2022-2023學(xué)年河南省焦作市重點(diǎn)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年河南省焦作市重點(diǎn)中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={%|%-2>1},B={x\x>a],若則a的取值范圍為()

A.(-8,3)B.(-8,3]C.(3,+8)D.[3,+oo)

-1o7

2.已知a>0,b>0,c>1,a+2b=2,則弓+$c+喜的最小值為()

A.|B.2C.6D.y

3.已知|五|=8,E為單位向量，向量五與向量E的夾角為與，則向量方在向量左上的投影向量

為()

A.4<7eB.-4<7eC.4<7D.

4.已知函數(shù)/(久)=/。9￥?產(chǎn)一2?尸—2],則滿(mǎn)足f(x)<0的％的取值范圍是()

A.(-8,0)B.(0,+8)C.(-8,—1)D.(-1,4-00)

5.已知函數(shù)/(x)=已對(duì)'：；：，若函數(shù)g(“)=/(%)-\x2-恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是()

A.(-00,-1)u(1,4-00)B.(1,+8)

C.(-00,-1]U(1,+8)D.(-8,—1)U[1,4-00)

6.某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示，為了解該學(xué)校學(xué)生近視形成原

因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，已知抽取到的高

中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為()

D.90

7.已知某藥店只有4,B,C三種不同品牌的N95口罩，甲、乙兩人到這個(gè)藥店各購(gòu)買(mǎi)一種品

牌的N95口罩，若甲、乙買(mǎi)A品牌口罩的概率分別是0.2,0.3,買(mǎi)B品牌口罩的概率分別為0.5,

0.4,則甲、乙兩人買(mǎi)相同品牌的N95口罩的概率為()

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.26

8.將函數(shù)f(x)=2sinxcosx+15cos2x的圖象向右平移］個(gè)單位，得到g(x)的圖象，再將

g(x)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的看得到的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①函數(shù)/i(x)的最小正周期為2兀；

②?,0)是函數(shù)h(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；

③函數(shù)九(為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程為x=

④函數(shù)無(wú)⑺在區(qū)間［一第上單調(diào)遞增

A.1B.2C.3D.4

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知函數(shù)/。)=：0,若g(x)=/(/(%))+1，則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)Q>0時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)Q>0時(shí)，g(%)有5個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)QV0時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)avO時(shí)，g(%)有2個(gè)零點(diǎn)

10.已知4(一2,0),8(2,0),若圓C：(久一2。-1)2+0—2。-2)2=1上存在點(diǎn)“滿(mǎn)足拓？.

雨=0，則實(shí)數(shù)a可以是()

A.—1B.-，C.0D.1

11.已知a,0,Y6(0,,sina4-siny=sin/?,cosfi4-cosy=cosa,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.cos—a)=—B.cos(0—a)=——

C.j5-a=D.p-a=-^

12.如圖，已知點(diǎn)。為正六邊形ABCDEF的中心，下列結(jié)論中正確的是()

A.OA+OC+OB=0

B.(OA+AF)BC=OA-BC+AFBC

C.（OA-AF）?（EF-DC）=0

D.|OF+OD|=|FA+OD-CB|

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知函數(shù)/'（X）=|峭-1|-ax有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為一.

14.一個(gè)志愿者組織有男、女成員84人.其中48名男成員中，45歲以上的有12人；36名女

成員中，45歲以上的有18人.根據(jù)需要，按照年齡進(jìn)行分層抽樣，要從這個(gè)志愿者組織成員

中抽取28人開(kāi)展活動(dòng)，則45歲以上的成員應(yīng)抽取人.

15.已知函數(shù)/（%）=sin（3x+號(hào)-9）（3>04€（一泉今）的最小正周期為4兀，將函數(shù)f（x）

的圖象向左平移今個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的家縱坐標(biāo)不變），

所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是x=9則W的值為.

