2024年北師大版八年級下冊數(shù)學第四章綜合檢測試卷及答案

第四章學情評估

一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的)

1.下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是()

A.%2-6x+9=(x-3)2

B.(%+3)(%—1)"+2%—3

C.x2,—9+6x=(x+3)(x—3)+6%

2.下列四個多項式中，能因式分解的是()

A.a~lB."+1

C.x2—4yD.%2—4x+4

3.下列各式中能用完全平方公式進行因式分解的是()

A.x2+x+lB.x2+2x-1

C.x2-!D.x2—10冗+25

4.若將多項式爐+機工—35分解因式為(%—7)(x+5),則用的值是()

A.2B.~2

C.12D.-12

5.一次課堂練習中，小紅同學做了如下4道因式分解題，你認為小紅做得不夠完整的一題是

()

A.a3—a=a(a2—l)

B.m2—2mn+n2=(m—n)2

C.—xy2=xy(x—y)

D.x2—y2=(x—y)(x+y)

6.下列因式分解正確的是()

A.Sax2—6ax=3(ax1—2ax)

B.f+y2=(—九+,)(一九一,)

C.4+2"—4爐=(〃+26)2

D.-a^-Vlax—a——a(x—I)2

7.22°24—22。25的值是()

A.；B.

C.—22024D.2

8.小明是一個密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條消息：a-b,m-n,8,a+b,

a2~\-b2,機分別對應下列六個字：福，建，我，愛，學，校.現(xiàn)將8機（片一〃）一8"（/一。2）

因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A.我愛福建B.愛福建C.我愛學校D.愛學校

9.已知a,b,c為三角形的三條邊長，設(shè)機=（a—'A）?—°2,則機的值滿足（）

A.m＜0B.m＞0C.m=0D.機＞0或機＜0

10.已知a,b,c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2—02c2=q4—〃，則AABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：x2+x=.

12.多項式ax2—4a與多項式4x+4的公因式是.

13.若關(guān)于x的二次三項式一十依+；是完全平方式，則a的值是..

14.若x+y=2,xy=~l,則好＞+孫2=.

15.已知a,b滿足|。+2|+7固一4=0,分解因式：（d+y2）—（axy-\-b）=.

16.利用1個。X。的正方形，1個匕X6的正方形和2個的長方形拼成一個大正方形（如

圖所示），可得到一個因式分解的公式：.

三'解答題（本題共6小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（8分）把下列各式因式分解：

（l）a3b+2a2b2+ab3；

(2)(f+4)2—16%2.

18.(8分)下面是小穎對多項式因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

因式分解：(3x+y)2—(x+3y)2.

解：原式=(3x+y+x+3y)(3x+y—x—3y)...第■步

=(4x+4y)(2x—2y).......第二步

=8(x+y)(x—y)....第三步

=8(x2—y2)....第四步

任務一：以上過程中，第一步依據(jù)的公式用字母a,b表示為

任務二：①以上過程中，第步出現(xiàn)錯誤，錯誤原因為;

②直接寫出因式分解的正確結(jié)果.

19.(8分)已知a,6是一個等腰三角形的兩邊長，且滿足〃+廬一4a—60+13=0,求這個等

腰三角形的周長.

20.(8分)閱讀下列材料:

因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,

則原式=屋+24+1=(4+1)2.

再將“A”還原，得原式=(x+y+I)2.

上述解題過程用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常用的一種思想方法.

請你利用整體思想的方法解答下列問題：

(1)因式分解：l+2(x—y)+(x—y)2=.；

(2)因式分解：(a+Z?)(a+6—4)+4；

(3)求證：若〃為正整數(shù)，則式子("+1)(〃+2)52+3”)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.

21.(10分)如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為acm的

大正方形，2塊是邊長為6cm的小正方形，5塊是長為acm,寬為6cm的小長方形，且

a>b.

⑴觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5"+2戶可以因式分解為

⑵若圖中陰影部分的面積為242cm2,大長方形紙板的周長為78cm,求圖中空白部分的面積.

baa

22.(10分)閱讀與思考

給出下面五個等式：

32—12=8=8x1,

52—32=16=8X2,

72—52=24=8X3,

92—72=32=8X4,

112-92=40=8X5.

通過觀察，可以得到結(jié)論：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定能被8整除.

證明過程如下：

設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)分別為2n~\,2〃+1(〃為正整數(shù))，

則(2〃+1)2—(2〃一

=(2〃+l+2n-l)(2?+1—2〃+1)(依據(jù)：)

=4HX2

=8n.

'：n為正整數(shù)，

一定能被8整除，

即兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定能被8整除.

(1)任務一：填空：上面的“依據(jù)”是指(用含字母a,》的式子表示)；

(2)任務二：事實上，任意兩個奇數(shù)的平方差也一定是8的倍數(shù).請你給予證明；(提示：設(shè)這

兩個奇數(shù)分別為2根+1,2〃+1(如〃均為整數(shù)，且加?"))

(3)任務三：任意兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差也一定是8的倍數(shù)嗎？如果是，請你給予證明；如果

不是，請寫出你認為正確的結(jié)論.

答案

一、l.A2.D3.D4.B5.A6.D7.C8.A9.A

10.D點撥：*.*a2c2~b2c2=a4~b4,c2(tz2—b2)=(a2+Z?2)(a2—Z?2),(a2-b2)(a2+Z?2—c2)

222

=0,(a+b)(a—b)(a+Z?—c)=0,*.*tz+Z?>0,.,.a—6=0或/+02一。2=0,.?.(3=6或

a2+b2=c2,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.

二、ll.x(x+l)12.X-213+114.-2

15.(x+y+2)(x+y—2)16.<72+2t?/?+Z?2=(tz+Zj)2

三、17.解：⑴原式=時52+2時+為=時3+0)2.

(2)原式4x)=(x+2)2(x—2產(chǎn)

18.解：任務一：a2—b2=(a-\-b)(a—b)

任務二：①四；進行乘法運算的過程多余

②8(x+y)(x—y).

19.解：*.*tz2+Z?2—4a—6Z?+13=t?2—4tz+4+Z?2—6。+9=伍-2)2+(Z?-3)2=0>

:.a=2,6=3.當腰長為2時，則底邊長為3,周長為2+2+3=7；當腰長為3時，則底邊

長為2,周長為3+3+2=8,...這個等腰三角形的周長為7或8.

20.(l)(x-y+l)2

(2)解：令a+b=B,

則原式=3(3—4)+4=加-43+4=(3—2)2,

:.(a+Z?)(a+6-4)+4=(a+0—2)2.

(3)證明：(〃+l)(n+2)(?2+3n)+1=(/22+3n+2)(H2+3n)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(?2

+3咒+1)2.

?.?〃為正整數(shù)，.?./+3〃+1也為正整數(shù)，

...式子(〃+1)(冏+2)(/+3〃)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.

21.解：(l)(a+2b)(2a+。)

[2(屋+廬)=242,a2+b2=121,

(2)由題意得，化簡得《

、6。+6b=78,a+b=13,

'：(a+bf-2ab=a2+b2,：.132~2ab=m,：.ab=24,

：.5ab=U0,???空白部分的面積為120cm2.

22.(l)a2-b2=(a+b)(a~b)

(2)證明：設(shè)這兩個奇數(shù)分別為2根+1,2n-\-l(m,〃均為整數(shù)，且加

(2m+l)2