貴州省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無(wú)數(shù)個(gè)〖答案〗C〖解析〗由題意，中的元素滿足，可解得，故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗的解集為，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：D.3.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.8 B.28 C.56 D.70〖答案〗B〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B.4.如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽(yáng)市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來(lái)閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端的仰角為，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因?yàn)?，所以，故選:C.5.若數(shù)列滿足，且，那么數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)，可得，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，再由，可得，，所以，，所以前項(xiàng)和取到最小值時(shí)，，故選：B.6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的對(duì)稱中心為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，可得，所以，因?yàn)椋?，可得，所以，由，可得，因?yàn)?，所以，，所?令，可得，所以對(duì)稱中心為，故選：A.7.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，的中點(diǎn)為M，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)橢圓方程，可得，，，，利用，整理得，把，代入得.又，所以，離心率，故選：C.8.已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，函數(shù)的定義域?yàn)镽，由是偶函數(shù)，得，即，所以，所以函數(shù)是以4為周期的奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以可得在上單調(diào)遞增；又，，，顯然，即，因此可得，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.與的夾角為D.在方向上的投影向量是〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，，所以，則，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；，因?yàn)椋?，故C正確；在方向上的投影向量是，故D錯(cuò)誤.故選:AC.10.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.， B.函數(shù)的極大值與極小值之和為2C.函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AB〖解析〗由，可得，，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，因此，解得，，故選項(xiàng)A正確；由以上過(guò)程可知，，且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)楹瘮?shù)極小值，由三次函數(shù)性質(zhì)知，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：AB.11.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，.設(shè)平面與平面的交線為，點(diǎn)為上的點(diǎn)，為上的點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.平面B.四棱錐外接球的半徑為C.點(diǎn)到的距離為D.三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗在正方形中，，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，正方形中，，平面，所以平面，所以平面，故A正確；設(shè)四棱錐外接球半徑為，由題意知PD，DC，AD兩兩垂直，則，故，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，等于，故C正確；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，故D正確.故選：ACD.12.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且，則為直角三角形B.若，，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則C.若平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足：，且，則為等邊三角形D.若，則為鈍角三角形〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以為等邊三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，要使?jié)M足條件三角形有且只有兩個(gè)，則，因?yàn)?，，所以，即，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結(jié)合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；對(duì)于D.，而，所以A，B，C都為銳角，D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題13.已知函數(shù)，則的最大值是______.〖答案〗16〖解析〗由，而，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，則的最大值是16.故〖答案〗為：1614.拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖在計(jì)算機(jī)通信、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和網(wǎng)絡(luò)維護(hù)等方面有著重要的作用.某樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，則到第10層一共有______個(gè)節(jié)點(diǎn).（填寫具體數(shù)字）〖答案〗1023〖解析〗由圖可知，每一層節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以到第10層節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)是.故〖答案〗為：1023.15.過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，請(qǐng)寫出切線的方程______.〖答案〗或〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，而，所以切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，，化簡(jiǎn)可得或，則切點(diǎn)為或，則代入得切線方程為：或，故〖答案〗：或.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值16時(shí)，面積的最大值為______.〖答案〗32〖解析〗題意得，故，如圖所示，則，當(dāng)且僅當(dāng)M，，N三點(diǎn)共線時(shí)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，所以的最小值為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而到漸近線的距離，又，故，所以，即面積的最大值為32.故〖答案〗為：32.四、解答題17.甲、乙、丙為完全相同的三個(gè)不透明盒子，盒內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球.甲盒裝有4個(gè)白球，8個(gè)黑球，乙盒裝有1個(gè)白球，5個(gè)黑球，丙盒裝有3個(gè)白球，3個(gè)黑球.（1）隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，再?gòu)脑摵凶又须S機(jī)摸出1個(gè)球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球?qū)儆谝蚁渥拥母怕?解：（1）記取到甲盒子為事件，取到乙盒子為事件，取到丙盒子為事件，取到黑球?yàn)槭录﨎：由全概率公式得，故摸出的球是黑球的概率是.（2）由條件概率公式得，故此球?qū)儆谝蚁渥拥母怕适?8.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求角大??；（2）若，，求邊上的高.解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又因?yàn)?，則，所以，整理得到，即，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）由余弦定理，且，則有，又，解得或（舍去），所以邊上的高.19.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面底面，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以?（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，則，易知平面一個(gè)法向量為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中p，m，q成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，由得：，所以，則，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，，.（2）假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng)，由（1）得：，又，所以.因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，所以，整理可得：，又，，即，解得：，則，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即不存在滿足題意的3項(xiàng).21.已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點(diǎn)A，B和M，N.設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).（1）解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F為，雙曲線的漸近線方程為：，即，則，解得，故拋物線的方程為：.（2）證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為，由得，，因?yàn)橹本€與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，所以，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線PQ的斜率，所以直線PQ的方程為，整理得，于是直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程為，也過(guò)定點(diǎn).綜上，直線PQ恒過(guò)定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：.（1）解：由題可知，定義域?yàn)镽，則