人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十八章 平行四邊形第1課時 正方形的性質(zhì)（課件）

正方形的性質(zhì)第十八章平行四邊形

仔細觀察下列實際生活中的圖片,你會發(fā)現(xiàn)這些都是正方形的形象．情境導(dǎo)入

正方形是我們熟悉的圖形,你還能列舉出正方形在生活中應(yīng)用的其他例子嗎?

結(jié)合已有經(jīng)驗,類比菱形與矩形,正方形的概念是怎樣的呢?情境導(dǎo)入

正方形可以定義為有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形．

下面我們一起來探討一下正方形的性質(zhì)吧!1.邊、角、對角線的性質(zhì)探究：正方形的性質(zhì)探究點（1）我們回憶一下小學(xué)學(xué)過的正方形,它有什么性質(zhì)?正方形的四條邊都相等,四個角都是直角．（2）上面正方形的概念中提到有一組鄰邊相等的平行四邊形是什么圖形?菱形．（3）上面正方形的概念中提到有一個角是直角的平行四邊形是什么圖形?矩形．平行四邊形1.邊、角、對角線的性質(zhì)探究：正方形的性質(zhì)

事實上,如果把矩形、菱形各添加一個條件,平行四邊形添加兩個條件均可得到正方形,可以用下面結(jié)構(gòu)圖直觀呈現(xiàn)這種關(guān)系:矩形有一組鄰邊相等菱形有一個角是直角有一組鄰邊相等有一個角是直角正方形探究點正方形的性質(zhì)

正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性質(zhì),又有菱形的性質(zhì)．歸納總結(jié)

我們根據(jù)前邊的學(xué)習,除了邊和角,還可以研究一下正方形的對角線,那么它的對角線就是互相平分、相等且垂直．正方形性質(zhì)邊兩組對邊平行，四條邊相等角四個角都是直角對角線對角線互相垂直、平分且相等，每條對角線平分一組對角正方形的性質(zhì)

正方形的對角線除了上述基本性質(zhì)外,還有無其他性質(zhì)呢?事實上,它可以將正方形分成四個全等的等腰直角三角形.我們可以試著證明:ADBCO探究點例求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC,BD相交于點O.求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.ADBCO例題精析證明：∵四邊形ABCD是正方形.∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO

ADBCO例題精析2.正方形的對稱性正方形的性質(zhì)

我們再想一想:正方形是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸是什么?探究點

如圖,取一張正方形紙片,將它沿過對邊中點的直線和對角線折疊,折疊后的兩部分均能重合．

歸納總結(jié):正方形是軸對稱圖形,它的對稱軸有四條,分別是對邊中點的連線以及兩條對角線所在的直線．1.正方形的一條邊長是3，那么它的對角線長是.2.如圖，在正方形ABCD中，點E在BD上，且BE=CD，則∠BEC的度數(shù)為.對應(yīng)訓(xùn)練ADBCE67.5°3.如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在AB,BC邊上,AE

=BF,連接AF,DE.求證:△ADE≌△BAF．對應(yīng)訓(xùn)練ABDCEF證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°.在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）AD=BA∠DAE=∠ABFAE=BF例如圖,在正方形ABCD中,點E在邊BC上,點F在CD的延長線上,且BE=DF.（1）求證:AE=AF,AE⊥AF;（2）若BD與EF相交于點M,連接AM,試判斷AM與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由.例題精析ADBCMEF（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABE=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，AB=AD.在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.∴∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD，即∠EAF=∠BAD=90°，∴AE⊥AF.ADBCMEFAB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF例題精析ADBCMEFN（2）解：AM=EF,AM⊥EF.理由如下:如圖,過點E作EN∥CD,交BD于點N，∴∠MNE=∠MDF,∠MEN=∠MFD，∠NEB=∠C=90°.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠NBE=45°∴∠BNE=90°－∠NBE=45°，∴∠NBE=∠BNE,∴BE＝NE．又BE=DF,∴NE=DF∴△MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM．∵AE=AF,∠EAF=90°,∴AM=EF,AM⊥EF．例題精析1.如圖，AC是正方形ABCD的對角線，若以AD為邊向正方形內(nèi)部作等邊三角形ADE，邊DE交AC于點F，則∠EFC=.ADBCFE對應(yīng)訓(xùn)練75°

2.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點，AC=8，AE=CF=2，則四邊形BEDF的周長是.DCABFE對應(yīng)訓(xùn)練

3.如圖，ABCD是一塊正方形場地.小華和小芳在AB邊上取定了一點E，測量知，EC=30m，EB=10m.這塊場地的面積和對角線長分別是多少?ADBCE對應(yīng)訓(xùn)練【選自教材P59，練習第2題】解：如圖，連接AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.在Rt△BEC中，∠B=90°，EB=10m，EC=30m,由勾股定理得BC=(m).在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC=

m，由勾股定理得AC=(m).∴這塊場地的面積為800m2，對角線長40m.對應(yīng)訓(xùn)練ADBCE概念課堂總結(jié)正方形邊：四條邊都相等，兩組對邊分別平行有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形對角線：對角線相等，并且互相垂直平分角：四個角都是直角性質(zhì)課后作業(yè)1.教材P61習題18.2第7,12,15,17題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時訓(xùn)練.1.如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角.要得到一個正方形，剪口與折痕應(yīng)成多少度的角？課后作業(yè)解：剪口應(yīng)與折痕成45°的角【選自教材P61，習題18.2第7題】2.（1）如圖，四邊形OBCD是矩形，O，B，D三點的坐標分別是(0,0),(b,0),(0,d).求點C的坐標.BDOCxy課后作業(yè)【選自教材P61，習題18.2第12題】解：（1）∵四邊形OBCD是矩形，∴OD=BC,OB=DC,且CD⊥OD,CB⊥OB.∵D(0,d),B(b,0),

∴C(b,d)（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO,BO=DO.∵C(c,0),∴A(-c,0)∵D(0,d),∴B(0,-d)2.（2）如圖，四邊形ABCD是菱形，C，D兩點的坐標分別是(c,0),(0,d).點A,B的在坐標軸上.求A,B兩點的坐標.BDOCxy課后作業(yè)【選自教材P61，習題18.2第12題】A2.（3）如圖，四邊形OBCD是正方形，O，D兩點的坐標分別是(0,0),(0,d).求點B,C的坐標.課后作業(yè)【選自教材P61，習題18.2第12題】BDOCxy（3）∵四邊形OBCD是正方形，∴OD=DC=BC,且CB⊥OB，CD⊥OD.

又D(0,d),

∴B(d,0),C(d,d).3.如圖，四邊形ABCD是正方形，G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE,且交AG于點F.求證：AF-BF=EFADBCEFG正方形的性質(zhì)三角形全等等量代換點擊查看解題過程課后作業(yè)【選自教材P62，習題18.2第15題】ADBCEFG123新知應(yīng)用證明：∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠1+∠2=90°.

∵DE⊥AG,且BF∥DE,∴∠AFB=∠DEA=90°.

∴∠1+∠3=90°.

∴∠2=∠3.在△ABF與△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（AAS）.

∴BF=AE.

又AF-AE=EF,∴AF-BF=EF.∠AFB=∠AEDAB=AD∠2=∠34.如圖是一塊正方形草地，要在上面修建兩條交叉的小路，使得這兩條小路將草地分成的四部分面積相等，你有多少種方法？并與你的同學(xué)交流一下.課后作業(yè)【選自教材P62，習題18.2第17題】解：有多種方法：只要兩條小路交于正方形對角線的交點且兩條小路互相垂直，則滿足條件.5.如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路線為BA