已知圓Q:(x+2)2+V=64,P(2,0),M點(diǎn)是圓。上任意一點(diǎn)，線段尸M的垂直平分線交半徑

于點(diǎn)C,當(dāng)“點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為曲線C

(1)求曲線C方程;

(2)已知直線/：x=8,48是曲線C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，AA.ll,垂足為A1，垂足為⑸，若。

(3,0),且△44。的面積是△48。面積的5倍，求△A5O面積的最大值

22.(10分)已知圓—2)?+;/=4,點(diǎn)P(—1J)(“R).

(1)若，=1,半徑為1的圓N過點(diǎn)P,且與圓加相外切，求圓N的方程;

3

(2)若過點(diǎn)P的兩條直線被圓加截得的弦長均為2/，且與y軸分別交于點(diǎn)S、T,|ST|=z，求九

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】根據(jù)直線方程，求得斜率上分析即可得直線的方向向量.

【詳解】直線2x+6y-1=0變形可得y=-L+L

36

所以直線的斜率上=-g,

所以向量［為直線的一個(gè)方向向量，

因?yàn)?11,一￡|=(3,-1),

所以向量(3,-1)為直線的方向向量，

故選：D

2、A

【解析】根據(jù)拋物線V=4x上一點(diǎn)尸到x軸的距離為2百，得到點(diǎn)P(3,±2百)，然后利用拋物線的定義求解.

【詳解】由題意，知拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為丫=-1,

:'拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到x軸的距離為2有，

則P(3,±2百)，

?:點(diǎn)尸到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3+1=4,

.：點(diǎn)尸到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為4.

故選：A.

3、D

【解析】利用拋物線的定義，把的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解

【詳解】解：拋物線E：y2=4x,焦點(diǎn)為尸(1,0),

過R的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn),A、3到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7,

則由拋物線的定義得知=3+7=10

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

4、C

【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得〃涉，即可選擇.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0),故可設(shè)雙曲線方程為__y=1,

ab

且a?+/=4；

又(1,0)為一個(gè)頂點(diǎn)，故可得。二1,解得〃=3,

2

則雙曲線方程為：X2-^=1.

3

故選：C.

5、C

【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得〃的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得結(jié)果即可.

【詳解】解：因?yàn)椴?口展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"=64,則〃=6,

所以&=墨.尸?用=C"",

令6—2丁=0,求得r=3,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為c：=20.

故選：C.

6、B

SSTI>2

【解析】根據(jù)題意得2=2,進(jìn)而根據(jù)4="—得數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為q=-1,再

根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"滿足S"=2?“+1(X>1),%=-2

所以當(dāng)〃=1時(shí)，$=%%+1=。1，解得

當(dāng)〃=2時(shí)，S?=2a2+1=%+a2=------Fw，即一2/1+1=---------2

1—A1—X

所以2彳2一54+2=0,解得2=（或2=2,

因?yàn)?>1,所以2=2.

所以S“=2a“+1,%=-1,

所以當(dāng)時(shí)，S〃-i=2a,i+1,

所以=2a”-2an_],即an=2an_x

所以數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為4=-1,

所以飛=（；；）=1-210=-1023

故選：B

7、B

【解析】先解不等式得到x的范圍，再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.

【詳解】由廣一440得—2WxW2,即xe[0,2],

2-02

所以使x滿足爐一440的概率為尸=——=-

3-03

故選：B.

8、D

【解析】連接PC、AC,BC,分析可知四邊形K4cB為正方形，求出點(diǎn)P的軌跡方程，分析可知線段所掃過

圖形為是夾在圓（x—2『+丁=4和圓（1-2）2+V=2的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】連接PC、AC.BC,由圓的幾何性質(zhì)可知ACLB4,BCLPB,

又因?yàn)樗?工？8且|4。|=忸。],故四邊形K4cB為正方形,

圓心C（—2,0）,半徑為0,貝！|歸。|=夜|4。|,故點(diǎn)P的軌跡方程為（x—2『+y2=4,

所以，線段Q4掃過的圖形是夾在圓（x—2）2+V=4和圓（%—2『+/=2的圓環(huán)，

故在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段叢所掃過圖形的面積為4萬-%乂（夜）2=2萬.

故選：D.

9、D

【解析】根據(jù)曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得出答案.

22

【詳解】因?yàn)榉匠潭?二二=1表示的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，

4-kk-1

所以左一1＞4—左＞0,解得」＜人＜4.

2

故選：D.

10、D

【解析】過點(diǎn)4（3,3）且垂直于直線4x+2y—7=0的直線斜率為1;，代入過的點(diǎn)得到丁=1—九+3

222

故答案為D.

11、D

【解析】根據(jù)/（%）的圖象可得了（力的單調(diào)性，從而得到了'（X）在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷了'（%）的

圖象.

