壓軸小題09 邏輯推理解決排列組合與二項(xiàng)式定理、事件概率與離散型隨機(jī)變量分布列綜合問(wèn)題（解析版）

壓軸小題09邏輯推理解決排列組合與二項(xiàng)式定理、事件概率與離散型隨機(jī)變量分布列綜合問(wèn)題壓軸壓軸秘籍1．事件的分類(lèi)確定事件必然事件在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件不可能事件在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件2.事件的關(guān)系與運(yùn)算定義符號(hào)表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱(chēng)事件B包含事件A(或稱(chēng)事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱(chēng)此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱(chēng)此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則稱(chēng)事件A與事件B互斥A∩B＝?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件A∩B＝?；P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件．頻率與概率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱(chēng)為事件A的概率，簡(jiǎn)稱(chēng)為A的概率．古典概型特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步驟(1)判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱(chēng)為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類(lèi)似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有離散型隨機(jī)變量定義隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱(chēng)D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率計(jì)算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．兩點(diǎn)分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，而稱(chēng)p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱(chēng)分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法……在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．分步乘法計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，做第二個(gè)步驟有m2種不同的方法……做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理時(shí)兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類(lèi)時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，不能重復(fù).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)三個(gè)注意點(diǎn)(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事．(3)對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定．應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類(lèi)和分步．分類(lèi)要做到“不重不漏”，正確把握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問(wèn)題可借助圖表完成．排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0?。?Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列應(yīng)用問(wèn)題方法匯總直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列對(duì)于某些順序一定的元素(m個(gè))的排列問(wèn)題，可先把這些元素與其他元素一起(共n個(gè))進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)Aeq\o\al(n,n)除以m個(gè)順序一定的元素之間的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法種eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法分組分配平均分組、部分平均分組1．對(duì)不同元素的分配問(wèn)題(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)．(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組，就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)．(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．隔板法將個(gè)相同元素放入個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種。解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是“隔板法”，因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這個(gè)元素排成一列，共有個(gè)空，使用個(gè)“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個(gè)元素劃分為個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那個(gè)盒子環(huán)排問(wèn)題(1)把個(gè)不同的元素圍成一個(gè)環(huán)狀，排法總數(shù)為(2)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素相鄰，符合條件的排列數(shù)為(3)個(gè)不同的元素圍成一圈，個(gè)元素不相鄰，符合條件的排列數(shù)為涂色問(wèn)題涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問(wèn)題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）15個(gè)人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】15個(gè)人圍坐在圓桌旁從中任取4人，他們兩兩互不相鄰，則可先把11個(gè)人入坐好，再讓其余4人插空，共有種不同的圍坐方法，所以所求概率是，故選A．2．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先算出任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)，再討論個(gè)位是偶數(shù)并分2在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，以及個(gè)位是奇數(shù)并分1在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，最后求目標(biāo)概率.【詳解】將3個(gè)偶數(shù)排成一排有種，再將3個(gè)奇數(shù)分兩種情況插空有種，所以任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有種，任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種情況討論：當(dāng)個(gè)位是偶數(shù)：2在個(gè)位，則1在十位，此時(shí)有種；2不在個(gè)位：將4或6放在個(gè)位，百位或萬(wàn)位上放2，在2的兩側(cè)選一個(gè)位置放1，最后剩余的2個(gè)位置放其它兩個(gè)奇數(shù)，此時(shí)有種；所以個(gè)位是偶數(shù)共有20種；同理，個(gè)位是奇數(shù)也有20種，則任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，所以任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰做計(jì)數(shù)時(shí)，注意討論特殊位置上放置偶數(shù)或奇數(shù)，進(jìn)而分1、2是否在該位置的情況計(jì)數(shù).3．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤(pán)中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（

）種不同的放置與上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．5616【答案】C【分析】進(jìn)行顏色分配，然后利用分類(lèi)原理的相加和分步相乘的原理進(jìn)行分析即可.【詳解】①3個(gè)1，3個(gè)2，0個(gè)3如表：121212只用兩種顏色，并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，②1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3如表：132323選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，或313232選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，③2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)3如表：3223選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，或2323選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，所以不同的放置與上色方式有：.故選：C.4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用空間向量法求得面的一個(gè)法向量為，從而求得面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，進(jìn)而得到棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿(mǎn)足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，因?yàn)椋?，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，設(shè)是面上的點(diǎn)，則，故，則，不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，所以，當(dāng)且時(shí)，將寫(xiě)成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，從而確定三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿(mǎn)足，由此得解.5．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說(shuō)法正確的是（

