2024春八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明4角平分線素養(yǎng)集訓(xùn)應(yīng)用角平分線的輔助線作法作業(yè)課件新版北師大版

第一章三角形的證明4角平分線素養(yǎng)集訓(xùn)應(yīng)用角平分線的輔助線作法?

作一邊的垂線段法構(gòu)造對稱圖形1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求證：12345678（1）AM⊥DM.證明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM.∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°.∴∠MAD＋∠ADM＝90°.∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.12345678（2）M為BC的中點.證明：（2）如圖，過點M作MN⊥AD于點N.1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求證：12345678∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM.∴BM＝CM，即M為BC的中點.12345678?

作兩邊的垂線段法構(gòu)造對稱圖形2.如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求證：∠C＋∠BAD＝180°.12345678證明：如圖，過點D作DE⊥AB交BA的延長線于點E，作DF⊥BC于點F.

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補形法構(gòu)造對稱圖形

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延長、截取法構(gòu)造全等圖形4.在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F.

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12345678（2）已知∠A＝60°.①如圖①，若BD＝4，BC＝6.5，求CE的長；4.在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F.12345678（2）解：①如圖，在BC上取一點G，使BG＝BD，連接FG.

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12345678（2）已知∠A＝60°.②如圖②，若BF＝AC，求∠AEB的度數(shù).4.在△ABC中，BE，CD為△ABC的角平分線，BE，CD交于點F.12345678

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翻折法構(gòu)造對稱圖形5.如圖，△ABC中，∠ACB＝135°，CD⊥AB，垂足為D，若AD＝6，CD＝4，求BD的長.12345678解：把△ACD，△BCD分別關(guān)于AC，BC翻折得到△ACE，△BCF，延長AE，BF交于點G，如圖.則BD＝BF，AE＝AD＝6，CE＝CD＝CF＝4，∠AEC＝∠ADC，∠BFC＝∠BDC，∠ACE＝∠ACD，∠BCF＝∠BCD.∵CD⊥AB，12345678∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEC＝∠BFC＝90°.又∵∠ACB＝135°，即∠ACD＋∠BCD＝135°，∴∠ACE＋∠BCF＝135°，∴∠ECF＝360°－135°－135°＝90°.易知∠EGF＝90°，GE＝EC＝CF＝GF＝4.設(shè)BD＝BF＝x，在Rt△GAB中，BG2＋AG2＝AB2，即（4＋x）2＋（4＋6）2＝（6＋x）2，解得x＝20.∴BD＝20.12345678?

作角相等構(gòu)造全等圖形

解：如圖，以AC為邊，點C為頂點作∠ACD＝∠ACB，延長BA與CD交于點D，則∠BCD＝2∠ACB，12345678

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應(yīng)用“角平分線＋垂線”構(gòu)造全等圖形7.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的平分線，點F為AE上一點，連接BF，∠BFE＝45°.（1）求證：BF平分∠ABE.12345678證明：（1）

∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAD＝2∠BAF.∵∠BFE＝45°，∴∠FBA＋∠BAF＝45°.∴2∠FBA＋2∠BAF＝90°.∵AD為BC邊上的高，∴∠ADB＝90°.∴∠EBF＋∠FBA＋2∠BAF＝90°.∴∠EBF＝∠FBA.∴BF平分∠ABE.12345678（2）連接CF，若S△ABF＝S△CBF，求證：∠AFC＝90°.7.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高，AE是∠BAD的平分線，點F為AE上一點，連接BF，∠BFE＝45°.12345678證明：（2）如圖，過點F作FM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥AB于點N，∵BF平分∠ABE，且FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，∴FM＝FN.又∵S△ABF＝S△CBF，∴AB＝BC.12345678

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應(yīng)用“角平分線＋平行線”構(gòu)造等腰三角形8.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于點D，AB＝5，BC＝7，AC＝3.（1）求△AEF的周長.12345678解：（1）如圖，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，∴∠1＝∠2，∠4＝∠5，∵EF∥BC，∴∠3＝∠2＝∠1，∠6＝∠4＝∠5，∴BE＝EO，F(xiàn)O＝CF.∴△AEF的周長為AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋（EO＋FO）＝AE＋AF＋（BE＋FC）＝AB＋AC＝5＋3＝8，即△AEF的周長為8.12345678（2）若DO＝a，試求△ABC的面積.（用含a的式子表示）8.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠A