2022-2023學(xué)年廣東省東莞高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省東莞高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

（含答案）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)2滿足（2+/）z=2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z的模為（）

A.空B.1C述D.空

9553

2.已知平面向量Z=（1,-2）,b=（4,膽），且則向量5工-3萬是（）

A.（-7,-34）B.（-7.-16）C.（-7,-4）D.（-7,14）

3.在4/5C中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為4,h,c,已知6=4,c=2,C=60°,

則此三角形的解的情況是（）

A.有一解B.有兩解

C.無解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

4.某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一

四分位數(shù)分別為x∣,x2,X3,則x∣,x2,七的大小關(guān)系是（注：同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中

點(diǎn)值近似替代）（）

頻

率

組

距

口

O.。24±1

620

16

0.12

0.04

O12345678X

A.x2<%,<x3B.x3<Xj<x2C.*<x3<x2D.xi<x2<x3

5.已知某圓錐軸截面的頂角為120。,過圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大

值為2,則該圓錐的底面半徑為（）

A.√3B.√3C.2√3D.2√3

6.設(shè)點(diǎn)。在ANBC內(nèi)部，JL<a4+2OB+3OC=δ,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)DC

與^力。C的面積分別為S、S2,則S:S2=（）

A.I:2B.1:3C,3:2D.5:3

7.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臆，

如圖，在鱉腌ABCo中，平面BC。，且AB=BC=CD,則異面直線4C與BO所

成角的余弦值為（）

?

A.B._1D.

22

8.三棱錐尸-ZBC中，RI上平面4BC,ZBAC=—,AP=3,BC=6,則該三棱錐外

3

接球的表面積為（）

A.45πB.63πC.57πD.84π

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若Z,b,Z是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）

A.若￡=坂，貝才B.若則I=B

C.若b/∕c,則α〃CD.若∣α+5∣=∣a-B則αJ■.石

10.已知羽、〃為兩條不重合的直線，a、P為兩個(gè)不重合的平面，則下列說法正確的是

（）

A.若“7〃a,〃〃0且（1〃0,則加〃〃

B.若〃?〃“，w?a,“J_p,則aZzβ

C.若/?〃〃，∕jCa,aZzβ,ZMaβ,則WJ〃p

D.若《!〃“，〃_La,a±β,則加〃β

11.某高中有學(xué)生500人，其中男生300人，女生200人，希望獲得全體學(xué)生的身高信

息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為

170cm,方差為We-;女生身高樣本均值為160cm,方差為30cτ∏2.下列說法中正確的

是（）

A.男生樣本容量為30B.每個(gè)女生被抽入到樣本的概率均為∣?

C.所有樣本的均值為166CTnD.所有樣本的方差為46.2°加2

12.如圖，正方體/8CD-48IG2棱長為1,P是小。上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論中正

確的是（）

A.SP的最小值為正

2

B.R4+PC的最小值為J2+√Σ

C.當(dāng)尸在直線4。上運(yùn)動時(shí)，三棱錐8-NCP的體積不變

D.以點(diǎn)8為球心，也為半徑的球面與面/8C的交線長為逅1

23

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)Xi,X2,…，X”的平均數(shù)是3,則數(shù)據(jù)2xι+I,2x2+1,…，2‰+l的

平均數(shù)為.

14.如圖所示是利用斜二測畫法畫出的水平放置的A∕8C的直觀圖，已知HC〃歹軸，

15.正方體∕8CQ-48ιG0ι的棱長為4,E,尸分別為8C、CCl的中點(diǎn)，則平面力所

截正方體所得的截面面積為.

16.如圖，Z?N8C的內(nèi)南N,B,C的對邊分別為4,b,C且滿足(6+c)cosA=a(2-

CoSB-CoSC),b=c,設(shè)NNo3=θ(0<θ<π).CM=2O8=4,則四邊形CMCB面積的

最大值為.

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

17.已知向量[,ζ是兩個(gè)不共線的向量，荏=31+1,%=[-3?,AO=21+λ[.

(1)若B,C,。三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若∣+=2∣Z∣=2,el,1的夾角是?，且而_L而，求實(shí)數(shù)λ的值.

z

18.已知Z=Q+∕√(Q,ZJ∈R),z+2i和口均為實(shí)數(shù),其中i是虛數(shù)單位.

(I)求復(fù)數(shù)z;

(ID?z,=z+---------Li對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

m-?7W+2

19.如圖，在三棱柱∕8C-∕∣8ιG中，側(cè)棱底面∕8C,AB上BC,。為/C的中

點(diǎn)，AA?=AB=2,BC=3.

(1)求證：/8|〃平面8G。；

(2)求三棱柱/8C-481G的表面積.

20.在4/8C中，角/,B,C的對邊分別為α,b,c,且siMB+sir?。=(SiM+6sin5sinC)

Silv1.

(1)求IanA;

(2)?α=√5,b=M,求4/5C的面積.

