理論力學 第一章 質(zhì)點力學

理論力學多媒體課件西南大學物理科學與技術學院基礎物理教研室主講：賈偉堯新浪微博：@賈湖居士第1章質(zhì)點力學第1章質(zhì)點力學§1.1

運動的描述方法

§1.2

速度、加速度的分量表示式

§1.3

平動參照系

§1.4

質(zhì)點運動定律

§1.5

質(zhì)點運動微分方程

§1.6

非慣性系動力學（一）

§1.7

功與能

§1.8

質(zhì)點動力學的基本定律與基本守恒律

§1.9

有心力

本章主要學習內(nèi)容第1章質(zhì)點力學本章作業(yè)作業(yè)：7、9自學習題：311182233第1章質(zhì)點力學運動學(kinematics)動力學(dynamics)靜力學(statics)只描述物體的運動，不涉及引起運動和改變運動的原因。研究運動與相互作用之間的關系。研究物體在相互作用下的平衡問題。牛頓力學只涉及弱引力場中物體的低速運動

是整個物理學的基礎

廣泛應用于工程技術第1章質(zhì)點力學補充內(nèi)容矢量（vector）及其運算：1、加法：平行四邊形法則交換律結合律2、數(shù)乘：矢量乘標量結果仍為矢量結合律分配律矢量：有大小、方向，并有下述運算規(guī)則第1章質(zhì)點力學補充內(nèi)容交換律分配律3、標量積：4、矢量積：AB

不交換！AB

【思考】下列運算“合法”嗎？一個要用到的公式：（驗證上式的分量式成立即可）第1章質(zhì)點力學補充內(nèi)容具有一定質(zhì)量的幾何點?？梢栽诳臻g自由移動的質(zhì)點。確定它在空間的位置需要三個獨立變量。第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法一、參照系與坐標系質(zhì)點自由質(zhì)點參照系坐標系為描述物體的運動而選取的參考物體。用以標定物體的空間位置而設置的坐標系統(tǒng)。常用的有直角坐標系、柱（面）坐標系、球（面）坐標系、自然坐標系。在平面問題中，一般用平面極坐標系或自然坐標系。

位置矢量（位矢）:從坐標原點o出發(fā)，指向質(zhì)點所在位置P的一有向線段。

二、運動方程與軌道第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法位矢用坐標值表示為：位矢的大小為：位矢的方向（方向余弦）：第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法運動方程

參數(shù)形式軌道方程

第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法三、位移、速度和加速度第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法質(zhì)點相對某參照系的位置，可由位矢r確定;位移速度加速度OPP′向量端圖1)參照系，坐標系（立場和方法）2)已知r=r(t),求v,a3)已知a,v,求運動r=r(t)小結第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法運動描述法的應用——例題1hPθCAB繩的一端連在小車的A點上，另一端跨過B點繞在鼓輪C上，滑車離地的高度為h。若小車以勻速度v沿著水平方向向右運動，求當時B、C之間繩上一點P的速度和加速度。例題1對時間求導幾何關系：hPθCABl運動描述法的應用——例題1——解由求導可得：速度的分量表示：速率的分量表示：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式一、直角坐標系加速度的分量表示：加速率的分量表示：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式例2設梯子的兩個端點A和B分別沿著墻和地面滑動，它和地面夾角是時間的已知函數(shù)，求梯子上M點的運動軌跡、速度和加速度。直角坐標系的應用——例題2AMabB解：取如圖所示的直角坐標系，則M點的坐標為由此得M點的軌跡方程為yOABMaxb直角坐標系的應用——例題2——解M點的速度為M點的加速度為yOABMaxb直角坐標系的應用——例題2——解四分之一圓（1）當a=b=l

時，M點的運動軌跡：yOABMa=lxb=l例題2——解——討論（1）M點的速度垂直于其矢徑！（2）當a=b=l

時，M點的速度：yOABMlxl例題2——解——討論（2）yOABMlxla指向O點—勻速圓周運動（a與r方向相反）（3）當a=b=l

、且時，M點的加速度：例題2——解——討論（3）

vjiprocθ2.平面極坐標系在平面極坐標系中，我們必須把速度分解為沿位矢r及垂直位矢r（θ增加的方向）的兩個分量i及j。式中i為沿位矢的單位矢量，j為垂直位矢的單位矢量。注意：由于位矢隨著時間變化，沿位矢r的i及垂直位矢r的j的方向也隨著時間變化，即i和j都是時間的函數(shù)。上式右邊第一項的方向和位矢r一致，它表示位矢量值的變化，第二項是什么物理意義呢？我們先求出2.22.3在極限情況下，（與j的方向一致）（沿i的負方向）這個關系我們必須掌握2.平面極坐標系2.4把式2.4代入2.3式，得速度2.平面極坐標系——速度徑向速度分量橫向速度分量2.52.6加速度2.7類比圓周運動2.平面極坐標系——加速度2.82.9矢量的變化為矢量大小的變化及矢量方向的變化二者產(chǎn)生效果的疊加！徑向加速度橫向加速度2.平面極坐標系——例題1.思考題1.2（P99）