）A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)，每人有4種安排法，故有種；對(duì)于選項(xiàng)，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對(duì)于選項(xiàng)，先分組再安排；對(duì)于選項(xiàng)，以司機(jī)人數(shù)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論即可.【詳解】解：①每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為，即選項(xiàng)錯(cuò)誤，②每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤，③如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（），即選項(xiàng)C錯(cuò)誤，④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有,從余下四人中安排三個(gè)崗位，故有；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有,從余下三人中安排三個(gè)崗位，故有；所以每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了排列知識(shí)的應(yīng)用.求解排列問(wèn)題的六種主要方法:1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列;4.插空法:對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;5.定序問(wèn)題除法處理:對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.6．（2022秋·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)已知條件“定位”中間數(shù)字，其次在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，放置在首或末位，則其余數(shù)字排列方式唯一確定.最后由古典概型計(jì)算公式即可得解【詳解】由1，2，3，4，5組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共個(gè)，前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增，說(shuō)明中間數(shù)字為1；在剩余的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，按照遞減順序,僅有一種排列方式放置在首兩位（或末兩位），則剩余兩位數(shù)字排列方式唯一確定，放置在最后兩位（或首兩位）.因此“前3個(gè)數(shù)字保持遞減，后3個(gè)數(shù)字保持遞增”的五位數(shù)有個(gè)，所以所求的概率．故選：A．7．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校?duì)于一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，則（

）A．A與B不互斥 B．A與D互斥但不對(duì)立C．C與D互斥 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合事件的運(yùn)算判斷事件間的互斥、對(duì)立關(guān)系，根據(jù)的關(guān)系判斷事件是否獨(dú)立.【詳解】由，，，即，故A、B互斥，A錯(cuò)誤；由，A、D互斥且對(duì)立，B錯(cuò)誤；又，，則，C與D不互斥，C錯(cuò)誤；由，，，所以，即A與C相互獨(dú)立，D正確.故選：D8．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，展開(kāi)式第項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即.故選：B9．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，另外六個(gè)數(shù)據(jù)分別是10，8，8，11，16，8，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為A．12 B．20 C．25 D．27【答案】D【分析】設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)這組數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，列出關(guān)系式，因?yàn)樗鶎?xiě)出的結(jié)果對(duì)于的值不同所得的結(jié)果不同，所以要討論的三種不同情況．【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)字是，則平均數(shù)為，眾數(shù)是，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，若，則中位數(shù)為，此時(shí)，，若，則中位數(shù)為，，，所有可能值為，，，其和為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查未知數(shù)的分類(lèi)討論，是一個(gè)綜合題目，這是一個(gè)易錯(cuò)題目．10．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，其中為展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)，，則下列說(shuō)法不正確的有（

）A．，B．C．D．是，，，…，是最大值【答案】B【分析】由三項(xiàng)式系數(shù)塔與楊輝三角構(gòu)造相似可得A，D正確，根據(jù)計(jì)算可得，，所以C正確.【詳解】由題意知，三項(xiàng)式系數(shù)塔與楊輝三角構(gòu)造相似，其第二行為三個(gè)數(shù)，且下行對(duì)應(yīng)的數(shù)是上一行三個(gè)數(shù)之和，當(dāng)時(shí)，故，是，，，…，的中間項(xiàng)，故最大，所以A，D正確；令可知：；當(dāng)時(shí)，，，，，所以，所以B不正確；令可知，，即；又因?yàn)?故，C正確.故選：B.11．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)；否則不過(guò)關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿(mǎn)足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過(guò)關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來(lái)看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．27 B．24 C．32 D．28【答案】A【分析】先求得每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率，利用二項(xiàng)分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，依題意，，則，，所以至少需要輪.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)事件結(jié)合的問(wèn)題，要注意區(qū)別兩者的不同，相互獨(dú)立事件的概率可以不相同，獨(dú)立重復(fù)事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”.二、多選題12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）隨著春節(jié)的臨近，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人寫(xiě)了一個(gè)祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機(jī)抽取一張作為收到的新春祝福，則（

