2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第24講兩角和與差的正弦余弦正切公式及二倍角公式（達(dá)標(biāo)檢測）

第24講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（達(dá)標(biāo)檢測）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會1．（2020春?梅州期末）cos75°＝（）A．6-22 B．6+22 C【分析】將75°看成30°與45°的和，然后利用兩角和的余弦公式求解．【解答】解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°=3=6故選：C．2．（2020春?成都期末）已知sinα=1010，則cos2A．45 B．-45 C．310【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解．【解答】解：∵sinα=10∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（1010）2=故選：A．3．（2020春?遼寧期末）已知sinα=14，sin2α＜0，則tanA．15 B．1515 C．-15 D【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα的值，進(jìn)而即可求解tanα的值．【解答】解：∵sinα=14＞0，sin2α＝2sinαcosα∴cosα＜0，可得cosα=-1-∴tanα=sinα故選：D．4．（2020春?瀘州期末）已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩實根，則tan（α+β）＝（）A．13 B．-12 C．12【分析】直接利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用和和角公式的運用求出結(jié)果．【解答】解：tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的兩實根，則：tanα+tanβ＝﹣2，tanα?tanβ＝﹣5，故tan(故選：D．5．（2020春?內(nèi)江期末）設(shè)a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°，b＝2sin29°cos29°，c＝cos30°，則有（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c【分析】利用兩角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小即可．【解答】解：a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin（18°+44°）＝sin62°，b＝2sin29°cos29°＝sin58°，c＝cos30°＝sin60°，∵y＝sinx在[45°，90°]上為增函數(shù)，∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a＞c＞b，故選：B．6．（2020春?沈陽期末）已知sin（α-π6）=23，則sin（A．459 B．-459 C．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知可得cos（2π3-α【解答】解：∵sin（α-π6）＝cos[π2-（α-π6）]＝cos∴sin（2α-5π6）＝cos[π2-（2α-5π6）]＝cos（4π3-2α）＝2cos2（2π3故選：D．7．（2020春?聊城期末）已知α為第二象限角，sinα+cosα=1A．-247 B．247 C．2425【分析】將已知等式平方可得2cosαsinα的值，從而可求得cosα﹣sinα，結(jié)合已知條件求得cosα，sinα的值，求得tanα的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式可求tan2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα∴平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=1可得：1+2sinαcosα=1可得2cosαsinα=-24從而cosα﹣sinα=-(cosα∴①②聯(lián)立解得：cosα=-35，sinα=45，可得∴tan2α=2故選：B．8．（2019秋?遼源期末）已知tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，則tan2a的值為（）A．-47 B．47 C．18【分析】由關(guān)系式2α＝（α+β）+（α﹣β）及兩角和的正切公式代入已知即可求值．【解答】解：∵tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，∴tan（2α）＝tan[（α+β）+（α﹣β）]=tan故選：A．9．（2020?鄭州二模）若α∈（π2，π），則2cos2α＝sin（π4-α），則A．18 B．-78 C．1 【分析】由條件利用兩角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin（π4∴2（cos2α﹣sin2α）=22（sinα﹣cos∴cosα+sinα=-24，或cosα﹣sinα＝∵cosα+sinα=-24，則有1+sin2α=18，故選：B．法2：∵α∈（π2，π∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，綜合選項，故選：B．10．（2020春?宣城期末）已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，則cos（α+β）＝（）A．2n(1-m)m+1 B．n(1-m【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．【解答】解：∵tanαtanβ＝m，∴sinαsinβcosαcosβ=m，即sinαsinβ＝mcosαcos∵cos（α﹣β）＝n，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n，得cosαcosβ+mcosαcosβ＝n，得cosαcosβ=n1+m，sinαsin則cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=n故選：B．11．（多選）（2020春?南京期末）下列四個等式其中正確的是（）A．tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=B．tan22.5°1-C．cos2π8-sin2D．1sin【分析】利用三角恒等變換逐項判斷即可．【解答】解：對①：tan60°＝tan（25°+35°）=tan25°+tan35°1-tan對②：tan22.5°1-tan222.5°對③：cos2π8-sin2π8對④：1sin10°故選：AD．12．（多選）（2020春?徐州月考）下列各式中，值為32A．2sin15°cos15° B．1+tanC．1﹣2sin215° D．3【分析】利用二倍角公式結(jié)合三角函數(shù)的值逐一求解四個選項得答案．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°=11+tan1﹣2sin215°＝cos30°=33tan∴值為32的是BCD故選：BCD．13．（2020春?瀘州期末）已知sin（π2-α）=13，則cos2α＝【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求cosα=1【解答】解：∵sin（π2-α）＝cosα∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=-故答案為：-714．（2020春?安徽期末）已知α為銳角，sin（π3-α）=33，則cosα【分析】先利用同角關(guān)系式求出余弦值，結(jié)合兩角和差的余弦公式進(jìn)行拆角轉(zhuǎn)化即可．