:速度徑向分量，稱為徑向速度，是位矢量值變化產(chǎn)生的。

:速度橫向分量，稱為橫向速度，是矢位矢方向變化產(chǎn)生的。：加速度徑向分量，稱為徑向加速度。前一部分是徑向速度量值變化產(chǎn)生的；后一部分是橫向速度方向變化產(chǎn)生的。：加速度橫向分量，稱為橫向加速度；是橫向速度量值變化產(chǎn)生的，是徑向速度方向變化產(chǎn)生的。第1章質(zhì)點力學平面極坐標系——例題例3.已知一質(zhì)點的運動方程為:求解：第1章質(zhì)點力學推廣到柱坐標:第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式注意：r為P點在xy平面上的垂足M點的位矢，而P點的位矢為R空間曲線問題有時還要采用球面坐標系，我們將在第五章分析力學中，學習拉格朗日方程后再學習。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式三、自然坐標中的速度和加速度如果點沿著已知的軌跡運動，則點的運動方程可用點在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。運動方程:2.10把軌道的切線和法線作為坐標系，稱為自然坐標系。速度v沿軌道切線方向，但加速度a卻并不沿軌道切線方向，可以把加速度進行如下的自然坐標系上的分解：將加速度分解為軌道切向及法向兩分量（法向指向曲線凹側）。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式三、自然坐標中的速度和加速度自然坐標系自然坐標系動軌跡平面運質(zhì)點的（+）路程s（-）T切向N法向t切向單位矢量n法向單位矢量M時刻位置t0M初始位置質(zhì)點的運動學方程st()s，速率vdsdt這時仍有如下關系第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式速度在切向的投影加速度：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式因（為曲率半徑）（內(nèi)稟方程）（之所以稱為內(nèi)稟方程是因為從此式可看出加速度的這種分解法完全取決于軌道本身的形狀，而與所選用的坐標系無關）第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式描述速度大小隨時間的變化率描述速度方向隨時間的變化率全加速度：全加速度的大?。喝铀俣鹊姆较虻?章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式密切面曲線上無限靠近的兩點的切線構成的平面叫做該點的密切面。在密切面內(nèi)，

與同向，故

在密切面內(nèi)，所以

在密切面內(nèi)。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式在密切面內(nèi)并和切線垂直的過切點的法向矢量叫主法線，單位矢量為或。定義:

垂直于密切面,稱為副發(fā)線方向單位矢，(

,

,

)構成空間正交自然坐標系。其分解完全取決于曲線的形狀，與選取的坐標系無關（內(nèi)稟方程）。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式自然坐標軸的幾何性質(zhì)例1:單擺的運動規(guī)律為，ω為常數(shù)，OA=l。求擺錘A的速度v和加速度a。解：以O1點為原點建立弧坐標s。A點弧坐標形式的運動方程為4.自然坐標描述法——例1解:建立弧坐標,自然坐標系4.自然坐標描述法——例2例2.

質(zhì)點由y2=2px的正焦弦(p/2,p)以u出發(fā),求到達正焦弦的另一端時的速率.已知：（P102-1.10）（已知條件）例3：設有一點M的軌跡是平面曲線，M點的向徑為r，速度為v。直線OA垂直于過M點的切線，并且與切線交于A點。試求A點的速率。4內(nèi)稟方程的應用——例3（求解約束問題）4.內(nèi)稟方程的應用——例3——解AM之間的距離用l表示量值上相等！4.內(nèi)稟方程的應用——例4（P13）例4.已知質(zhì)點沿螺旋線運動,解：思考題1.3（P75）1.3在內(nèi)稟方程中，an是怎樣產(chǎn)生的？在空間曲線中，為什么an總是沿主法線方向？當質(zhì)點沿空間曲線運動時，副法線方向的加速度ab=0,而作用力在副法線方向的分量Fb一般不等于0，這是否違背了牛頓運動定律？提示：在密切面內(nèi)并和切線垂直的過切點的法向矢量叫主法線思考題1.3提示內(nèi)稟方程中，an是由于速度方向的改變產(chǎn)生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切面內(nèi)，速度v總是沿軌跡的切線方向，而an垂直于v指向曲線凹陷一方，故an總是沿主法線方向。質(zhì)點沿空間曲線運動時，ab=0,Fb≠0與牛頓運動定律不矛盾。因質(zhì)點除受作用力F，還受到被動的約反作用力R，二者在副法線方向的分量成平衡力Fb+Rb=0，故ab=0符合牛頓運動定律。有人會問：約束反作用力靠誰施加?當然是與質(zhì)點接觸的周圍其他物體由于受到質(zhì)點的作用而對質(zhì)點產(chǎn)生的反作用力。有人也許還會問：某時刻若Fb與Rb大小不等，ab就不為零了？當然是這樣，但此時刻質(zhì)點受合力的方向與原來不同，質(zhì)點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來ab所在的方位，又有了新的副法線，在新的副法線上仍滿足Fb+Rb=0，即ab=0。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了自然坐標系的方向隨質(zhì)點的運動而變。

思考題1.4（P75）1.4在怎樣的運動中只有a切而無a法？在怎樣的運動中又只有a法而無a切？在怎樣的運動中既有a切又有a法？答案：直線運動；勻速曲線運動；變速運動思考題1.5（P75）試就直線運動和曲線運動分別加以討論。設靜止參照系為S，相對S作平動的運動參照系為S′。因故即絕對速度=牽連速度+相對速度第1章質(zhì)點力學§1.3平動參照系一、絕對速度、相對速度與牽連速度特別地，當參照系S′相對于S作勻速直線運動時設參照系S′相對于S作加速直線運動。因