16.窗，古時(shí)亦稱(chēng)為腳，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國(guó)建筑文化中是一種獨(dú)具文化意

蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件.如圖，是某古代建筑群的窗戶(hù)設(shè)計(jì)圖，窗戶(hù)的輪廓4BCD是邊

長(zhǎng)為1米的正方形，內(nèi)嵌一個(gè)小正方形EFGH,且E,F,G,H分別是4F,BG,CH,DE的中

點(diǎn),則數(shù).麗的值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

己知向量而，記不共線，且0M=3沅—2元,ON=m-3n<OQ=2m+An-

（1）用隹，五表示而7；

（2）若麗〃的，求;I的值.

18.（本小題12.0分）

己知二次函數(shù)g（x）=ax2+2ax+b的圖象開(kāi)口向上，且在區(qū)間［-2,2］上的最小值為0和最大

值為9.

(1)求a,b的值；

(2)若k>0,且kHl,函數(shù)g(H)在［一1,1］上有最大值9,求k的值.

19.(本小題12.0分)

某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，抽取了近期兩人5次數(shù)學(xué)考試的成績(jī),

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

第一次第二次第三次第四次第五次

甲的成績(jī)(分)8085719287

乙的成績(jī)(分)9076759282

(1)若從甲、乙兩人中選出一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，你認(rèn)為選誰(shuí)合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若數(shù)學(xué)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽，在初賽中有兩種答題方案：

方案一：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對(duì)，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.

方案二：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對(duì)其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被潤(rùn)

汰.

已知學(xué)生甲、乙都只會(huì)5道備選題中的3道，那么你推薦的選手選擇哪種答題方案進(jìn)入復(fù)賽的

可能性更大？并說(shuō)明理由.

20.(本小題12.0分)

如圖，在AOAB中，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，且滿(mǎn)足而=4兩.

⑴若;1=",用向量萬(wàn)?，制表示而;

(2)若|初|=2，\0B\=3，且乙4。8=60。，求而?荏的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

一年之計(jì)在于春，春天正是播種的好季節(jié).小林的爺爺對(duì)自己的一塊正方形菜園做了一些計(jì)劃

.如圖，ABCC是邊長(zhǎng)為80米的正方形菜園，扇形AMN區(qū)域計(jì)劃種植花生，矩形ECFG區(qū)域計(jì)

劃種植蔬菜，其余區(qū)域計(jì)劃種植西瓜.E,F分別在BC,CD上，G在弧MN上，AM=60米，設(shè)

矩形ECFG的面積為S(單位：平方米).

(1)若NG4M=。，請(qǐng)寫(xiě)出S(單位：平方米)關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求S的最小值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2-募五(a>0且a*1)為定義在R上的奇函數(shù).

(1)判斷并證明/(x)的單調(diào)性；

2

(2)若函數(shù)g(x)=log如-mlog2x+m,xG.[2,4],對(duì)于任意修€[2,4],總存在的6[—1,1],

使得gOi)=/(%2)成立，求血的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?={x|x>3},B={x\x>a})且AUB,

所以a<3.

故選：B.

利用集合的子集關(guān)系求解.

本題主要考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

1助19

+一+>+

【解析】解：-+1=1(-+1)(a+26)---=-

2(5Q2(52

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=機(jī)寸等號(hào)成立，(應(yīng)用基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件)

所以(*加+作武(-1)+告+江2否吟+拉會(huì)

'ab'c-12''c-12\2C-122

當(dāng)且僅當(dāng)弩2=六，即c=|Sa=b=|時(shí)，等號(hào)成立，

故+1)c+士馬［的最小值為爭(zhēng).

故選：D.

基本不等式乘1法，構(gòu)造法解決即可.

本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】8

【解析】解：E為單位向量，則|3|=1,

向量方與向量3的夾角為)，

則向量五在向量E上的投影向量為|砧皿。畝=8cos-e=-4^2e.

故選:B.

