山東省部分名校2024屆高三下學期2月大聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省部分名校2024屆高三下學期2月大聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可得或因此．故選：D．2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，所以，即虛部為．故選：A．3.若的展開式中常數(shù)項的系數(shù)是15，則（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗二項展開式通項為則時常數(shù)項為．故選：C．4.已知在中，，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，所以．故選：D．5.橢圓與雙曲線的離心率分別為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C6.數(shù)列的前n項和滿足，設甲：數(shù)列為等比數(shù)列；乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，即，解得且，即且．因此充分性成立；若，當且時，，甲不成立，故必要性不成立．故選：A．7.圓和圓的公切線方程是（）A. B.或C. D.或〖答案〗A〖解析〗，圓心，半徑，，圓心，半徑，因為，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點坐標為，故公切線方程為，即．故選：A.8.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由，．故選：C二、選擇題9.已知一組樣本數(shù)據(jù)滿足，下列說法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B.樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于120C.若樣本平均數(shù)恰是該組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，去掉這個數(shù)，則樣本數(shù)據(jù)的方差不變D.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對于A中，由，可得第80百分位數(shù)為，所以A錯誤；對于B中，由，則，所以,故這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于，所以B正確；對于C中，去掉等平均數(shù)的數(shù)據(jù)，n變?yōu)?，平方和不變，分母變小，所以方差變大，所以C錯誤；對于D中，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如圖所示，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，同理，向“左拖”時最高峰偏右，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，所以D正確．故選：BD．10.函數(shù)滿足：對任意實數(shù)x,y都有，且當時，，則（）A. B.關于對稱 C. D.減函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗由對于任意實數(shù)，令，則，即,故A正確；令，則，即，故B正確；令，，則，即，故C正確；對于任意，則設，當時，，則，即，所以單調(diào)遞增，故D錯誤．故選：ABC.11.如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面所在平面內(nèi)一動點，則（）A.若M在線段上，則的最小值為B.過M點在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C.若平面，則平面截正方體的截面的形狀可能是正六邊形D.若與所成的角為，則點M的軌跡為雙曲線〖答案〗ACD〖解析〗選項A：將平面展開到與同一平面如圖所示，連接交于M,此時為最小值，計算可得，故A正確；選項B：當M點在D處時，因為平面，所以過M點可作無數(shù)條直線與垂直，當M點在A處時，過M點只能作一條直線,故B不正確；選項C：當M與B重合時，平面，分別取的中點E，F(xiàn)，G，H，P，Q，則六邊形是正六邊形，且此正六邊形所在平面與平面平行，所以當平面為平面時滿足題意，故C正確；選項D：以D為原點，分別以為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則,得，，整理得為雙曲線方程，故D正確．故選：ACD．三、填空題12.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則實數(shù)_________．〖答案〗1〖解析〗由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，得：，其中，，得：．故〖答案〗為：1．13.已知函數(shù)與相切，則____________．〖答案〗〖解析〗顯然該函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，設切點為，則，由題知，解得，舍去，所以切點為，代入直線方程得．故〖答案〗為：．14.拋物線與橢圓有相同的焦點，分別是橢圓的上、下焦點，P是橢圓上的任一點，I是的內(nèi)心,交y軸于M,且，點是拋物線上在第一象限的點，且在該點處的切線與x軸的交點為，若，則____________．〖答案〗〖解析〗焦點在軸上，故橢圓的焦點在軸上，故，I是的內(nèi)心，連接，則平分，在中，由正弦定理得①，在，由正弦定理得②，其中，故，又，式子①與②相除得，故，同理可得，，由橢圓定義可知，，，即焦點坐標為，所以拋物線方程為，，故在處的切線方程為，即，又，故，所以在點的切線為：，令，又，即，所以是首項16，公比的等比數(shù)列，．故〖答案〗為：．四、解答題15.某小區(qū)在2024年的元旦舉辦了聯(lián)歡會，現(xiàn)場來了1000位居民．聯(lián)歡會臨近結束時，物業(yè)公司從現(xiàn)場隨機抽取了20位幸運居民進入摸獎環(huán)節(jié)，這20位幸運居民的年齡用隨機變量X表示，且．（1）請你估計現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)（四舍五入取整數(shù)）；（2）獎品分為一等獎和二等獎，已知每個人摸到一等獎的概率為40%，摸到二等獎的概率為60%，每個人摸獎相互獨立，設恰好有個人摸到一等獎的概率為，求當取得最大值時的值．附：若，則．解：（1）因為，所以，則，所以現(xiàn)場年齡不低于60歲的人數(shù)大約為(人)．（2）依題意可得，，設，所以，所以所以，因為整數(shù)，所以，所以當取得最大值時的值為8．16.如圖，在圓錐中,若軸截面是正三角形，C為底面圓周上一點,F為線段上一點，D（不與S重合）為母線上一點,過D作垂直底面于E,連接，且．（1）求證：平面平面；（2）若為正三角形，且F為的中點，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為，所以，因為平面，平面，所以平面，因為垂直底面于垂直底面于O，所以，同理平面，因為，且平面，平面，所以平面平面．（2）解：不妨設圓錐的底面半徑為2，因為軸截面是正三角形，所以，如圖，設平面與底面圓周交于G，因為為正三角形，且F為的中點，所以，所以E為的中點，所以為的中位線，所以，如圖，在底面圓周上取一點H，使得，以直線為x，y，z軸建立空間坐標系，由已知得，，，設的中點為M，則平面的法向量為，所以，設平面的一個法向量為，所以，，令，則，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．17.已知．（1）若在恒成立，求a的范圍；（2）若有兩個極值點s，t，求的取值范圍．（1）解：由函數(shù)，因為在上恒成立，即在恒成立，令，可得，令，可得，所以在單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）解：因為有兩個極值點，可得是的兩不等正根，即是的兩不等正根，則滿足，解得，則，所以的取值范圍為．18.已知圓，與x軸不重合的直線l過點，且與圓交于C、D兩點，過點作的平行線交線段于點M．（1）判斷與圓的半徑的大小關系，求點M的軌跡E的方程；（2）已知點，直線m過點，與曲線E交于兩點N、R（點N、R位于直線異側），求四邊形的面積的取值范圍．解：（1）圓，，，，，，∴點M的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為．（2）設直線，由題意知且，設，，由，則，所以，令且，，當時，；當，；當時，；，且，，且．19.在無窮數(shù)列中，令，若，，則稱對前項之積是封閉的．（1）試判斷：任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是否是封閉？（2）設是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為．若對前項之積是封閉的，求出的兩個值；（3）證明：對任意的無窮等比數(shù)列，總存在兩個無窮數(shù)列和，使得，其中和對前項之積都是封閉的．（1）解：不是的，理由如下：如等差數(shù)列，所以不是任意一個無窮等差數(shù)列對前項之積是封閉的．（2）解：是等比數(shù)列，其首項，公比，所以，所以，由已知得，對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成立，即對任意正整數(shù)