，

故

即

絕對加速度=連加速度+相對加速度

二、絕對加速度、相對加速度與牽連加速度第1章質(zhì)點力學§1.3平動參照系例1某人以每小時4千米的速率向東方前進時，感覺風從正北吹來；如將速率增大一倍，則感覺風從東北方向吹來，求風速和風向。yxv’jiv4iv”vjiyx解:平動參照系——例1（P15)例2：小船M，水速C1，沿河寬不變。拉繩速度C2。求小船的軌跡。MrA解:用極坐標系平動參照系——例2（P16）兩式相除得（徑向絕對速度）（橫向絕對速度）（1）（2）（3）積分得其中由初始條件（7）（6）（5）（4）即（8）代入（5）式得代入（5）式得平動參照系——例2（P16）平動參照系——例3（P78習題1.13）例3：假定一飛機從A處向東飛到B處，而后又從B處飛到A處，飛機相對于地的速度為v，而空氣相對于地面的速度為v0，AB之間的距離為l0，飛機相對于空氣的速率v’保持不變，則：（1）假定v0=0，試證明來回飛行總時間為（2）假定空氣速度為東西方向，試證明來回飛行總時間為（3）假定空氣速度為南北方向，試證明來回飛行總時間為平動參照系——例3（解）（1）當v0=0，v=v’時，t0=2l/v=2l/v’（2）當v0為東西方向時，v0

與v’共線，則解：平動參照系——例3（解）（3）當v0為南北方向時，v0

與v’正交，則第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律知識回顧：◆運動學是研究物體運動的幾何性質(zhì)，即物體的位置在空間隨時間而變化的規(guī)律，運動本身是客觀存在的，是絕對的，但描述運動卻是相對于一定的參考系來進行的，是相對的，這就是運動的絕對性與描述運動的相對性?！暨\動學研究的問題是有三個：速度和加速度、運動規(guī)律和運動軌跡。研究的方法有：矢量法和坐標法。質(zhì)點運動學◆質(zhì)點運動學只涉及到質(zhì)點運動的表面現(xiàn)象，而質(zhì)點動力學則要涉及到質(zhì)點運動的內(nèi)在規(guī)律。質(zhì)點動力學主要內(nèi)容包括三個基本定律和三個基本定理兩大部分：三個基本定律：◆牛頓第一定律◆牛頓第二定律◆牛頓第三定律三個基本定理：◆動量定理及動量守恒律◆動量矩定理及動量矩守恒律◆動能定理及機械能守恒律三定律三定理質(zhì)點動力學第一定律

若物體（質(zhì)點）無外界作用，則它保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。（也即，無外作用時，質(zhì)點速度保持不變）第二定律

若物體（質(zhì)點）受到外力作用，則它所獲得的加速度與外力成正比，與其質(zhì)量成反比，加速度方向與外力方向一致。即第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律一、牛頓運動定律慣性：物體保持其運動狀態(tài)不變的性質(zhì)。1牛頓第一定律2牛頓第二定律注意:質(zhì)點慣性系瞬時性矢量性3牛頓第三定律注意:二力分別作用于兩個物體上，屬同一性質(zhì)的力第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律理解第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律二、伽利略相對性原理慣性參照系牛頓定律成立的參照系。否則稱非慣性參照系。第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律1、FK4系：以1535顆恒星平均靜止位形作為基準—目前最好。2、太陽系：太陽中心為原點，坐標軸指向恒星—繞銀河中心的向心加速度～1.8

10-10m/s23、地心系：地心為原點，坐標軸指向恒星—繞太陽的向心加速度～6

10-3m/s2（g的10－3）4、地面系（實驗室系）：坐標軸固定在地面上—赤道處自轉向心加速度～3.4

10-2m/s2實用的慣性系

或者說：相對某慣性系作勻速直線運動的參考系，其內(nèi)部發(fā)生的力學過程，不受系統(tǒng)整體的勻速直線運動的影響。上述結論，是伽利略在1632年，通過分析一個勻速直線運動的封閉船艙里發(fā)生的力學現(xiàn)象而總結出的，它也稱作力學相對性原理，或伽利略相對性原理。對于描述力學規(guī)律來說，所有的慣性參考系都是等效的。（這里規(guī)律即指牛頓定律。該原理也即在所有慣性系中力學運動方程形式不變）伽利略相對性原理第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律伽利略相對性原理的數(shù)學表述：質(zhì)量和運動速度無關，力只與物體相對位置或相對運動有關，質(zhì)量和力都與參考系無關