根據(jù)投影向量定義計(jì)算即可.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：f(x)=，。唱嗎產(chǎn)-2.(|r-2]<0,

則：，。智《產(chǎn)一2?《尸—2]<3>，

則：宿戶(hù)一2.(y_2]>1.

設(shè)？=t>0，

則：t2—2t—3>0,

解得：￡>3或￡〈-1,

故：1>3，

解得：x<-1.

故不等式的解集為：XG(—00,—1).

故選：C.

直接不對(duì)數(shù)不等式進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：對(duì)數(shù)和指數(shù)不等式的解法.

5.【答案】A

【解析】解：由題意得，方程停=|%-刈有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

而"=醬=｛鄴才

分別作出函數(shù)y=蕾和y=|x-k|的圖象，

丫丫*

當(dāng)k=1時(shí),y=|x-l|

當(dāng)x21時(shí)，y=^=lnx,對(duì)其求導(dǎo)得y'=工，所以yL=i=1,

Mlx

所以曲線y=在點(diǎn)(1,0)的切線方程為y=x-1,

如圖，直線y=%—1與曲線y=在點(diǎn)(1,0)相切.

所以k的取值范圍是(一8,-1)u(1,+8).

故選：A.

函數(shù)g(x)=/(%)-\x2-kx|恰有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程曹=|%-W有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.分別

作出函數(shù)曠=零和y=氏一刈的圖象，結(jié)合圖象即可求解.

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的概念，化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：高一的近視學(xué)生人數(shù)為：1800x10%=180,

高二的近視學(xué)生人數(shù)為：1600x20%=320,

高三的近視學(xué)生人數(shù)為：1500x30%=450,

設(shè)抽取的高三學(xué)生人數(shù)為a,則蓋=總，

loU45U

解得a=90.

故選：D.

先求出高一的近視學(xué)生人數(shù)為180,高三的近視學(xué)生人數(shù)為450,再由分層抽樣的性質(zhì)列出方程,

能求出抽取到的高三學(xué)生數(shù).

本題考查分層抽樣的運(yùn)算，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解.

【解答】

解：甲、乙兩人到這個(gè)藥店各購(gòu)買(mǎi)一種品牌的N95口罩，

甲、乙買(mǎi)4品牌口罩的概率分別是0.2,0.3,

買(mǎi)B品牌口罩的概率分別為0.5,0.4,

則甲、乙兩人買(mǎi)相同品牌的N95口罩的概率為：

P=0.2x0.3+0.5x0.44-(1-0.2-0.5)(1-0.3-0.4)=0.35.

故選：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，正弦型函

數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的性

質(zhì)的應(yīng)用判斷①②③④的結(jié)論.

【解答】

解：函數(shù)/'(x)=2sinxcosx+y/~3cos2x=sin2x+yj_3cos2x—2sin(2x+力的圖象向右平移g個(gè)

單位，得到g(x)=2sin(2x-今的圖象,

再將函數(shù)g(x)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的：，得到的函數(shù)關(guān)系式無(wú)。)=2s譏(4x-9；

對(duì)于①函數(shù)九0)的最小正周期為多=》故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②當(dāng)X=飄',帖)=2sin(y-1)=0,故G，0)是函數(shù)妙)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心,故②正確；

對(duì)于③令4X*=/OT+其kez),整理得x=^+|^(kez),函數(shù)依)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程不為

x=^,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④由于*，所以4%-*［舊帝，故函數(shù)Mx)在區(qū)間［一￡*上單調(diào)遞增，故④

正確.

故選8.

