學考專題04 函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）（解析版）

學考專題04函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）考點歸納考點歸納定義域①分式函數(shù)定義域：②偶次根式函數(shù)的定義域：③次冪型函數(shù)的定義域：④對數(shù)函數(shù)的定義域：⑤正切函數(shù)的定義域：單調(diào)性單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導數(shù)）復合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的四則運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：真題訓練真題訓練一、單選題1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，則（

）A．1 B．3 C．4 D．7【答案】C【分析】直接由偶函數(shù)求函數(shù)值即可.【詳解】由偶函數(shù)的性質(zhì)得.故選：C.2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，A不滿足條件；對于B選項，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，B不滿足條件；對于C選項，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，C滿足條件；對于D選項，函數(shù)在定義域上不單調(diào)，D不滿足條件.故選：C.3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C．y=|x| D．【答案】D【分析】判斷每個函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得答案.【詳解】，都是奇函數(shù)，排除A，B.，都是偶函數(shù)，在上遞增，在遞減，故選：D．4．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.【詳解】、是奇函數(shù)，不符合題意.在上單調(diào)遞減，不符合題意.是偶函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞增.故選：D5．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列函數(shù)在上不是增函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】解：對于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：在定義域上單調(diào)遞減，故C正確；對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：C6．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】逐項判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】對于A，在區(qū)間上是增函數(shù)，故A錯誤；對于B，在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，在區(qū)間上是增函數(shù)，故D錯誤；故選：B.7．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）若函數(shù)是偶函數(shù)，則可取一個值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義得,結(jié)合選項可確定答案.【詳解】∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴，即.∴或.當時，可得，不滿足函數(shù)定義.當時，,若，解得，故A錯誤;若，解得，故B正確;若，解得，故C錯誤;若，解得，故D錯誤;故選:B.8．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的對稱軸，而拋物線的開口向下，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而可求出的取值范圍【詳解】解：函數(shù)的圖像的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增，且有最小值 B．單調(diào)遞增，且有最大值C．單調(diào)遞減，且有最小值 D．單調(diào)遞減，且有最大值【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)分析即得解.【詳解】解：偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則有在上單調(diào)遞增，即有最小值為，最大值對照選項，A正確．故選：A10．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】C【分析】依次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷求解即可.【詳解】令，則,且，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯誤；令，則,且，是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯誤；故選：C11．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則(

)A．－12 B．12 C．9 D．－9【答案】B【分析】先計算出，然后利用函數(shù)的奇偶性即可完成.【詳解】，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故選：B.12．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知奇函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)以及函數(shù)的奇偶性確定正確答案.【詳解】A選項，，A選項錯誤.B選項，，B選項錯誤.C選項，是偶函數(shù)，C選項錯誤.D選項，為奇函數(shù)，符合題意.故選：D13．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知定義在R上的偶函數(shù)在是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)和在單減直接比較大小即可求解.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，在單減，則，，所以.故選：D14．（2023·廣東·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，然后根據(jù)，得到求解.【詳解】因為f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，解得，所以a的取值范圍是，故選：C二、填空題15．（2022秋·廣東·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)是上的偶函數(shù)，當時，，則．【答案】9【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】是偶函數(shù)，所以.故答案為：16．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【詳解】因為當時，，所以當時，，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，故答案為：.17．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則＝；【答案】－6【分析】運用奇函數(shù)性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又因為當時，，所以，所以.故答案為：.18．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則.【答案】-3【分析】當時，代入條件即可得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，且當時，．又因為，，所以，兩邊取以為底的對數(shù)得，所以，即．【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對數(shù)的計算．滲透了數(shù)學運算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．19．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，，則不等式的解集是；【答案】【分析】判斷函數(shù)當時的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】∵當x≥0時，，∴偶函數(shù)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增，且，所以，即，∴，解得.故答案為：.20．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是【答案】2【分析】由偶函數(shù)的定義求解即可【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，故答案為：221．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則.【答案】9【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則.故答案為：.22．（2023·廣東·高三學業(yè)考試）已知為奇函數(shù)，當時，；則當，的解析式為.【答案】【分析】當時，，由可得結(jié)果.【詳解】當時，，.故答案為：.23．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)對任意，都有成立．有以下結(jié)論：①；②是上的偶函數(shù)；③若，則；④當時，恒有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．則上述所有正確結(jié)論的編號是【答案】①③【分析】對于①，通過賦值可得，①正確；對于②，通過賦值可證為奇函數(shù)，②錯誤；對于③，通過賦值可得，③正確；對于④，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，可證在上單調(diào)遞減，④錯誤．【詳解】對于①令，則，解得，①正確；對于②令，則，∴，∴是上的奇函數(shù)，②錯誤；對于③令，則，∴，③正確；對于④設(shè)，則，∴，則，∴在上單調(diào)遞減，④錯誤．故答案為：①③．三、解答題24．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)，（且）(1)討論的奇偶性(2)若函數(shù)的圖像經(jīng)過點,求．【答案】(1)偶函數(shù)；(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷的奇偶性；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可以求出的值，然后求．【詳解】解：(1)函數(shù)定義域為，，且．，是偶函數(shù)．(2)的圖象過點，即，解得或且，或．即．25．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R．(1)若f(x)為偶函數(shù)，求a的值；(2)若函數(shù)g(x)＝af(x)＋2的最小值為8，求a的值．【答案】(1)0(2)2【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義，列出關(guān)系式，即可求出a的值；（2）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，通過討論a的范圍，列出關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故x2＋2|－x－a|＝x2＋2|x－a|，所以|x＋a|＝|x－a|，即x2＋2ax＋a2＝x2－2ax＋a2，化簡得4ax＝0，因為x∈R，所以a＝0．（2）①若a＝0，則g(x)＝2，不合題意；②若a＜0，則g(x)無最小值，不合題意；③若0＜a≤1，當x≥a時，g(x)在[a，＋∞)上單