對于不同的慣性系，力學的基本規(guī)律—牛頓方程的形式相同。或者說：牛頓方程具有伽利略變換協(xié)變對稱性。

因此第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律伽利略相對性原理的重要性在于:（1）該原理指明了所有慣性系彼此等價，慣性系沒有優(yōu)劣之分。（2）該原理為不同時間、不同地點做重復性實驗探討物理規(guī)律提供了理論根據(jù)。（3）該原理可以使研究不同慣性系中的物體運動規(guī)律得以簡化。例如：設S’系相對S系作慣性運動，已知S系中質(zhì)點動能為，由于該原理，立即可以得到S’系中質(zhì)點的動能為。第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律對于相對作勻速直線運動的慣性系之間，定義伽利略變換為那么，加速度對伽利略變換是不變的：從而牛頓定律對伽利略變換是不變的,指形式不變：第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律69約束：對質(zhì)點系運動預加的強制性限制，其數(shù)學表達式為可簡記為約束的形式和機理是千差萬別的由剛性桿連接的兩個質(zhì)點：剛性約束圓盤在粗糙平面上純滾動：摩擦約束導彈運動方向瞄準目標：控制約束三、約束70如約束表達式為等式，則稱為雙面約束或等式約束，約束表達式又稱約束方程；否則稱為單面約束或不等式約束。單面約束和雙面約束剛性桿柔索對于單面約束，質(zhì)點的運動可以分階段考慮（無約束階段和雙面約束階段）。71如約束表達式中不包含速度，則稱其為幾何約束；否則稱為微分約束。幾何約束和微分約束A72完整約束和非完整約束幾何約束和可以積分成為幾何約束的微分約束，稱為完整約束，不可積的微分約束稱為非完整約束。AMT73如約束表達式中不顯含時間t，則稱其為定常約束；否則稱為非定常約束。定常約束和非定常約束74幾種約束757677787980設一個質(zhì)點被限制在某個平面內(nèi)運動。若取z軸垂直于該平面，則約束方程為z=const例1這是定常、雙面、幾何約束。第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律81設質(zhì)點被限制在某個球心位于坐標原點的球面上運動，球半徑隨時間變化。約束是非定常、雙面、幾何約束。例2第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律82設兩個質(zhì)點用長為l

的繩相連。則約束是單面、定常、幾何約束。例3第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律83

1、在牛頓第二定律中力一般是位矢、速度及時間的函數(shù)。即:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程一、運動微分方程的建立

2、運動微分方程：牛頓第二定律在具體問題中的數(shù)學表達式常稱為運動微分方程，也稱為動力學方程。形式上可寫為：843、約束及約束方程第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程85在非自由質(zhì)點的運動（約束運動）問題中，一般將約束去掉，代以約束反作用力。這樣，質(zhì)點就成了自由質(zhì)點。約束反作用力的特點：一般是未知的；不完全決定于約束本身（可能與質(zhì)點運動狀態(tài)及質(zhì)點受到的其他力有關；約束反作用力不能單獨改變質(zhì)點的運動）。若質(zhì)點不受約束而運動，則稱之為自由質(zhì)點；否則稱為非自由質(zhì)點。約束反作用力常稱為“被動力”或“約束力”，不是約束的力則稱為“主動力”。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程約束反作用力的判斷：通常作用在質(zhì)點和曲線或曲面的接觸點上；在無摩擦時，方向沿曲線或曲面的法線；有摩擦時，其方向和法線成一定角度。86約束力沿接觸面公法線方向光滑接觸面約束87約束與力牛頓力學觀點

力是改變運動的唯一原因。約束都可以用力代替，這個力稱為約束反力（簡稱約束力）。因為約束力依賴于物體的受力和運動情況，是被動力。不依賴于物體的受力和運動情況，按給定規(guī)律變化的力稱為主動力，也稱給定力，例如重力。分析力學觀點約束和力都是改變運動的原因。在力的作用下，物體在約束限制的范圍內(nèi)運動。88確定研究對象，取出隔離體畫出所有主動力畫出約束反力正確進行受力分析及畫好受力圖的要點熟知各種約束的性質(zhì)及其約束反力方向正確運用作用力與反作用力的關系應畫出所受的全部外力，不能遺漏受力分析研究質(zhì)點的動力學（含靜力學）問題時，首先要弄清楚有哪些力作用，即受力分析。受力分析的基本步驟是：89ACB例4ABCTQ第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律90例5（P79，習題1.18）一質(zhì)點自傾角為α的斜面的上方O點，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使其質(zhì)點到達斜面上所需的時間為最短，問斜槽OA與豎直線所成之角θ應為何值？αθOA91解：如下圖所示，質(zhì)點沿OA下降的加速度為α＝gcosθ，則OA=gcosθ·t2/2(1)設自O點到達斜面的距離為h，則OAcos(α-θ)=hcosα(2)αθOAh（2）代入（1）得：(3)第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律92由式（3）可知，質(zhì)點到達斜面所需要的時間t是角度θ的函數(shù)。令(3)第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律934、自由質(zhì)點的運動微分方程直角坐標系下：標量形式：矢量形式：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程94平面極坐標系下：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程955、非自由質(zhì)點的運動微分方程：其中為主動力，為約束力（又稱為被動力）。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程97二、運動微分方程的求解已知運動求力已知力求運動兩類基本問題第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程981、力僅是時間的函數(shù)，

。例：研究自由電子在沿x軸的振蕩電場中的運動解：設電子速度較光速很小，沿x軸的電場強度角頻率初（位）相e、E0、ω、θ為常數(shù)。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程電子運動的微分方程第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程100第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程101討論該問題與無線電波在高密度自由電子的電離層中傳播類似。

1)為振蕩項，電子在電場的作用下的受迫振動，產(chǎn)生電磁波，對電磁波的傳播有貢獻;