9.【答案】AC

【解析】解：令/'(%)=3則/'(t)+1=0,當(dāng)a*。時(shí)，由at+1=0得：t=-：；由一|log3tl+1=0

得：￡=3或1=米

對(duì)于當(dāng)時(shí)，t=--<符合題意；

48,a>0a0,

則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于/(%)與￡=-；、t=3和￡=：的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

作出f(x)圖象如圖所示，

由圖象可知：/(X)與t=-：、t=3和t=g共有4個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)于CD,當(dāng)a<0時(shí)，t=-1>0,不合題意，舍去；

a

則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于f(x)與t=3和1=：的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

作出/(x)圖象如圖所示，

由圖象可知：f(x)與t=3和t=：有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，C正確，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

令f(%)=￡,由f(t)+1=0可得t的不同取值，分。>0和Q<0討論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(%)與t的不

同取值的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：已知4(—2,0),8(2,0),

又圓C：(%-2a-I)2+⑶-2a-2)2=1上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足前才?麗=0，

則以4B為直徑的圓。：/+丫2=4與圓c有公共點(diǎn)，

又圓C的圓心坐標(biāo)為(2a+1,2a+2),半徑為1,

則］<J(2a++(2a+2尸<3,

解得一嗎DWa<-1或一;Wa<

故選：ABC.

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

11.【答案】AC

【解析】ft?：va,氏/G(O^),

SLsina+siny=sin(3,cosp+cosy=cosa,

:.sina-sinp=-siny<0,cosa-cosp=cosy>0,

/.0<a</?<^,①

又(sina-sinpY+(cosa-cosp)2=(-siny)2+(cosy)2=1,

???2—2(cosacosp+sinasinp)=1,

/.cos(^3—a)=cos(a-/?)=?,(2)

由①②得夕-。=全

故選：AC.

依題意可得(sina-sinp)2+(cosa-cosp)2=(-siny)2+(cosy)2=1=>cos(￡—a)=cos(a-

0)=I，由sina—sin13=-siny<0,cosa-cos夕=cosy>0=>0<a</?<^,從而可得答案.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由平面向量數(shù)量積及平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合正六邊形的性質(zhì)，逐一判斷即可得解.

【解答】

解：對(duì)于選項(xiàng)A,由向量加法的平行四邊形法則可得：而+元+而=(OA+OC)+OB=20B，

即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：(瓦？+方).能=函.而+方.能，即選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,(0A-AFy(EF-DC>)=(0A-AF>)-(EF-'Ed)=(0A-AF')-0F=OA-OF-

F2-FO=\0A\■\OF\cos/.AOF-\FA\■[FO\cos^OFA=0,即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，由向量加法的平行四邊形法則可得：OF+0D=0E<FA+OD-CB=~FA+AO+

前=而，又|灰|力|而I，即選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選8c.

13.【答案】(1,+8)u(—1,0)

【解析】解：/'(X)=|e*—1|一ax有兩個(gè)零點(diǎn),

|ex-1|=ax有兩個(gè)根，即圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

①a>0時(shí)，設(shè)g(x)=ex-1,g'(x)=ex,

若有兩個(gè)交點(diǎn)，則a>g'(0)=1；

②a=0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)；

③a<0時(shí)，設(shè)h(x)=l-ex,h'(x)=一蜻，

若有兩個(gè)交點(diǎn)，a>/i'(0)=-l,

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+8)u(—1,0).

故答案為:(1,+°°)U(-1,0).

零點(diǎn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)為為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，然后討論a的取值范圍即可.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

14.【答案】10

【解析】

【分析】

本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽取的人數(shù)即可.

【解答】

解：根據(jù)分層抽樣原理知，45歲以上的成員應(yīng)抽取28x與竺=10(人).

o4

故答案為：10.

15.【答案】0

【解析】解：??"(%)的最小正周期為4亢,

???T=—=4冗，即3=M=:，

0)47r2

???f(x)=sin(/x+A").

將/(乃的圖象向左平移著個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為、=$小?(%+?+%—3]=

sin(1x+^-(p),

再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的家縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=

sin(|x+^-<p),

???圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是x=I，

37T7T■7Tj_r-f

x—4-——=kn+—,kWZ,

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得乎=—/CTT,kEZ,又0e(—

???當(dāng)k=0時(shí),0=0,

故答案為：0.

