第30講　等比數(shù)列及其前n項和（原卷版）

第30講等比數(shù)列及其前n項和基礎(chǔ)知識1.等比數(shù)列中的有關(guān)公式已知等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比是q,前n項和為Sn,則等比數(shù)列定義式(q≠0且q為常數(shù))

等比中項Gx=yG(G是x與y通項公式或

前n項和公式當(dāng)q=1時,Sn=;

當(dāng)q≠1時,Sn==

2.等比數(shù)列的性質(zhì)已知{an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則有aman==.

(2)若公比q≠-1,或q=-1且m為奇數(shù),則數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成數(shù)列,其公比為.

3.等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(1)等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an=a1qqn(q≠1),前n項和公式可以寫成Sn=a1q-1qn-(2)①當(dāng)a1>0,q>1或a1<0,②當(dāng)a1>0,0<q<1或a1<0③當(dāng)q=1時,數(shù)列{an}是常數(shù)列;④當(dāng)q<0時,數(shù)列{an}為擺動數(shù)列.常用結(jié)論1.若{an},{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),1an,{an2},{an·bn2.在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.3.一個等比數(shù)列各項的k次冪仍構(gòu)成一個等比數(shù)列,新公比是原公比的k次冪.4.若{an}為等比數(shù)列,a1·a2·…·an=Tn,則Tn,T2nTn,T5.在數(shù)列{an}中,當(dāng)q≠0,q≠1時,其前n項和Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}為等比數(shù)列的充要條件,此時k=a1分類探究探究點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算例1(1)已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,a5=-8,則{an}的前6項和為.

(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4=2S3+1,2a4=2a3+3a2+2,則a1=.

[總結(jié)反思](1)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式共涉及五個量a1,an,q,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式時,注意對公比q=1和q≠1的分類討論.變式題(1)已知{an}為等比數(shù)列,a5+a8=-3,a4a9=-18,則a2+a11= ()A.9 B.-9C.212 D.-(2)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4= ()A.7 B.8 C.15 D.16(3)河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一,現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn),龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.龍門石窟的某處“浮雕像”共有7層,每一層的數(shù)量是它下一層的2倍,這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.已知該處共有1016個“浮雕像”,則正中間那層的“浮雕像”的個數(shù)為 ()A.508 B.256 C.128 D.64探究點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)例2(1)各項均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S20= ()A.107 B.30或-20C.30 D.40(2)已知等比數(shù)列{an}中,a5+a7=8,則a4(a6+2a8)+a3a11的值為 ()A.128 B.64C.16 D.8[總結(jié)反思](1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中,一般是利用通項公式與前n項和公式,建立方程組求解,若可以靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則有aman=apaq”,則可減少運(yùn)算量.(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)組合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì).變式題(1)已知等比數(shù)列{an}中,an>0,a5,a95為方程x2-10x+16=0的兩根,則a20a50a80=()A.32 B.64 C.256 D.±64(2)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an},對任意的m,n∈N*,am·an=am+n恒成立,且a3·a5+a4=72,則log2a1+log2a2+…+log2a7=.

探究點(diǎn)三等比數(shù)列的判定與證明例3已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,證明:數(shù)列{an+bn}和{an-bn}均為等比數(shù)列.[總結(jié)反思]判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法:(1)定義法:若an+1an=q(q是非零常數(shù)),則數(shù)列{a(2)等比中項法:若an+12=an·an+2(n∈N*),則數(shù)列{an(3)通項公式法:若an=Aqn(A,q為非零常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.變式題在等差數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列中.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一組可能的{a1,a2,a3},并求數(shù)列{an}的通項公式.(2)記(1)中你選擇的{an}的前n項和為Sn,判斷是否存在正整數(shù)k,使得a1,ak,Sk+2成等比數(shù)列?若存在,請求出k的值;若不存在,請說明理由.同步作業(yè)1.記Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,若S2=0,則公比q= ()A.0 B.-1C.1 D.無法確定2.設(shè){an}是等比數(shù)列,則下列說法中一定正確的是 ()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列3.若1,a,4,b,c成等比數(shù)列,則b= ()A.42 B.8C.±8 D.±424.有這樣一道題目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五兩,今三十日屠訖,問共屠幾何?”其意思為:“有一個姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問一共屠了多少兩肉?”在這個問題中,該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為 ()A.35 B.75C.155 D.3155.已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10= ()A.7 B.5C.-5 D.-76.已知數(shù)列{an}滿足an+1=λan-1(n∈N*,λ≠0,λ∈R),若數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列,則λ的值是 ()A.1 B.2 C.12 D.-7.已知{an}是等比數(shù)列,且a3a5a7a9a11=243,則a7=;若公比q=13,則a4=8.已知數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a6+a7+a8=26,且a5·a9=36,則1a6+1a7+1A.1318 B.1318C.139 D.9.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3,S9,S6成等差數(shù)列,且a2+a5=2am,則m= ()A.3 B.6 C.8 D.910.著名物理學(xué)家李政道說:“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的,它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載堉創(chuàng)建了十二平均律,是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例,把八度分成13個半音,使相鄰兩個半音之間頻率的比值是常數(shù),如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示這些半音的頻率,它們滿足log2（ai+1ai）12=1(i=1,2,…,12).若某一半音與D#的頻率的比值為32,頻率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A.F# B.G C.G# D.A11.(多選題)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sn=2an-2,若存在兩項am,an,使得aman=64,則 ()A.數(shù)列{an}為等差數(shù)列B.數(shù)列{an}為等比數(shù)列C.a12+a22+…D.m+n為定值12.(多選題)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,且滿足a1>1,a7·a8>1,a7-1a8-1<A.0<q<1B.a7·a9>1C.Sn的最大值為S9D.Tn的最大值為T713.設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S20-S10S30-S20=1314.已知數(shù)列{an}滿足a3,a6,a9,…,a3n,…是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,a3n-2,a3n-1,a3n是公比為-12的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的前20項和S20=15.設(shè)