2)其余部分描述電子的勻速直線運動,對電磁波的傳播沒有貢獻，僅給出電子的細致運動;第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程1023)可以證明(在高頻下)電離層中:n為電子密度，χe為電極化率。因此，任何入射到電離層的電磁波都可以折回到地面；當ω>>1時χe~0，即，微波可以通過電離層。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程103相速：2.力僅是速度的函數(shù)F=F(v)1)研究質(zhì)點在重力場中考慮阻力的運動。普物中忽略阻力(零級近似):拋體：自由落體：但速度較大時，阻力不能忽略。空氣阻力比較復雜,阻力的大小與物體的大小等有關。詳細研究是腔外彈道學。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程104一級近似下,拋體視為質(zhì)點,阻力R=－bv，建立坐標系如圖，運動方程:投影方程:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程105再積分：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程106同理可得：(3)和(4)消去t得軌道方程:若阻力較小(b很小)或x很小:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程107由此可見：

(1)若阻力較小(b很小)或x很小,可以忽略x3以上的項，與真空中彈道一致。

(2)當mvx0-bx→0,y→負無窮,說明軌道在x=mvx0/b處變成豎直直線。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程108拋體的運動軌跡圖和拋體水平速度隨時間變化的圖形

選自畢業(yè)論文學號222008315011067李穩(wěn)穩(wěn)沒有空氣阻力、空氣阻力分別與速度的n（在1-2之間的10個取值）次方成正比例時，在10種情況下拋體的運動軌跡和水平速度隨時間變化

有阻力的拋體運動程序

選自畢業(yè)論文學號222008315011067李穩(wěn)穩(wěn)%主程序的文件名是zlptyd.mm=1;%小球的質(zhì)量b=2;p=[0:0.1:1];%設置參數(shù)

figurefori=1:10%重復解10次微分方程

[t,y]=ode45('zunifun',[0:0.01:10],[0,3,0,5],[],p(i),b,m);

H{i}=max(y(:,3));%求軌道的最高點T{i}=t(y(:,3)==H{i});%到最高點所需要的時間

vx0{i}=y(end,2);%最終水平速度

subplot(2,1,1)%第一幅分區(qū)圖

axis([05-502]);%設置坐標軸的范圍

holdon

xlabel('x')%標注x軸

ylabel('y')%標注y軸

plot(y(:,1),y(:,3));subplot(2,1,2)%第一幅分區(qū)圖

axis([0404])%設置坐標軸的范圍

holdon

xlabel('t')

ylabel('dx/dt')plot(t,y(:,2))end%函數(shù)文件是一個獨立的文件，文件名為zunifun.mfunctionydot=zunifun(~,y,~,b,p,m)

ydot=[y(2);-b/m*y(2)*(y(2).^2+y(4).^2)^(p/2);y(4);-9.8-b/m*y(4)*(y(2).^2+y(4).^2)^(p/2)];end2)帶電粒子在正交電磁場中的運動（P79，1.22）假定t=0時，粒子運動微分方程為:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程粒子運動分量微分方程為:由(1)和(2)由（1）第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程將Vy＝Asinωt代入到2式得到vx，再將初始條件t=0vx=V代入vx，結合qB=mω得A＝E/B-V因此積分得第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程113討論(1)該情況為v<<c，B、E為恒矢；(2)粒子始終在xoy平面運動,其軌道,V=0的情況為:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程圓滾線114v≠0時,連滾帶滑:圓心速度：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程1153.力僅是坐標的函數(shù)F=F(x),振動問題1)一維諧振動：2)三維諧振動：3)阻尼振動、受迫振動:(例子自學)第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程1164.約束運動問題一般選自然坐標系：例

質(zhì)點m沿x2=4ay（光滑）自x=2a滑至x=0處，求v及其約束反力。解:畫草圖，受力分析，R、mg第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程（1）（2）117第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程代入（1）式得118歸納步驟：1.準確理解題意；2.分析并作受力情況草圖；3.選取坐標系并規(guī)定質(zhì)點的坐標；4.標出已知及未知力、加速度；5.寫出質(zhì)點運動微分方程；6.解微分方程；7.討論，分析解的物理意義。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程119設參照系O′相對于O作加速直線運動。這時有因此將上式可改寫成如下形式

第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）120把看作是質(zhì)點所受到的一種新的、不同于相互作力的非相互作用力，稱為慣性力。這樣，只要不受牛頓定律左邊應是相互作用力的這一限制，而認為可以包括非相互作用力的話，牛頓定律在形式上就仍能在非慣性系中成立：第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）注意:慣性力并非物體之間的相互作用力，沒有施力者，是由于參照系本身的加速運動引起的。例1超重，失重與完全失重因而磅秤指示增加，人體超重慣性力是體積力人工制造失重現(xiàn)象的方法： 落塔飛機的拋物線飛行已知：電梯加速度為a。求：磅秤的指示(體重)。解：研究人相對電梯的運動,加牽連慣性力,由相對平衡得飛機的拋物線飛行任何在重力場中做自由飛行的飛行器都具有加速度g，由此產(chǎn)生的慣性力恰好與重力抵消，從而在其內(nèi)部造成完全失重的環(huán)境123霍金的失重飛行力是物體間的相互作用。相互直接接觸的物體，接觸表面間可以有力的相互作用，稱之為表面力。非直接接觸的物體，也可以有力的相互作用，如重力、慣性力等。這些力是作用在物體整個體積內(nèi)的分布力，與其體積和質(zhì)量有關，稱之為體積力。125例2P107，33光滑鋼絲圓圈半徑為r，其平面豎直。圓圈上套有一小環(huán)，重w，如鋼絲圈以勻加速度a沿豎直方向運動，求小環(huán)的相對速度和圈對小環(huán)的反作用力R。解φawR切向法向126127例3一升降機以勻加速度a上升,求在此升降機中小幅度單擺的周期及繩上的張力.omgaRθ解:以地面為慣性系以升降機為非慣性系128129第1章質(zhì)點力學§1.7功與能一、功和功率1.質(zhì)點在恒力作用下沿直線運動力的累積效應有兩類：力的空間累積效應：功（力×位移）