【詳解】由/（%）的圖象可知，/（%）在（—8,0）上為增函數(shù)，

且在（0,+8）上存在正數(shù)m,n,使得“X）在（0,4w）上為增函數(shù)，

在（加,〃）為減函數(shù)，

故/'（X）在（0,+8）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，/'（尤）有變化，

故排除A,B.

由/（%）在（-8,0）上為增函數(shù)可得f（x）之0在（TQ,0）上恒成立，故排除C.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況，本題屬于基

礎(chǔ)題.

12、D

【解析】由題意，圓心到直線的距離d=f==3,A|AB|=2A/12-9=273,.直線/:x—百y+6=0.?.直線/的

vl+3

傾斜角為3。。，：過4,3分別作/的垂線與％軸交于。,。兩點(diǎn)，.?」81=罄=4,故選口.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】先通過討論。分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.

【詳解】由已知可得，當(dāng)。=0時(shí)，兩直線分別為x=2和y=l,此時(shí)，兩直線不平行；

1—a2a—2

當(dāng)awO時(shí)，要使得兩直線平行，即一=-,解得，=-l.

a—11—aa

故答案為：-1

14、4

【解析】由直線垂直的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意得4?cos也=-1,解得〃=4.

23

故答案為：4

15、4

【解析】V/=(ix+2ax+b,

1+a+b+a2=10[a=-3[〃=4

/.5=《或《

L3+2a+b=0'b=3Ib=-ll

當(dāng)a=-3,6=3時(shí)，y'=3*—6x+3=3(x—l)?》。恒成立，故舍去.所以a=4

16、3

【解析】欲求兩圓圓心的距離，將它放在與球心組成的三角形MNO中，只要求出球心角即可，通過球的性質(zhì)構(gòu)成的

直角三角形即可解得

【詳解】YON=3,球半徑為4,

小圓N的半徑為J7，

?.?小圓N中弦長AB=4,作NE垂直于AB,

:.NE=6,同理可得ME=6,在直角三角形ONE中，

“：NE=6,ON=3,

71

：.NEON=-,

6

n

：.ZMON=-,

3

：.MN=3

故答案為：3.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17>（1）3%+4y—5=0

⑵2月

【解析】（1）求出斜率，用點(diǎn)斜式求直線方程；

（2）利用垂徑定理求弦長.

【小問1詳解】

4

因?yàn)橹本€/：4x-3y=0,所以直線/的斜率為左=—.

3

3

因?yàn)橹本€，〃過點(diǎn)N且與/垂直，所以直線%的斜率為左'=-一，

4

又過點(diǎn)“。，口，所以直線機(jī)：y=--x+-,即3x+4y—5=0

I4J44

【小問2詳解】

直線加與圓相交，則圓心到直線機(jī)的距離為：1=因=1,

5

圓的半徑為廠=2,所以弦長|4用=2一廠2—Q2=2"萬=26

18、（1）見解析；（2）國.

21

【解析】分析：依題意可知A3,AC,AA兩兩垂直，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-移z,

（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；

（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用兩個(gè)向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.

詳解：依條件可知A3、AC.A4兩兩垂直，

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

根據(jù)條件容易求出如下各點(diǎn)坐標(biāo)：

A（0,0,0）,5（0,2,0）,C（-l,0,0）,A（0,0,2）,與（0,2,2）,Q（-1,0,2）,M（0,l,2）,

（I）證明：=2）,AB=（0,2,0）,

是平面ACGA的一個(gè)法向量，且跖V?AB=—：x0+0x2—2x0=0,

所以MN1AB.

又???ACVZ平面ACGA，:.MN//平面ACGA；

（II）設(shè)。=（x,y,z）是平面AAW的法向量，

因?yàn)锳M=（0,1,2）,AN=1—

八f0+y+2z=0

,AMn=Q/口

由《，得＜1??

AN?n=b-—x+y=0

解得平面AAW的一個(gè)法向量〃=（4,2,—1）,

由已知，平面ABC的一個(gè)法向量為加=（0,0,1），

/、m-n-1V21

8sgM=麗=瓦/一行’

二面角M-AN-B的余弦值是".

21

點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；

解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時(shí)

對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解?

19、(1)。是石4的延長線與月0延長線的交點(diǎn)，且。4=2

(2)存在使得直線OE與平面EMC所成的角為45。，且AM=2近-瓜

【解析】(1)通過延長￡4、WW以及全等三角形確定。點(diǎn)的位置并求得線段0A的長.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷符合題意的M點(diǎn)是否存在.

【小問1詳解】

延長￡4,連接同〃并延長，交石4的延長線于。，

由于NOAM=ZFBM,ZAMO=ZBMF,AMBM,

所以O(shè)AM=FBM,所以O(shè)A=5歹=2.

