一元二次方程組練習(xí)題(完)

一元二次方程組練習(xí)題(完)題目一已知一元二次方程組如下：\[\begin{aligned}x^2+y^2&=25\\x+y&=7\end{aligned}\]求解方程組。解答一方法一：代入法將第二個方程中的一個變量表示出來，然后再代入第一個方程中，得到一個只含有一個變量的一元二次方程，進(jìn)而求解。以變量x為例，將第二個方程改寫為：\[x=7-y\]將x代入第一個方程中：\[(7-y)^2+y^2=25\]展開并合并同類項：\[49-14y+y^2+y^2=25\]化簡得：\[2y^2-14y+24=0\]將上述方程進(jìn)行因式分解，得：\[(y-2)(y-6)=0\]解得：\[y_1=2,\quady_2=6\]將y的解代入第一個方程中，得到對應(yīng)的x的解：當(dāng)\(y=2\)時，\(x=7-2=5\)當(dāng)\(y=6\)時，\(x=7-6=1\)所以，方程組的解為：\((x,y)=(5,2),(1,6)\)方法二：消元法將方程組中的一個方程乘以一個常數(shù)，使得兩個方程的x的系數(shù)相同或者y的系數(shù)相同，然后將兩個方程相減，即可消去一個變量，從而得到一個只含有一個變量的一元二次方程，進(jìn)而求解。以消去x為例，將第二個方程乘以-1，并與第一個方程相加，得到：\[\begin{aligned}-x-y&=-7\\x+y&=7\\\hline0&=0\end{aligned}\]由上述結(jié)果可知，方程組為恒等方程，表示兩個方程表示同一直線上的所有點，無窮多解。所以，方程組的解為無窮多個。題目二已知一元二次方程組如下：\[\begin{aligned}2x^2-3y&=5\\3x-4y^2&=7\end{aligned}\]求解方程組。解答二方法一：代入法以變量x為例，將第一個方程改寫為：\[x^2=\frac{3y+5}{2}\]將x代入第二個方程中：\[3\left(\frac{3y+5}{2}\right)-4y^2=7\]展開并化簡得：\[9y+15-8y^2=14\]移項并整理得：\[8y^2-9y+1=0\]將上述方程進(jìn)行因式分解，得：\[(4y-1)(2y-1)=0\]解得：\[y_1=\frac{1}{4},\quady_2=\frac{1}{2}\]將y的解代入第一個方程中，得到對應(yīng)的x的解：當(dāng)\(y=\frac{1}{4}\)時，\(x^2=\frac{3\cdot\frac{1}{4}+5}{2}=\frac{19}{8}\)，解為\(x=\sqrt{\frac{19}{8}}\)或\(x=-\sqrt{\frac{19}{8}}\)當(dāng)\(y=\frac{1}{2}\)時，\(x^2=\frac{3\cdot\frac{1}{2}+5}{2}=\frac{11}{4}\)，解為\(x=\sqrt{\frac{11}{4}}\)或\(x=-\sqrt{\frac{11}{4}}\)所以，方程組的解為：\((x,y)=\left(\sqrt{\frac{19}{8}},\frac{1}{4}\right),\left(-\sqrt{\frac{19}{8}},\frac{1}{4}\right),\left(\sqrt{\frac{11}{4}},\frac{1}{2}\right),\left(-\sqrt{\frac{11}{4}},\frac{1}{2}\right)\)方法二：消元法將方程組中的一個方程乘以一個常數(shù)，使得兩個方程的x的系數(shù)相同或者y的系數(shù)相同，然后將兩個方程相減，即可消去一個變量，從而得到一個只含有一個變量的一元二次方程，進(jìn)而求解。以消去x為例，將第一個方程乘以3，將第二個方程乘以2，并相減，得到：\[\begin{aligned}6x^2-9y&=15\\6x-8y^2&=14\\\hline6x^2-6x+8y^2-9y&=1\end{aligned}\]化簡得：\[6x^2-6x+8y^2-