力的時間累積效應：沖量（力×時間）

其中，Δr是力的作用點的位移1302.質(zhì)點受變力沿曲線運動功是標量，其值與坐標選取無關。選直角坐標系較方便。在直角坐標系下：第1章質(zhì)點力學§1.7功與能1313.若質(zhì)點受幾個力F1

，F(xiàn)2，……Fn作用,合力即：合力之功等于分力功之代數(shù)和。4.功率描述做功快慢的量。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能132二、能物體具有做功的本領，稱它具有一定的能量。力學中的能量——機械能：動能T（v），勢能V(r)。當能量發(fā)生變化時，總有一定數(shù)量的功表現(xiàn)出來——功是能量變化的度量。對能的理解:哲學上：能量是物質(zhì)運動的度量，運動是永恒的。能量是推動一切過程的本因——可用能。能源及其利用現(xiàn)狀。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能133三、保守力、非保守力與耗散力1.力場一般情況下，若質(zhì)點在某空間區(qū)域任意位置上，受到確定的力F(r)，力是位置的單值、有界、可微函數(shù)，則該區(qū)域稱為力場，F(xiàn)為場力。如：萬有引力場、靜電場，若含有時間稱為非穩(wěn)定場。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能1342.保守力場積分一般與路徑有關若力場是穩(wěn)定的，當質(zhì)點運動時，場力做功單值地由始末位置確定（與軌道形狀無關）——該力場為保守力場。質(zhì)點受到的場力為保守力。否則場力做功與路徑有關，這種力為非保守力，力場為非保守力場。如：摩擦力——與路徑有關——耗散能量——耗散力第1章質(zhì)點力學§1.7功與能135力……

保守力萬有引力靜電力彈性力非保守力（渦旋力）磁場力耗散力摩擦力粘滯力空氣阻力……第1章質(zhì)點力學§1.7功與能1363.保守力的判據(jù)F(r)為保守力的充要條件是:即:證:（一）必要性因為與路徑無關只與始末位置有關，必存在一可微函數(shù)V使得第1章質(zhì)點力學§1.7功與能137因此，同理，第1章質(zhì)點力學§1.7功與能138（二）充分性由Stokes定理故即：積分與路徑無關。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能139四、勢能函數(shù)V(x,y,z)稱為質(zhì)點在點P(x,y,z)的勢能。勢能的物理意義：保守力作的功等于勢能的減少量。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能140注意

1)勢能函數(shù)上，加上任意常數(shù)不影響勢能差。該常數(shù)由該點的位置選取而定。2)僅當保守場有dW=-dV時方可引入勢能。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能3)F與V的關系：141例1設作用在質(zhì)點上的力是求此質(zhì)點沿螺旋線運行自θ=0,至θ=2π時,力對質(zhì)點的功.142是保守力143解:先檢驗力是否保守力計算第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律一、動量定理與動量守恒定律1.動量定義：動量是機械運動強弱的度量，mv是以機械運動度量機械運動，mv2/2是以機械運動轉化為其它形式的運動的能力來度量的機械運動。1442.動量定理（一般化的牛頓第二定律）動量定理的微分形式注:牛頓本人就是用該形式表述第二定律，在高速情況下F=ma失效，但上形式仍然成立。積分得：動量定理的積分形式力的沖量第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律1453.動量守恒1)若F=0,dp=0,p=C，即質(zhì)點受和外力為0時，其動量守恒:常數(shù)由初始條件確定2)若，但則即:若在某一方向上質(zhì)點受力為零,則在該方向上動量守恒。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律146二、力矩與動量矩（角動量）1.力矩1)定義力對空間的點A的力矩A點稱為矩心。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律1472)力對空間某一軸線的力矩對x軸之矩：同理可得：即:要求力對軸的矩,可先求力對任一點O的矩，然后在向軸上投影。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律148例1手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為