根據(jù)函數(shù)的周期求出3,利用函數(shù)圖象變換求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的周期以及圖象變換關(guān)系求出函數(shù)的解析式，利

用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.【答案】0

【解析】解：???窗戶(hù)的輪廓4BCD是邊長(zhǎng)為1米的正方形，

內(nèi)嵌一個(gè)小正方形EFGH,且E,F,G,H分別是4F,BG,CH,DE的中點(diǎn)；

設(shè)小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2,則EF=GF=1；

.-.AG-DF=(AF+FGy(DE+EF')=AF-DE+AF-EF+FG-DE+TG-EF=AF-EF+'FG-

DE=2x1xcosO°+2x1xcosl80°=0；

故答案為：0.

直接根據(jù)向量的三角形法則以及其數(shù)量積整理即可求出結(jié)論

本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計(jì)算，考查計(jì)算能力.

17.【答案】ft?：(l)MA?=ON-OM=m-3n-(3m-2n)=-2m-n.

(2)因?yàn)辂?/麗，麗=3m-2n,OQ=2m+Xri，

所以文€R,而7=t麗，BP37n-2n=t(2ni+An),

又向量記，討不共線，所以

解得t=|〃=—$即;I的值為一，

［解析】(1)根據(jù)平面向量減法運(yùn)算可直接得到結(jié)果；

(2)由向量共線可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)二次函數(shù)g(x)=Q/+2Q%+力的對(duì)稱(chēng)軸為％=-1,且開(kāi)口向上，

，函數(shù)g(x)在區(qū)間［一2,-1］上單調(diào)遞減，在［一1,2］上單調(diào)遞增，

?,?當(dāng)x=—1時(shí)，g(%)mE=a-2Q+b=0,:,a=b,

?,?當(dāng)％=2時(shí)，g{x}max=4Q+4a+b=9,???8Q+b=9,

??a=b=1.

(2)由⑴知,g(j)=—+2/+1,

???g(d)=(Y)2+2M+l,

設(shè)t=kx,則g(t)=嚴(yán)+2t+1,

①當(dāng)k>l時(shí)，閨，

K

??,g(t)=尸+2t+1在tG4,網(wǎng)上為增函數(shù),

K

??g^max=g(k)=fc2+2fc+1=9,Afc24-2fc-8=0,

:.k=2或k=-4,???k>1,：.k=2.

②當(dāng)0<k<l時(shí)，

g(t)=t2+2t+1在tG上為增函數(shù)，

?1?gC^max=g@)=j+"1=9,8/f2-2k-1=0,

k——《或k=一0</c<1,??k—

242

綜上所述，:k=2或k=

【解析】(1)二次函數(shù)g(x)=a/+2ax+b的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1,且開(kāi)口向上，可求函數(shù)在［-2,2］的

最值.

(2)求出g(M)=(H)2+2kx+i,設(shè)』=kx,得出g(t)=t2+2t+l,分類(lèi)討論k>1和0<fc<1

時(shí)t的范圍，利用單調(diào)性求出.

本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬中檔題.

19.【答案】解：(1)解法一：甲的平均成績(jī)?yōu)樨?把3號(hào)乎理=83,

乙的平均成績(jī)?yōu)檠?90+76+:+92+82=

甲的成績(jī)方差S"—x)?=50.8>

乙的成績(jī)方差為受="看=式/—x)2—48.8,

由于五=看，s：>s%乙的成績(jī)較穩(wěn)定，派乙參賽比較合適，故選乙合適.

解法二：派甲參賽比較合適，理由如下：

從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得85以上(含85分)的概率A=|,

乙獲得8(5分)以上(含85分)的概率P2=I.

因?yàn)镻i>P2故派甲參賽比較合適，

(2)5道備選題中學(xué)生乙會(huì)的3道分別記為a,b,c,不會(huì)的2道分別記為E,F.

方案一：學(xué)生乙從5道備選題中任意抽出1道的結(jié)果有：a,b,c,E,F共5種，抽中會(huì)的備選題的

結(jié)果有a,b,c,共3種.