【解答】解：∵α為銳角，∴0＜α＜π2，則-π2＜-α＜∵sin（π3-α）=33，∴cos（π則cosα＝cos（﹣α）＝cos[（π3-α）-π3]＝cos（π3-α）cosπ3+故答案為：115．（2020春?靜安區(qū)期末）已知sinα+cosα=15，且π2≤α【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得結(jié)果．【解答】解：∵已知sinα+cosα=∴1+sin2α=125，且π＜2α∴sin2α=-則cos2α=-1-故答案為：-716．（2020春?鎮(zhèn)江期末）已知α∈（π2，π），tan2α=34，則sin2α+cos2α＝【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，先求出tanα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知α∈（π2，π），tan2α=34，∴2α∈（π，3π2），∴α∈且2tanα1-tan2α=34，∴則sin2α+cos2α=2故答案為：-117．（2020春?海安市校級期末）已知sinαsin（π2-β）﹣sin（π2+α）sinβ＝1，則tanα【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式可得sin（α﹣β）＝1，可求α-β2=kπ+π4，k【解答】解：∵sinαsin（π2-β）﹣sin（π2+α）sin∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin（α﹣β）＝1，∴α﹣β＝2kπ+π2，k∈Z，可得α-β2=kπ∴tanα-β2=tan（kπ+π故答案為：1．18．（2020春?宣城期末）已知銳角θ滿足cos（θ+π6）=-23，則sin（θ+5π【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵銳角θ滿足cos（θ+π6）∴π6＜θ則sin（θ+π6）∵θ+5π12-（θ∴θ+5π12=（θ則sin（θ+5π12）＝sin[（θ+π6）+π4]＝sin（θ+π6）cos故答案為：1419．（2020春?包頭期末）已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=-（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的定義和和角公式的運用求出結(jié)果．（2）利用切化弦思想和差角公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知sinα=45，α∈（π2所以cosα=-由于cosβ=-53，所以sinβ=-故：cos（α+β）=cosαcosβ（2）由于tanα=sinαcosα故tan20．（2020春?上饒期末）已知α為銳角，求下列各式的值：（1）sinα=35（2）cos(α+π【分析】（1）由α為銳角及α的正弦值可得α的余弦值，將sin(（2）由α為銳角及cos(α+π3)=13＞0，可得α+π3∈（π3，π2），進(jìn)而求出【解答】解：（1）因為α為銳角，sinα=35，所以cosα所以sin(α+π6)=sinαcos（2）因為α為銳角，cos(α+π3)=13＞0，α+π3∈（所以sinα＝sin[（α+π3）-π3]＝sin（α+π3）cosπ21．（2020春?徐州期末）已知0＜（1）求cosα的值；（2）求sin2α的值．【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式，求得cosα的值．（2）由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，求得結(jié)果．【解答】解：（1）因為0＜α＜π2由cos(π4所以cosα=（2）sin222．（2020春?利通區(qū)校級期末）已知sin（π﹣α）=437，cos（α﹣β）=1314，0＜（1）求sin（α+π（2）求角β的大?。痉治觥浚?）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用和同角三角函數(shù)的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．（2）利用三角函數(shù)的角的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知sin（π﹣α）＝sinα=4由于0＜α＜π所以cosα=故sin(（2）0＜β＜α＜π所以0＜由于cos（α﹣β）=13所以sin(故：cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosβcos（α﹣β）+sinβsin（α﹣β）=1由于0＜β＜π所以β=23．（2020春?金鳳區(qū)校級期末）已知tanα＝2，其中α∈（0，π2（1）求2si（2）求cos（α+π【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡化簡求解．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，sinα的值，進(jìn)而根據(jù)兩角和的余弦函數(shù)公式即可求解cos（α+π【解答】解：（1）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2所以：2si（2）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2可得：cosα=11+tan2cos（α+π4）=22cosα- [B組]—強(qiáng)基必備1．（2020?福州模擬）已知α，β是函數(shù)f（x）＝sinx+cosx-13在[0，2π）上的兩個零點，則cos（α﹣A．﹣1 B．-89 C．-22【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和差的三角公式分別進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：解法一：依題意，f（α）＝f（β）＝0，故sinα+cosα=得9sin2α﹣3sinα﹣4＝0，9cos2α﹣3cosα﹣4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2﹣3x﹣4＝0（*）的兩個異根．同理可證，sinβ，cosβ為方程（*）的兩個異根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假設(shè)sinα＝sinβ，則cosα＝cosβ，又α，β∈[0，2π），則α＝β，這與已知相悖，故sinα≠sinβ．從而sinα，sinβ為方程（*）的兩個異根，故sinαsinβ=-49．同理可求cosαcosβ=-49，所以cos（α﹣β）＝解法二：令f（x）＝0，得sinx+cosx=13．令g（x）＝sinx則α，β即為g（x）與直線y=13在[0，由圖象可知，α+β2又2sin(α+π4)=13解法三：依題意，不妨設(shè)0≤β＜α＜2π，則點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）為直線x+如圖所示．取AB中點為H，則OH⊥AB，記∠AOH＝θ．則α﹣β＝2π﹣2θ，所以，cos（α﹣β）＝cos（2π﹣2θ）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1．另一方面，OH=|0+0-13|12從而cos(故選：B．2．（2020?榆林模擬）已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），則A．-12 B．﹣2 C．12 【分析】推導(dǎo)出α2∈（π2，3π4），tanα2∈（﹣1，0），1-tanα21+tanα2=1-sinαcosα【解答】解：∵α∈（π，3π2），∴α2∈（π2，3π4），∴∴1-=1+=co∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π∴1-tanα故選：B．3．（2019秋?福建月考）已知α，β∈（0，π2），tanα=cos2β1-A．π2 B．π4 C．3π