）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為C．恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為D．每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為【答案】BC【分析】計(jì)算出四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，根據(jù)古典概型的概率公式以及條件概率的概率公式計(jì)算各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A,四個(gè)人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡為事件A,則,小張抽到小王寫(xiě)的賀卡為事件B,則已知小王抽到的是小張寫(xiě)的賀卡的條件下，小張抽到小王寫(xiě)的賀卡的概率為,B正確；對(duì)于C,恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的抽法有種，故恰有一個(gè)人抽到自己寫(xiě)的賀卡的概率為，C正確；對(duì)于D,每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的抽法共有種，故每個(gè)人抽到的賀卡都不是自己寫(xiě)的概率為，D錯(cuò)誤，故選：13．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）中國(guó)蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國(guó)際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說(shuō)中國(guó)傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，我市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)”）進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時(shí)（

）A．四支球隊(duì)的積分總和可能為15分B．甲隊(duì)勝3場(chǎng)且乙隊(duì)勝1場(chǎng)的概率為C．可能會(huì)出現(xiàn)三支球隊(duì)積分相同且和第四支球隊(duì)積分不同的情況D．丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)的情況下，其積分仍超過(guò)其余三支球隊(duì)的積分的概率為【答案】ACD【分析】舉例比賽的各種得分情況判斷AC，由互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算概率判斷BD．【詳解】四支球隊(duì)共6場(chǎng)比賽，例如甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平，則甲得9分，乙、丙、丁各得2分，AC均正確；每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率都為，則甲隊(duì)勝3場(chǎng)且乙隊(duì)勝1場(chǎng)的概率為，B錯(cuò)；丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)的情況下，其積分仍超過(guò)其余三支球隊(duì)的積分，三隊(duì)中選一隊(duì)與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則丙只得4分，這時(shí)，甲乙、甲丁兩場(chǎng)比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個(gè)它們之間的比賽無(wú)論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意，若丙全贏（概率是）時(shí)，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時(shí)甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲不能贏否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有平或輸，一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率，兩場(chǎng)均平，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽無(wú)論結(jié)論如何均符合題意，兩場(chǎng)甲都輸，概率是，乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是綜上概率為，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立的概率與互斥事件的概率公式，難點(diǎn)在于分析丙在輸?shù)谝粓?chǎng)的情況下如何才能使得分超過(guò)其他三人，方法是結(jié)合列舉法對(duì)六場(chǎng)比賽結(jié)果分步分析，確定每人的得分使之合乎題意．14．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式可得.【詳解】對(duì)于A：，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，∴，，故B正確；對(duì)于C：，，∴，故C正確.對(duì)于D：，，∴，∴，∴，所以D正確.故選：BCD.15．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)、處為止.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲從到達(dá)處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過(guò)到達(dá)處的方法有種C．甲、乙兩人在處相遇的概率為D．甲、乙兩人相遇的概率為【答案】BCD【解析】利用組合計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合組合計(jì)數(shù)原理可判斷B選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出乙經(jīng)過(guò)處的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出甲、乙兩人相遇的走法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】A選項(xiàng)，甲從到達(dá)處，需要走步，其中有步向上走，步向右走，則甲從到達(dá)處的方法有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)到達(dá)處，可分為兩步：第一步，甲從經(jīng)過(guò)需要走步，其中步向右走，步向上走，方法數(shù)為種；第二步，甲從到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法數(shù)為種.甲經(jīng)過(guò)到達(dá)的方法數(shù)為種，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，甲經(jīng)過(guò)的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過(guò)的方法數(shù)也為種，甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)為，甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向上走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，由C選項(xiàng)可知，走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，乙到處，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過(guò)處，則甲的前三步必須向右走，乙經(jīng)過(guò)處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；故甲、乙兩人相遇的概率，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查格點(diǎn)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題可利用如下結(jié)論求解：在平面直角坐標(biāo)系中，從到，每次只能向右或向上走一步，一共要走步，其中有步向上走，步向右走，走法種數(shù)為（或）種.16．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為1，2表示為10，3表示為11，7表示為111，即，，其中，或，記為上述表示中0的個(gè)數(shù)，如，．則下列說(shuō)法中正確的是（