21.某校為了解高一學(xué)生在五一假期中參加社會實(shí)踐活動的情況,抽樣調(diào)查了其中的IOO

名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間(單位：小時(shí))，并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖

的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的眾數(shù)，中位數(shù)，

平均數(shù)；

(2)估計(jì)這100名學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的上四分位數(shù)(結(jié)

果保留兩位小數(shù)).

22.已知在梯形48C。中，AD∕∕BC,NABC=NBAD=工AB=BC=2AD=4,E,F

2

分別是48,CD上的點(diǎn)，EF/∕BC,AE=I,沿EF將梯形/88翻折，使平面力￡7力_1_

平面EBCF(如圖).

(1)證明：EF上平面4BE;

(2)求二面前D-BF-E的余弦值.

答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.解：,.?(2+力z=2i,

.2i2i(2-i)24.

"z=2+i=(2+i)(2-i)=T

團(tuán)=府專=等

故選：C.

2.解：YaLb,a=(1,一2),b=(4,m),

Λ1×4-2w=0,

解得m=2.

?5a-3b=5(1,-2)-3(4,2)=(5-12,-10-6)=(-7,-16).

故選：B.

3.解：因?yàn)?=4,c=2,C=60°,

由正弦定理得」

SinBsinC

.4X返?一

故Sing=bsinC=---J=Jξ>1,

c2

故8不存在，即三角形無解.

故選：C.

4.選：B.

5.解：設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,如圖所示，

由題意可知，NZPB=120°,NABP=30°,

又過圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2,

則上F=2，解得/=2,

2_

在RtAPOB中，I=∕cos30o=2X=V§，

所以該圓錐的底面半徑為√3.

故選：A.

6.解：如圖，取NC的中點(diǎn)為E,

VOA+2OB+3OC=O,

.??0A÷0C+2(OB+OC)=0,

.?.20E+40D=0,

.?.aD、E三點(diǎn)共線且I而=2∣而∣,B

.∣^≡∣=3

,,∣0E∣二

故選：C.

7.解：如圖所示，分別取/5,AD,BC,BD的中點(diǎn)、E,F,G,O,

則E尸〃8。，EG//AC,FOYOG,

二N五EG為異面直線/C與8。所成角.

設(shè)∕8=24,則EG=EF=?f^a,FG=Ilja+a&="V^α,E

：.NFEG=60°,

D

.?.異面直線ZC與8。所成角的余弦值為工，

故選：A.

8.解：作出4/3C的外接圓Oi由于RlL平面/8C,可將三棱錐尸-/3。中放在圓柱

OQ2中，如圖所示：

因?yàn)镹BAC=22L，BC=6，由正弦定理得“BC的外接圓5的直徑為

又∕P=3,則三棱錐P-XBC外接球的直徑為(2R)囹2+(2r)2=9+48=57,

故外接球的表面積為S=4πΛ2=57π.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對的得3分）

9.解：對于4若Z=E,則向量E長度相等，方向相同，故IZl=IE|,故/正確：

對于8,若a?c=b?c,則（a-b）?c=0,即a=b或（a-b）c,故8錯(cuò)誤；

對于c,若Z∕∕E,bIlZ,則Z,E方向相同或相反，b,q方向相同或相反，即3

的方向相同或相反，故Z"W,故C正確；

對于。，若IZwI=-E|,則；2+2；石+/=22-2之用+32，二@吊=0,，@11>,

故。正確，

故選：ACD.

10.解：對4,若〃?〃a,〃〃P且a〃p,則〃?〃〃或者與〃相交，或者加與〃異面，

所以/錯(cuò)誤；

對B,若加〃〃，w?ɑ,則〃_La,又〃J>β,所以a“β,正確；

對C,若〃Ua,aZzβ,則〃〃β,又加〃〃，加Iβ,所以〃2〃。，正確；

對。，若〃〃2〃，zι±a,則m_La,又aJ>β,所以加〃β或加Uβ,所以。錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.解：A:由50x2匹1=30人，正確；

500

B-.由5OX2°Q=,O人,故每個(gè)女生被抽入到樣本的概率為上t-?,錯(cuò)誤；

50020010

C-.所有樣本的均值為30義170+2OX16Q=I66CS,正確；

50

130120

D-男生方差系E(Xi-170)2=17,女生方差表E(yJ160)2=30，

SUi=ιNUi=1

130120

2

所有樣本的方差而[￡(xi-166)(yi-166)]

3020

122

=?[∑(xi-170+4)+∑(yi-160+6)I

50i=li=l1

30302020

2

=-?∑(xi-170)-8∑(Xi-170)+480+E(Xi-160)心吃(y-160)+720]

5。i=li=li=li=l

=?(510+480+600+720)=46?2>正確?

故選：ACD.