所以學(xué)生乙可參加復(fù)賽的概率P1=

方案二：學(xué)生甲從5道備選題中任意抽出3道的結(jié)果有：

(見(jiàn)瓦c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,&F),(瓦c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F),共

10種，

抽中至少2道會(huì)的備選題的結(jié)果有：

(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,F),(a,ctF),(b,c,E),(瓦c,F)共7種，

所以學(xué)生乙可參加復(fù)賽的概率P2=看

因?yàn)镻l<P2,所以學(xué)生乙選方案二進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大.

【解析】(1)法一：先分別求出甲、乙的平均成績(jī)、方差，得到甲、乙的平均成績(jī)相同，乙的方差

較小，從而乙的成績(jī)較穩(wěn)定，派乙參賽比較合適，故選乙合適.

法二：從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得85以上(含85分)的概率A=|,乙獲得8(5分)以上(含85分)的概

率22=熱由P】>P2,得到派甲參賽比較合適，

(2)5道備選題中學(xué)生乙會(huì)的3道分別記為a,b,c,不會(huì)的2道分別記為E,F.方案一求出學(xué)生乙可

參加復(fù)賽的概率P1=卷.方案二求出以學(xué)生乙可參加復(fù)賽的概率P2=看，由尸1<22,得到學(xué)生乙選

方案二進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大.

本題考查平均數(shù)、方差、概率的求法及應(yīng)用，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)若;1=%則而而，.?.而一反=：(而一硒，

《麗=而+3砒則赤樣就+；南

(2)vAP=4而，

.-.'OP-OA=A(OB-OPy???^1+A)OP=OA+AOB>

???麗=士成+含循

■■\OA\=2,\OB\=3,S.Z.AOB=60°：.OA-OB=\OA\■\OB|cos60°=3,

.??麗,而=（占而+』方）?（而-耐）=一占而2+金方,（鼻一鼻）耐而

-4+9A+3-3A6A-1,7

=---------=----Q------,

1+A1+A1+A

7

vA>0,:?6—.6（—1,6）,

1+X

.-.OP-荏的取值范圍為（-1,6）.

【解析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則即可求出.

（2）根據(jù)向量的加減的兒何意義，得到加?荏=6-工，即可求出范圍.

1+A

本題考點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，綜合考查了向量三角形法則，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積

的運(yùn)算，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）延長(zhǎng)FG交AB于H,

則GH=60sin0米，AH=60cos。米，

則GE=HB=(80-60cos。)米,FG=(80-60s譏。)米，

:.S—(80—6Ocos0)(8O—60sin&)=400(16—12(sin0+cos。)+9sin8cos8](0<0<.

(2)由(1)得：S=400[16-12(sin6+cos9)+9s出。cos8](0<6<^),

令t=sin6+cosd,貝Usin9cos0=t=sind+cos9=V_2sin(0+[)(0<9<^),

?.te[1,-/^].

Q/-2_Q4

???S=400(16-12t+=1800(t-+1400-

t6

.??當(dāng)t=抖，Smin=1400,即當(dāng)sin。+cos。=g時(shí)，矩形ECFG面積的最小值為1400平方米.

【解析】（1）延長(zhǎng)FG交4B于77,可用。表示出HB,FG,由此可得S；

（2）令土=5譏。+?”。，將S表示為關(guān)于t的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.

本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增，證明如下：

由題意函數(shù)/(x)=2-/％(a>0且a*1)為定義在R上的奇函數(shù)，

得：〃0)=2-急=0,解得a=3.

所以/(無(wú))=2-君丁2-*，

驗(yàn)證：/(-%)=2-金=2-黑，則/(-x)+/(x)=2-需+2-*=4-4=0，

即/(—x)=-/(x),即/(x)=2—普為奇函數(shù)；

任取%1，%2ER，且<%2，

nillfrA\-94,4_444(3"-3攵)

人UJ一八*2)一/一PT71一?/+3^+1-3^+1-FT+1-(3