）．A．B．C．D．1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中的自然數(shù)有35個(gè)【答案】ABD【分析】根據(jù)二進(jìn)制計(jì)數(shù)法逐個(gè)分析選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：∵，∴12表示為1100，∴，∵，∴18表示為10010，∴，∴，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：∵，∴轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后末尾必為0，又∵，∴轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后末尾必為1，∴，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，，∵，，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，則一共有個(gè)，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．17．（2022·江蘇南京·金陵中學(xué)?？级＃┠橙送读?00次籃，設(shè)投完前n次的命中率為．其中，….100．已知，則一定存在使得（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)k為不超過(guò)85的自然數(shù)，根據(jù)題意得，對(duì)A，記前k次投籃中，投中的次數(shù)減去不中的次數(shù)為，得到，通過(guò)分析即可判斷；對(duì)B，C，通過(guò)反例即可判斷；對(duì)D，如果不存在，使，分析可得，推出矛盾，即可判斷.【詳解】解：根據(jù)題意得：，其中k為不超過(guò)85的自然數(shù)，且；對(duì)A，記前k次投籃中，投中的次數(shù)減去不中的次數(shù)為，則，又，一定存在m，使得，此時(shí)，故A正確；對(duì)B，前100次投籃中，若前次投籃均不中，后面次投籃均命中，則對(duì)于，方程無(wú)整數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若前次不中，后面次投籃均命中，最后一次不中，則對(duì)于，方程無(wú)整數(shù)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如果不存在m，使得，則前5次投籃中至少有2次不中，前10次投籃中至少有3次不中，前15次投籃中至少有4次不中，依此類(lèi)推，前70次投籃中至少有15次不中，即前75次投籃中恰有15次不中，從而，矛盾，故D正確．故選：AD.18．（2022秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)，，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．若，，則D．當(dāng)，時(shí)，【答案】ACD【分析】分別令和，所得式子作差可得A正確；將代入，即可知B錯(cuò)誤；利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)得到，由此構(gòu)造不等式組求得，知C正確；列出的前項(xiàng)，說(shuō)明前項(xiàng)和大于即可得到D正確.【詳解】對(duì)于A，令得：；令得：，兩式作差得：，A正確；對(duì)于B，，，令得：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，展開(kāi)式的通項(xiàng)為：；由得：，即，解得：，又，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，；又，，，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理中與各項(xiàng)系數(shù)和有關(guān)的式子的求解、系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)問(wèn)題、不等式的證明問(wèn)題；解決各項(xiàng)系數(shù)和問(wèn)題的基本方法是賦值法；解決絕對(duì)值最大項(xiàng)的基本思路是利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式來(lái)構(gòu)造不等式組；不等式證明是能夠結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式，利用放縮的思想來(lái)處理.19．（2022春·江蘇蘇州·高三江蘇省昆山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．假設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，且p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．1是方程：的根B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【分析】根據(jù)方程的根的驗(yàn)證，可判斷A;對(duì)進(jìn)行等量代換，然后再進(jìn)行因式分解，構(gòu)造函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析,可判斷B,C,D;；【詳解】將代入中，成立，即1是方程：的根，故A正確；由以上分析可知，，則，所以，變形為，所以，即，即，令，若時(shí)，則的對(duì)稱(chēng)軸為，注意到，，若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故B,D正確；當(dāng)時(shí)，，的正實(shí)根，即原方程的最小正實(shí)根，故C錯(cuò)誤；故選：ABD20．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)一組樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：，其中n∈N*，．已知該樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)函數(shù)，x∈R．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)b∈R，則的平均數(shù)為B．設(shè)a∈R，則的方差為C．當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值D．【答案】AC【分析】A、B選項(xiàng)直接計(jì)算平均數(shù)和方差即可判斷；C選項(xiàng)先化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合得到，即可判斷；由的最小值即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的平均數(shù)，的平均數(shù)為，正確；對(duì)于B，的方差，的平均數(shù)為，方差為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，又，，故，故當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值，正確；對(duì)于D，由上知，，錯(cuò)誤.故選：AC.21．（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）乒乓球（tabletennis），被稱(chēng)為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類(lèi)體育項(xiàng)目，是推動(dòng)外交的體育項(xiàng)目，被譽(yù)為“小球推動(dòng)大球”．某次比賽采用五局三勝制，當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局比賽時(shí)，就由該選手晉級(jí)而比賽結(jié)束．每局比賽皆須分出勝負(fù)，且每局比賽的勝負(fù)不受之前已賽結(jié)果影響．假設(shè)甲在任一局贏球的概率為，實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)的期望值記為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．三局就結(jié)束比賽的概率為 B．的常數(shù)項(xiàng)為3C． D．【答案】ABD【分析】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，先計(jì)算出可能取值的概率，即可判斷A選項(xiàng)；進(jìn)而求出期望值，即可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】設(shè)實(shí)際比賽局?jǐn)?shù)為，則，，，因此三局就結(jié)束比賽的概率為，則A正確；則，由，則常數(shù)項(xiàng)為3，則B正確；由，則D正確；由，，所以，令，則；令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且越極端，越可能快結(jié)束，有，得，則C不正確.故選：ABD.22．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列命題中，正確的命題是(