12.解：對于/,當(dāng)8PLZ∣O時(shí)，BP最小，由于AIB=BD=AID3，

：.B到直線A?D的距離cl岑一亞J",故A錯(cuò)誤；

對于8,將平面Z）C翻折到平面/04上，如圖，

連接/C,與4。的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)E4+尸C取最小值4C,

在三角形/OC中，//OC=135。，AC=√AD2+CD2-2AD-CDcOS135°=√2-√2-限B

正確；

對于C,由正方體的性質(zhì)可得/Q〃8|C,小ZXl平面∕8∣C,.?.4D“平面Z8ιC,：.P

到平面∕8∣C的距離為定值，

為定值，即三棱錐囪-/CP的體積不變，故C正確;

對于。，由于&)iJ_平面Z8C,設(shè)8。與平面NBC交于0點(diǎn)，ΛQJ_I^

B3BD=3

設(shè)以8為球心，返■為半徑的球與面/BC交線上任一點(diǎn)為G,.,,

2

.?.G在以。為圓心，可為半徑的圓上,

因

由于C為正三角形，邊長為因，其內(nèi)切圓半徑為

故此圓恰好為A∕8∣。的內(nèi)切圓，完全落在面/81C內(nèi)，.?.交線長為

故。正確.

故選：BCD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.解：一組樣本數(shù)據(jù)Xi,.....X”的平均數(shù)是3,則數(shù)據(jù)2xι+l,2x2+l,...,2xll+l

的平均數(shù)為2χ3+l=7.

故7.

14.解：先由斜二測畫法得ZCL8C,AC=BC=2,即可求解.

由題意得，ACLBC,且ZC=BC=2,則［二1,則4/3C的周長為

故≡.

□

15.解：如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形/EFd,

連接/Di,由正方體可得所〃∕Q∣,可得等腰梯形/EEDi為平面NEF截正方體所得的

截面圖形，

由正方體［8。-48∣G。的棱長為4,得∕D∣=4回，EF=23,

?XI=2回，則E到AD?的距離即等腰梯形AEFDi的高為

=3S,

.?.所求截面的面積為S=』(2WJ)×Ξ=18.

故18.

0

16.解：由(6+C)cos^=a(2-cos5-cosC)及正弦定理得(Sin8+sinC)cos/=SirL4

(2-cos5-cisC),

化簡得SinC+sin5=2SirL4,再用正弦定理得c+b=2a,又b=c,所以a=b=c,即aZBC

為正三角形，

在三角形AOB中?AB?2=c2=?OA?2+?OB?2-2∣O∕∣∣O8∣CoSO=16+4-2×2×4cosθ=20-

16cosθ,

2

S四逆轉(zhuǎn)OACB=SLABC~^S=國C+×2×4sinθ=田(20-16cosθ)+4sinθ

=5Ξ+4sinθ-4Ξcosθ

=5Ξ+8sin([χ]),

vo<θ<π,?-g<θ-g<g,

Λsin(θ-)∈[-g,1],

S舊邊府CMCB￡[囚，8+53],

故8+5a.

[×]

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.解：(1)S=l?l=(因-3目)-(3習(xí)+回)=-2日-4日，

岡=山=(2習(xí)+λ目)-(因-3區(qū))=田+(λ+3)區(qū),

由8,C,。三點(diǎn)共線，根據(jù)共線向量定理的條件可得：

回=A日，即-2日-4日=網(wǎng)曰+(λ+3)曰],

所以l?l

解得：λ=-1.

：.B,C,。三點(diǎn)共線時(shí)實(shí)數(shù)λ的值為-1;

(2),.*???,???=0,即(2岡+λ習(xí))?(-2日-4g)=0,

-4g2-(8+2λ)因?日-4λ因2=-8-(8+2λ)×2×l×cosQ-4λ=0,

解得：λ=-4.

18.解：(I)'Jz=a+bi(.a,?∈R),

.,.z+2i-a+(.b+2^)i,因=∣2??∑]=「n=|,

由題意，Ξ,可得α=2,b=-2,則z=2-2i;

(II)IXI=2+2z+≡

由題意,a,解得-2VZnV』或IVZMV].

.?.實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-2,弓)U(1,1).

19.(1)證明：連接田C,交BCl于點(diǎn)O,連接OD,所以。是8∣C的中點(diǎn)，所以O(shè)D∕∕AB?,

□

又因?yàn)?5。平面8G。，ODU平面5G。中，所以“囪〃平面BGJ0；

(2)解：三棱柱/8C-/山ICl的表面積為

S-2S&ABC+日十目

=2×χ]×2×3+2×2+2×3÷2×iχ∣

=16+2回.

20.解：(1)在aZBC中，角4,B,C的對邊分別為〃，b9c,

因?yàn)閟in2B+si∏2C=(Sirt4+6SirL5sinC)SirV1,

所以fe2+c2=(72+6?csinJ,所以2Z?CCOS/=6bcsirυ4,

所以叵]；

(2)因?yàn)镃—3,向I,

所以

由余弦定理/=b2+c2-2hccosA,

可得,即c2-6c+5=0,

解得C=I或c=5,

當(dāng)C=I時(shí)，Z?∕8C的面積為

當(dāng)c=5時(shí)，zλ∕8C的面積為1一1

21.解：(1)