。如CD

=

a

，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力F對x、y和z軸之矩。

149解法一將力F沿坐標軸分解為Fx和FZ兩個分力：可得150解法二1512.動量矩對o點：對x、y、z軸：3.推廣——矢量A對任意一點O的矢量矩第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律152三、動量矩定理與動量矩守恒定理1.動量矩定理動量矩定理的微分形式(J與M同矩心)第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律投影式:第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律1542.沖量矩沖量矩第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律1553.動量矩守恒若則但則若第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律156角動量守恒實例動量、角動量守恒的適用范圍自然界基本定律在更廣泛情況下不依賴牛頓定律159例:質(zhì)點受力恒通過一固定點,則質(zhì)點必在一平面上運動,試證明之。解:取固定點為坐標原點，則質(zhì)點的位矢r與F共線,r×F=0,所以J=C(恒矢)，則:x乘(1)，y乘(2)，z乘(3)，并相加，得:（1）（2）（3）由解析幾何可知,此為一平面方程,故質(zhì)點只能在該平面上運動。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律四、動能定理與機械能守恒定律1.動能定理第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律160定義:動能故，由第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律1612.若F為保守力場機械能守恒總機械能或總能第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律162機械能守恒定律只要作用在質(zhì)點上的力有非保守力，上式就不成立?。芰糠e分）第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律163注意與運動方程不同（含坐標對時間的二階導數(shù)的微分方程），本節(jié)中的動量、角動量、機械能守恒定律都是一階微分方程，其基本形式為：可看成是運動方程經(jīng)過一次積分消去坐標對時間的二階導數(shù)后得到的，因此稱其為運動方程的第一積分或初積分。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律164五、勢能曲線勢壘：

E線以上的勢能曲線勢阱：

E線以下的勢能曲線質(zhì)點受一維保守力作用，V(x)第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律165可以由能量守恒律得出由總能和勢能表達的速度公式：第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律166(1)x<x1V>E，為虛值質(zhì)點不可能在此區(qū)間運動。(2)x1＜x<x2V<E，質(zhì)點能在此區(qū)間運動在x=x1或x=x2處，E＝V，轉折點質(zhì)點碰到轉折點后掉轉方向，在阱中來回振動。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律167(3)x2＜x<x3V＞E，質(zhì)點不能在此區(qū)間運動(4)x2＜x<x3V＜E，質(zhì)點能在此區(qū)間運動。當質(zhì)點自x較大處向x3運動，到達x3后將被勢壘反射回去，無限制地趨向無窮遠。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律168總結質(zhì)點可能的運動方式，由勢能曲線（V(x)的具體表達式）決定。質(zhì)點在勢能曲線上的運動不受限制。質(zhì)點在勢能曲線的所有運動均不可能。第1章質(zhì)點力學§1.8質(zhì)點動力學的基本定理與基本守恒律隧道效應（量子力學）169總結動力學基本原理分為兩種基本類型（1）動量形式：動量定理與動量矩守恒律和動量矩定理及其守恒律（2）能量形式：動能定理與機械能守恒律注意：

◆動量中的速度是絕對速度

◆

只需知道質(zhì)點的初末位置而不需要了解質(zhì)點運動的全過程時，應該運用三個定理解題，特別是要善于運用三個守恒律，這樣問題處理就更簡單一點，因為它們是二階微分方程的第一積分。170第1章質(zhì)點力學§1.9有心力一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力運動質(zhì)點受力的作用線始終通過某一定點，該力為有心力，該點叫力心。凡力趨向定點的是引力，離開定點的是斥力．有心力的量值一般為r的函數(shù)，為斥力為引力1712.因為力通過力心，故質(zhì)點必在垂直于J的平面運動。3.運動微分方程第1章質(zhì)點力學§1.9有心力1721)直角坐標系下以力心為原點,質(zhì)點的運動平面為xy平面，則質(zhì)點的運動微分方程為第1章質(zhì)點力學§1.9有心力可見，在直角坐標系下解有心力的問題并不簡便。1732)平面極坐標系下由1.2.13式，求第一積分物理意義:動量矩守恒第1章質(zhì)點力學§1.9有心力174極坐標系中,力做功的表達式有心力時第1章質(zhì)點力學§1.9有心力1754.有心力為保守力證:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力176故,必有:機械能守恒：第1章質(zhì)點力學§1.9有心力177解決問題的基本出發(fā)點:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力178二、軌道微分方程—比耐公式(目的:

從運動方程中消去t)原則上可求出消去t得軌道，r=r(t)，θ=θ(t)可直接求r=r(θ)。由令則第1章質(zhì)點力學§1.9有心力179代入第1章質(zhì)點力學§1.9有心力180比耐公式用途：已知r=r(θ)可求得質(zhì)點受力,若已知Fr則可求得軌道。規(guī)定F(u)>o時，斥力；F(u)<0時，為引力(與反方向)第1章質(zhì)點力學§1.9有心力181三、平方反比引力——行星運動研究太陽（M）與行星（m）運動中行星的軌道方程。1.用比耐公式求解太陽的高斯常數(shù)代入比耐公式:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力182得(二階常系數(shù)非齊次方程，）令:半正焦弦偏心率第1章質(zhì)點力學§1.9有心力183可見，平方反比引力下行星的的運動是以太陽為焦點的圓錐曲線。此軌道是原點在焦點上的圓錐曲線，力心位于焦點上。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力184討論①e<1，橢圓。近日點:遠日點:準線消去c,得:后面用到第1章質(zhì)點力學§1.9有心力

②e=1，拋物線。

準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力③e>1，雙曲線。準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力④斥力情況:為雙曲線右邊的一支！準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力2.運用第二組方程求解（取無窮遠處勢能為零）第1章質(zhì)點力學§1.9有心力可解得:

（束縛態(tài)），橢圓拋物線雙曲線與比較第1章質(zhì)點力學§1.9有心力可見，能量E為軌道類別的判據(jù)。190托勒玫（公元90～168）是古希臘著名的天文學家、地理學家。約公元90年誕生于埃及的亞歷山大里亞。在公元168年去世，終年78歲。托勒玫的另一巨著是八卷《地理學指南》，書中最早提出了類似于現(xiàn)代經(jīng)、緯度的概念。托勒玫對物理學的重要貢獻包括在他的《光學》一書中。他研究了光在平面鏡上的反射和光從一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì)的時候發(fā)生折射的現(xiàn)象。

托勒玫于公元127年到151年在亞歷山大里亞進行了長期的、大量的天文觀測，托勒玫把這些天文觀測成果和地心體系總結成十三卷巨著《大綜合論》，后來阿拉伯文譯本改名為《至大論》。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力四、開普勒定律哥白尼(1473-1543)：偉大的波蘭天文學家，日心說的創(chuàng)立者，近代天文學的奠基人。

1473年2月19日生于波蘭維斯瓦河畔的托倫城。10歲喪父，由舅父瓦琴洛德?lián)狃B(yǎng)。18歲時進克拉科夫大學，1497～1500年間他在波洛尼亞大學讀書，除教會法規(guī)外，還同時研究多種學科，尤其是數(shù)學和天文學。1497年3月9日，他在波洛尼亞作了他遺留下的第一個天文觀測記錄：月球遮掩金牛座□（畢宿五）的時刻。1503年，在費拉拉大學獲得教會法博士學。1506年，哥白尼從意大利回到波蘭。他把大部分精力都用在天文學的研究上。日心地動說的創(chuàng)立和《天體運行論》的出版哥白尼的主要貢獻是創(chuàng)立了科學的日心地動說，寫出“自然科學的獨立宣言”──《天體運行論》。公元1616年把《天體運行論》列為禁書。然而經(jīng)過開普勒、伽利略、牛頓等人的工作，哥白尼的學說不斷獲得勝利和發(fā)展；恒星光行差、視差的發(fā)現(xiàn)，使地球繞太陽轉動的學說得到了令人信服的證明。第谷·布拉赫（1546-1601），丹麥天文學家和占星學家。生于克努茲斯圖普（今屬瑞典）。1572年11月11日第谷發(fā)現(xiàn)仙后座中的一顆新星（銀河系的一顆超新星），第二年發(fā)表論文《新星》，后來受丹麥國王腓特烈二世的邀請，在汶島建造天堡觀象臺，建造了許多大型精密的天文儀器，經(jīng)過20年的天文觀測，第谷發(fā)現(xiàn)了許多新的天文現(xiàn)象，如黃赤交角的變化、月球運行的二均差，并重新測量了歲差數(shù)值（每年51''）。第谷·布拉赫曾提出一種介于地心說和日心說之間的宇宙結構體系：地球靜居中心，行星繞太陽運行，而太陽則帶領行星繞地球運轉。這一體系十七世紀初傳入我國后曾一度被接受。開普勒(1571-1630)德國近代著名的天文學家、數(shù)學家、物理學家和哲學家。開普勒是繼哥白尼之后第一個站出來捍衛(wèi)太陽中心說、并在天文學方面有突破性成就的人物，被后世的科學史家稱為“天上的立法者”。開普勒出生在德國威爾的一個貧民家庭，開普勒是一個早產(chǎn)兒，體質(zhì)很差。他在童年時代遭遇了很大的不幸，四歲時患上了天花和猩紅熱，雖僥幸死里逃生，身體卻受到了嚴重的摧殘，視力衰弱，一只手半殘。但開普勒身上有一種頑強的進取精神，但一直堅持努力學習，成績一直名列前茅。

1587年進入蒂賓根大學。第谷最大的天文學成就就是發(fā)現(xiàn)了開普勒。第谷在臨終前將自己多年積累的天文觀測資料全部交給了開普勒，再三叮囑開普勒要繼續(xù)他的工作，并將觀察結果出版出來。開普勒接過了第谷尚未完成的研究工作。后來，開普勒在伽利略的影響下，通過對行星運動進行深入的研究，拋棄了柏拉圖和畢達哥拉斯的學說，逐步走上真理和科學的軌道。

1630年11月，因數(shù)月未得到薪金，生活難以維持，年邁的開普勒不得不親自到雷根斯堡索取。不幸的是，他剛剛到那里就抱病不起。1630年11月15日，開普勒在一家客棧里悄悄地離開了世界。他死時，除一些書籍和手稿之外，身上僅剩下了7分尼（1馬克等于100分尼）。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力四、開普勒定律1.開普勒三定律（相對日心—恒星參考系）第一定律（軌道定律1609）:行星繞太陽作橢圓運動,太陽位于橢圓得一個焦點上。說明行星軌道方程:e<1，太陽位于橢圓的焦點上。

第二定律（面積定律，1609）:行星與太陽的連線，相同時間內(nèi)掃過的面積相等。即第三定律（周期定律，1619）：行星公轉的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比。說明:為常數(shù)牛頓萬有引力發(fā)表于1687年。從三定律可推導萬