所以。是石4的延長線與府延長線的交點(diǎn)，且。A=2.

【小問2詳解】

由于EF工DE,EF工AE,DEcAE=E,

所以平面ADE,NDEA=45。,

由于印u平面人母石，所以平面ABEEL平面ADE.

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

D(V2,0,V2),C(V2,4,V2),

設(shè)M(21,0),0<r<4,

設(shè)平面EMC的法向量為n=(x,y,z),

貝Un-EC=y/2x+4y+y[2z=0

n?EM=2%+(y=0

故可設(shè)72=—,2/—40）,

由于直線OE與平面創(chuàng)紇所成的角為45°,

ri-ED_yf2t+-8

所以sin450=

J/2+4+卜_

整理得產(chǎn)-4M+2=0,

解得"20-6或/=2四+n〉4（舍去）

存在M,使得直線。石與平面EMC所成的角為45。，旦AM=2向瓜.

20、（1）證明見解析

⑵PB=2指

【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明AC，平面板8再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明依，AC；

（2）以A為原點(diǎn)，A5,AC,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—孫z,設(shè)P（0,0/）,求出平面PC。

4

的法向量加的坐標(biāo)，根據(jù)直線A5與平面PC。所成角的正弦值為彳，利用向量法可求得產(chǎn)=4,從而可求解尸5的長.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)椤?,底面A3C。，又ACu平面A3C。，

所以又ABLAC,ABr^PA=A,AB,上4u平面四3,

所以AC,平面又PBu平面

所以。5,AC；

小問2詳解】

解：因?yàn)榈酌鍭BC。，ABLAC,

所以以A為原點(diǎn)，AB,AC,AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

因?yàn)锳D〃3C,AD±CD,ABLAC,

所以Rt.ABCsRtOCA,則AC=6,AB=245,

所以A（0,0,0）,B（2有,0,0）,C（0,A/5,0）,D—當(dāng)，與g,

I55J

設(shè)P（0,0/）,則。C=平,￥，o],A5=（2A/5,0,0）,

I35J

PC=（0,45,-t）,設(shè)平面PCD的法向量為m=（x,y,z）,

’八八2車,4小「二

m-DC=----xd-----y=0J5

則55',令x=2,則y=—1,z=*,

m-PC=>/5y-tz=0

r0

所以機(jī)=2,-1,-^,

4nlm,A84

cos<m,AB>=

所以5,解得產(chǎn)=4,則尸82+4=2遍,

所以當(dāng)P3=2指時(shí)，直線A3與平面PCZ＞所成角正弦值為:

22

21、（1）土+匕=1

1612

⑵3

2

【解析】（1）由定義法求出曲線C的方程;

(2)先判斷出直線AB過定點(diǎn)印2,0)或a(4,0).當(dāng)A3過定點(diǎn)"(4,0),求出S3。=gxlx2=1最大；當(dāng)”(2,0)時(shí)，可

設(shè)直線A"x=/ny+2.用“設(shè)而不求法”表示出|力一力|=,不妨設(shè).=m2+4>4),利用函數(shù)的

I'(/

單調(diào)性求出△A5O面積的最大值.

【小問1詳解】

因?yàn)榫€段PM的垂直平分線交半徑MQ于點(diǎn)C,所以MG=|PC|,

所以|QC|+|尸C|=|ec|+|GW|=8>|Pg|=4,符合橢圓的定義,

所以點(diǎn)C的軌跡為以產(chǎn)、。為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a=8,2c=4,所以

b2=a2—c2=12f

22

所以曲線C的方程為工+匕=1.

1612

【小問2詳解】

不妨設(shè)直線/：x=8交x軸于G(8,0),直線A5交x軸于H(/z,0),則S,m。=^|。6卜0-%J，SAB

D=^\DH\-\yA-yB\.

因?yàn)?，叫?,即，/,所以|%-力|=人一丁"

又因?yàn)椤?片。的面積是△ABO面積的5倍，所以口G|=5］?；?

因?yàn)镚(8,0),D(3,0),所以|DW|=1,所以"(2,0)或44,0).

當(dāng)H(4,0)時(shí)，則H與A(或H與5)重合，不妨設(shè)H與A重合，此時(shí)，SABD=^\<\yA-y^\,

要使△430面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時(shí)，|%|=2最大，所以=gxlx2=l最大；

當(dāng)77(2,0)時(shí)，要想構(gòu)成三角形A3Z>,直線A3的斜率不為0,可設(shè)直線A&X=my+2.

x=my+2

設(shè)程％)，則,V,2,消去*可得：(3m2+4)y2+6my-36=0,

---卜=1

11612

所以八=36（13加2+16）＞0,%+%=——36

%%=-

'73m+43m2+4

所以1%fI=瓦-W=J（…j%=螳拼4x（一^^=6晨+4）

64，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,