材料力學(xué)：彎曲應(yīng)力教材

5.1純彎曲5.2純彎曲時的正應(yīng)力5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力5.4彎曲切應(yīng)力5.5關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)第五章彎曲應(yīng)力5.6提高彎曲強度的措施5.1純彎曲FSM內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力=？5.1純彎曲

純彎曲

(purebending)━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。MeM剪力Fs—切應(yīng)力τ彎矩M—正應(yīng)力σ彎曲內(nèi)力5.1純彎曲

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。5.1純彎曲純彎曲變形特征5.1純彎曲橫截面變形后仍為平面，只是繞截面內(nèi)某一軸線轉(zhuǎn)動一個角度，且仍垂直于變形后的梁軸線。1平面假設(shè)縱向線aa和bb

變?yōu)榛【€，橫向線mm和nn變形后仍為直線，它們發(fā)生相對轉(zhuǎn)動并與縱向線和仍正交。5.1純彎曲2縱向纖維假設(shè)

設(shè)想梁是由無數(shù)層縱向纖維組成縱向纖維間無正應(yīng)力凹入一側(cè)纖維縮短突出一側(cè)纖維伸長中間必有一層纖維長度不變－中性層中性層與橫截面的交線－中性軸梁的彎曲變形實際上是各橫截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。5.2純彎曲時的正應(yīng)力1變形幾何關(guān)系取坐標系如圖，y軸為對稱軸；z軸為中性軸

。x軸過原點的橫截面法線。縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。5.2純彎曲時的正應(yīng)力2物理關(guān)系縱向纖維只受拉或壓，在比例極限范圍內(nèi)，由胡克定律:純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力與它到中性軸的距離y成正比。故，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律→正應(yīng)力的分布規(guī)律。M中性軸的位置？5.2純彎曲時的正應(yīng)力

靜力關(guān)系橫截面上的內(nèi)力系由平衡關(guān)系z軸（中性軸）通過截面形心。梁截面的形心連線（軸線）也在中性層內(nèi)，長度不變。5.2純彎曲時的正應(yīng)力即因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。梁的抗彎剛度為梁軸線變形后的曲率，它與梁所承受的彎矩成正比，與梁的抗彎剛度成反比5.2純彎曲時的正應(yīng)力變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系按彎曲變形形狀判斷，凸出一側(cè)受拉，為拉應(yīng)力；凹入一側(cè)受壓，為壓應(yīng)力。彎曲正應(yīng)力的正負號

純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力5.2純彎曲時的正應(yīng)力

純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的分布MM與中性軸距離相等的點，正應(yīng)力大小相等；正應(yīng)力大小與其到中性軸距離成正比；

中性軸上,正應(yīng)力等于零反映了截面的幾何形狀、尺寸對強度的影響?？箯澖孛嫦禂?shù)單位：L35.2純彎曲時的正應(yīng)力

由于推導(dǎo)過程并未用到矩形截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對稱面內(nèi)的情況。公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

純彎曲時正應(yīng)力公式的適用性5.2純彎曲時的正應(yīng)力

常見截面的IZ

和WZ圓截面矩形截面空心圓截面空心矩形截面5.2純彎曲時的正應(yīng)力

純彎曲時最大正應(yīng)力計算截面關(guān)于中性軸對稱截面關(guān)于中性軸不對稱一些易混淆的概念

對稱彎曲－對稱截面梁，在縱向?qū)ΨQ面承受橫向外力時的受力與變形形式純彎曲－梁或梁段各橫截面的剪力為零彎矩為常數(shù)的受力狀態(tài)

中性軸－橫截面受拉與受壓區(qū)的分界線形心軸－通過橫截面形心的坐標軸

彎曲剛度EI－代表梁截面抵抗彎曲變形的能力

抗彎截面系數(shù)Wz－代表梁截面幾何性質(zhì)對彎曲強度的影響中性軸與形心軸對稱彎曲與純彎曲截面彎曲剛度與抗彎截面系數(shù)5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力工程中常見的平面彎曲是橫力彎曲橫力彎曲時，橫截面上有切應(yīng)力平面假設(shè)不成立縱向纖維間無正應(yīng)力的縱向纖維假設(shè)也不成立實驗和彈性力學(xué)理論的研究都表明：當跨度l與橫截面高度h的比值l/h>5時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。彎曲正應(yīng)力公式l/h>5的梁稱為細長梁

純彎曲或細長梁的橫力彎曲公式適用范圍

橫截面慣性積Iyz=0

彈性范圍內(nèi)l/h比值越大，精確程度越高5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力

最大正應(yīng)力橫力彎曲時，彎矩是變化的。引入符號：則有：

抗彎截面系數(shù)

比較拉壓:扭轉(zhuǎn):tWTmaxmax=t5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力常用截面的抗彎截面系數(shù)

矩形截面

圓形截面

截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力例1如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。xMM1Mmax試求：（1）1—1截面上1、2兩點的正應(yīng)力。（2）此截面上的最大正應(yīng)力。（3）全梁的最大正應(yīng)力。（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。解（1）求支反力，畫M圖并求截面彎矩q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（2）求應(yīng)力（3）求截面和全梁的最大應(yīng)力12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xMM1Mmax（4）求截面的曲率半徑12120180mm30mmzy5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力（1）如橫截面為25a工字梁，求梁上的最大正應(yīng)力（P353)。q=60kN/mAB1mL=3m11FRAFRB例2如圖所示受均布載荷作用的簡支梁。（2）如已知梁為鋼制工字梁，[]=152MPa求該梁的型號。（1）由型鋼規(guī)格表查得25a號工字鋼截面解于是有（2）強度條件要求：由型鋼規(guī)格表查得28a號工字鋼的Wz為5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力例3解

T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。（1）求截面形心（2）求截面對中性軸zc的慣性矩zcyzy1y25.3橫力彎曲時的正應(yīng)力（3）作彎矩圖（4）強度校核MMB截面5.3橫力彎曲時的正應(yīng)力C截面MM梁滿足強度條件將“T”改為“”是否合理？T