)A．已知隨機(jī)變量服從，若，則B．已知，則C．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．某人在次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)概率最大【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A：利用二項(xiàng)分布期望、方差公式計(jì)算判斷；選項(xiàng)B：由互斥事件概率的加法公式計(jì)算判斷；選項(xiàng)C：利用正態(tài)分布圖象的對(duì)稱(chēng)性即可判斷；選項(xiàng)D：由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算公式和組合數(shù)公式,求出，，時(shí)的概率，通過(guò)解不等式求出的范圍即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，可得，，則，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：為必然事件，所以，而與互斥，，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若，則，，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樵?0次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率，所以當(dāng)時(shí)，，由得，即，因?yàn)?，所以且，又，即時(shí)，概率最大，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】二項(xiàng)分布的概率公式，可用作商法確定其中的最大值或最小值．23．（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲?乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為，則（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】BC【分析】由題設(shè)可得，又，可得，結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷正誤.【詳解】由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏局，，而，∴，故C正確；A：，錯(cuò)誤；B：，正確；D：當(dāng)時(shí)，，由A知，顯然的最大值不是，錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題設(shè)得到，利用二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的性質(zhì)求.24．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)和B選項(xiàng)直接通過(guò)賦值法進(jìn)行解決，C選項(xiàng)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，再令即可解決，D選項(xiàng)考慮到，比較兩邊的系數(shù)即可得出.【詳解】A選項(xiàng)：時(shí)，，A對(duì)．B選項(xiàng)：時(shí)，①時(shí)，②，B對(duì)．C選項(xiàng)：，求導(dǎo)得，時(shí)，，，C錯(cuò)．D選項(xiàng)：比較兩邊的系數(shù)，D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于C選項(xiàng)和D選項(xiàng)的判斷，C選項(xiàng)需要兩邊先同時(shí)求導(dǎo)，再進(jìn)行賦值，D選項(xiàng)需要先利用平方差公式進(jìn)行變形，再考慮兩邊項(xiàng)的系數(shù)，即可解決.三、填空題25．（2022秋·江蘇南京·高三南京市雨花臺(tái)中學(xué)?？计谥校┮阎?，則.【答案】30【分析】利用二項(xiàng)式定理的原理與組合的意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋允呛?xiàng)的系數(shù)，若從10個(gè)式子中取出0個(gè)，則需要從中取出3個(gè)，7個(gè)1，則得到的項(xiàng)為；若從10個(gè)式子中取出1個(gè)，則需要從中取出1個(gè)，8個(gè)1，則得到的項(xiàng)為；若從10個(gè)式子中取出大于或等于2個(gè)，則無(wú)法得到含的項(xiàng)；綜上：含的項(xiàng)為，則含項(xiàng)的系數(shù)為，即.故答案為：.26．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為．(2)若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于．(3)如圖所示的數(shù)陣中，用表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則以此規(guī)律為．(4)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知，且，有下列結(jié)論：①