（江西版）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章4.4 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 理 北師大版（含詳解）

一、選擇題1．下列函數(shù)中，周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為減少的是()．A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))2．(2012山東濟(jì)寧模擬)設(shè)集合P＝{x|sinx＝1，x∈R}，Q＝{x|cosx＝－1，x∈R}，S＝{x|sinx＋cosx＝0，x∈R}，則()．A．P∩Q＝SB．P∪Q＝SC．P∪Q∪S＝RD．(P∩Q)?S3．將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有的點(diǎn)向右平移eq\f(π,10)個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像的函數(shù)解析式是()．A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,10)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,5)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,20)))4．函數(shù)y＝2sin3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(5π,6)))與函數(shù)y＝2的圖像圍成一個封閉圖形，這個封閉圖形的面積是()．A．eq\f(4,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(4π,3)D．15．已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)(0＜θ＜π)，其圖像與直線y＝2的某兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，若|x2－x1|的最小值為π，則()．A．ω＝2，θ＝eq\f(π,2)B．ω＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,2)C．ω＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,4)D．ω＝2，θ＝eq\f(π,4)6．函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，給出下列三個命題：①函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,8)))上是減少的；②直線x＝eq\f(π,8)是函數(shù)f(x)的圖像的一條對稱軸；③函數(shù)f(x)的圖像可以由函數(shù)y＝eq\r(2)sin2x的圖像向左平移eq\f(π,4)個單位得到．其中正確的是()．A．①③B．①②C．②③D．①②③二、填空題7．函數(shù)f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的圖像與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是__________．8．已知函數(shù)y＝sinωx(ω＞0)在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))的圖像，則需將函數(shù)y＝sinωx的圖像向__________平移__________個單位長度．9．水渠橫斷面為等腰梯形，如圖所示，渠道深為h，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及底邊CD之和達(dá)到最?。藭rα應(yīng)該是__________．三、解答題10．已知f(x)＝2eq\r(3)cos2x＋sin2x－eq\r(3)＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的遞增區(qū)間；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，求f(x)的值域．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(cos2x－sin2x,2)，g(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4).(1)函數(shù)f(x)的圖像可由函數(shù)g(x)的圖像經(jīng)過怎樣的變換得出？(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．12．如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備在一直角圍墻ABC內(nèi)的空地上植造一塊“綠地△ABD”，其中AB長為定值a，BD長可根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)節(jié)(BC足夠長)．現(xiàn)規(guī)劃在△ABD的內(nèi)接正方形BEFG內(nèi)種花，其余地方種草，且把種草的面積S1與種花的面積S2的比值eq\f(S1,S2)稱為“草花比y”．(1)設(shè)∠DAB＝θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)BE為多長時，y有最小值？最小值是多少？

參考答案一、選擇題1．A解析：C，D兩項中函數(shù)的周期都為2π，不合題意，排除C，D；B項中y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，該函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上為增加的，不合題意；A項中y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，該函數(shù)符合題意，故選A.2．D解析：方法一：由sinx＝1得，x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))；由cosx＝－1得，x＝2kπ＋π，k∈Z，所以Q＝{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}；由sinx＋cosx＝0得，eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝0，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝0，可得x＋eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，所以S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z)))).由于P∩Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∩{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}＝?，因此(P∩Q)?S，所以D項正確．方法二：P表示終邊落在y軸非負(fù)半軸上角的集合，Q表示終邊落在x軸非正半軸上角的集合，故P∩Q＝?，所以D項正確．3．C解析：函數(shù)y＝sinx的圖像上的點(diǎn)向右平移eq\f(π,10)個單位長度可得函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))的圖像；再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)可得函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))的圖像，所以所求函數(shù)的解析式是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10))).故選C.4．C解析：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝2sin3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(5π,6)))和函數(shù)y＝2的圖像，如圖，根據(jù)圖像的對稱性，所求的面積即為圖中所示陰影部分的面積，為eq\f(4π,3).5．A解析：∵y＝2sin(ωx＋θ)為偶函數(shù)，0＜θ＜π，∴θ＝eq\f(π,2).∵圖像與直線y＝2的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，|x2－x1|min＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，ω＝2.故選A.6．B解析：∵eq\f(π,2)≤x≤eq\f(5π,8)，∴eq\f(5π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,8)))上是減少的，故①正確．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，故②正確．y＝eq\r(2)sin2x向左平移eq\f(π,4)個單位得y＝eq\r(2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)cos2x≠f(x)，故③不正確．故選B.二、填空題7．(1,3)解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π].))如圖所示，則k的取值范圍是1＜k＜3.8．左eq\f(π,6)解析：由圖像知函數(shù)y＝sinωx的周期為T＝3π－(－π)＝4π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,2)，故y＝sineq\f(1,2)x.又y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))＝sineq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，所以將函數(shù)y＝sineq\f(1,2)x的圖像向左平移eq\f(π,6)個單位長度，即可得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的圖像．9．60°解析：設(shè)CD＝a，由題意知CB＝eq\f(h,sinα)，AB＝a＋eq\f(2h,tanα)，∴S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋a＋\f(2h,tanα)))·h，∴a＝eq\f(S,h)－eq\f(h,tanα).設(shè)兩腰與底邊CD之和為l，則l＝a＋2CB＝eq\f(S,h)－eq\f(h,tanα)＋eq\f(2h,sinα)＝eq\f(S,h)＋eq\f(2－cosα,sinα)·h＝eq\f(S,h)＋eq\f(1＋2sin2\f(α,2),2sin\f(α,2)cos\f(α,2))·h＝eq\f(S,h)＋eq\f(3sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2),2sin\f(α,2)cos\f(α,2))·h＝eq\f(S,h)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)tan\f(α,2)＋\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2tan\f(α,2))))))·h≥eq\f(S,h)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(3,2)tan\f(α,2)×\f(1,2tan\f(α,2)))))·h＝eq\f(S,h)＋eq\r(3)·h，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,2)taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2tan\f(α,2))，即taneq\f(α,2)＝eq\f(\r(3),3)時，上式取等號，∴eq\f(α,2)＝30°，即α＝60°.三、解答題10．解：f(x)＝sin2x＋eq\r(3)(2cos2x－1)＋1＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.(1)函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得2kπ－eq\f(5π,6)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,6).∴kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．(3)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).∴f(x)∈[0,3]．11．解：(1)f(x)＝eq\f(1,2)cos2x＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝eq\f(1,2)sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).所以要得到f(x)的圖像，只需要把g(x)的圖像向左平移eq\f(π,4)個單位長度，再將所得的圖像向上平移eq\f(1,4)個單位長度即可．(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,4)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,4).當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋π，即x＝kπ＋eq\f(3,8)π(k∈Z)時，h(x)取得最小值－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1－2\r(2),4).h(x)取得最小值時