數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)列根底知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及訓(xùn)練——主講人：品學(xué)學(xué)校刁老師A、1．概念與公式：①等差數(shù)列：1°.定義：假設(shè)數(shù)列稱等差數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：公式：②等比數(shù)列：1°.定義假設(shè)數(shù)列〔常數(shù)〕，那么稱等比數(shù)列；2°.通項(xiàng)公式：3°.前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)2．簡(jiǎn)單性質(zhì)：①首尾項(xiàng)性質(zhì)：設(shè)數(shù)列1°.假設(shè)是等差數(shù)列，那么2°.假設(shè)是等比數(shù)列，那么②中項(xiàng)及性質(zhì)：1°.設(shè)a，A，b成等差數(shù)列，那么A稱a、b的等差中項(xiàng)，且2°.設(shè)a,G,b成等比數(shù)列，那么G稱a、b的等比中項(xiàng)，且③設(shè)p、q、r、s為正整數(shù)，且1°.假設(shè)是等差數(shù)列，那么2°.假設(shè)是等比數(shù)列，那么④順次n項(xiàng)和性質(zhì)：1°.假設(shè)是公差為d的等差數(shù)列，組成公差為n2d的等差數(shù)列；2°.假設(shè)是公差為q的等比數(shù)列，組成公差為qn的等比數(shù)列.〔注意：當(dāng)q=－1，n為偶數(shù)時(shí)這個(gè)結(jié)論不成立〕⑤假設(shè)是等比數(shù)列，那么順次n項(xiàng)的乘積：組成公比這的等比數(shù)列.⑥假設(shè)是公差為d的等差數(shù)列,1°.假設(shè)n為奇數(shù)，那么而S奇、S偶指所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)的和〕；2°.假設(shè)n為偶數(shù)，那么〔二〕學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．學(xué)習(xí)等差、等比數(shù)列，首先要正確理解與運(yùn)用根本公式，注意①公差d≠0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是項(xiàng)n的一次函數(shù)an=an+b;②公差d≠0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)數(shù)n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式可以寫成“Sn=a(1-qn)的形式；諸如上述這些理解對(duì)學(xué)習(xí)是很有幫助的.2．解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題要靈活運(yùn)用一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，但所用的性質(zhì)必須簡(jiǎn)單、明確，絕對(duì)不能用課外的需要證明的性質(zhì)解題.3．巧設(shè)“公差、公比”是解決問(wèn)題的一種重要方法，例如：①三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,a+m,a+2m〔或a-m,a,a+m〕”②三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)三數(shù)為“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“”④四數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)四數(shù)為“”等等；類似的經(jīng)驗(yàn)還很多，應(yīng)在學(xué)習(xí)中總結(jié)經(jīng)驗(yàn).[例1]解答下述問(wèn)題：〔Ⅰ〕成等差數(shù)列，求證：〔1〕成等差數(shù)列；〔2〕成等比數(shù)列.[解析]該問(wèn)題應(yīng)該選擇“中項(xiàng)”的知識(shí)解決，①②①②[評(píng)析]判斷〔或證明〕一個(gè)數(shù)列成等差、等比數(shù)列主要方法有：根據(jù)“中項(xiàng)”性質(zhì)、根據(jù)“定義”判斷，.①②①②〔Ⅱ〕等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，且所有奇數(shù)項(xiàng)的乘積為1024，所有偶數(shù)項(xiàng)的乘積為，求項(xiàng)數(shù)n.[解析]設(shè)公比為〔Ⅲ〕等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，在此數(shù)列中依次取出局部項(xiàng)組成的數(shù)列：求數(shù)列[解析]①，②①②①，②①②[評(píng)析]例2是一組等差、等比數(shù)列的根本問(wèn)題，熟練運(yùn)用概念、公式及性質(zhì)是解決問(wèn)題的根本功.[例3]解答下述問(wèn)題：〔Ⅰ〕三數(shù)成等比數(shù)列，假設(shè)將第三項(xiàng)減去32，那么成等差數(shù)列；再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，又成等比數(shù)列，求原來(lái)的三數(shù).[解析]設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)，要比設(shè)等比數(shù)列的三項(xiàng)更簡(jiǎn)單，設(shè)等差數(shù)列的三項(xiàng)分別為a－d,a,a+d，那么有〔Ⅱ〕有四個(gè)正整數(shù)成等差數(shù)列，公差為10，這四個(gè)數(shù)的平方和等于一個(gè)偶數(shù)的平方，求此四數(shù).[解析]設(shè)此四數(shù)為,解得所求四數(shù)為47，57，67，77[評(píng)析]巧設(shè)公差、公比是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的重要方法，特別是求假設(shè)干個(gè)數(shù)成等差、等比數(shù)列的問(wèn)題中是主要方法.B、由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法一、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的方法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列中,解：依題意有逐項(xiàng)累加有，從而。注：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).變式練習(xí)：滿足,,求的通項(xiàng)公式。二、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的方法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2.數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，將這個(gè)式子累乘，得到，從而，當(dāng)時(shí)，，所以。注：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).變式練習(xí)：在數(shù)列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數(shù)列此類數(shù)列解決的方法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的方法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比擬系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用作差法直接構(gòu)造，,，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有比照，得，于是得，即所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列那么。解法2：由遞推式，得，上述兩式相減，得，即因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。變式練習(xí)：數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用根本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四、型數(shù)列〔p為常數(shù)〕此類數(shù)列可變形為，那么可用累加法求出，由此求得.例4數(shù)列滿足,求.解:將遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過(guò)變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為根本數(shù)列的問(wèn)題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.假設(shè)為的一次函數(shù),那么加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列;假設(shè)為的二次函數(shù),那么加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來(lái)求解.例5．?dāng)?shù)列滿足解:作,那么,代入遞推式中得:.令這時(shí)且顯然,,所以.注：通過(guò)引入一些待定系數(shù)來(lái)轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過(guò)變形和比擬,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成根本數(shù)列,從而使問(wèn)題得以解決.變式練習(xí)：〔1〕滿足，求?！?〕數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，假設(shè)滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。提示：〔2〕中利用，把條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列〔為非零常數(shù)〕這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便可順利地轉(zhuǎn)化為型數(shù)列。例6．?dāng)?shù)列滿足,求.解:兩邊取倒數(shù)得:,所以，故有。變式練習(xí)：數(shù)列中，，求的通項(xiàng)。六、型數(shù)列〔為常數(shù)〕這種類型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列。例7．?dāng)?shù)列中，且，求.C、求數(shù)列前項(xiàng)和公式法:利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法。(1)等差：;等比：;(2);例1.求和()分組法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和錯(cuò)位相減法：〔考試重點(diǎn)〕主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}、{bn}分別是等差和等比.求和時(shí)一般在和式的兩邊都乘以等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的式子和原式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。考前須知：1.公比是未知數(shù)要討論當(dāng)公比x=1時(shí)的