安徽省馬鞍山市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

馬鞍山市2023年高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和座位號(hào)填在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡

“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題K答案』后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的K答案X

信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案』.K答案】不能答在試卷

上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，K答案）1必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的K答案％然后再寫上新K答案X不準(zhǔn)使用鉛筆和

涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.

4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={*">l},3={TQL2},則AlB=（）

A.{0,l,2}B.{1,2}C.{-l,0,l}D.{-1,0,1,2}

K答案HB

R解析」

"羊解D首先求集合A,再求AC3.

K詳析Ue'>l=x>0,所以A={x∣x>0},B={-1,0,1,2）,所以A3={1,2}.

故選：B

2.若復(fù)數(shù)Z滿足「_丘=3-i，則Z的虛部為（）

A.-1B.2C.1或2D.T或2

K答案UD

K解析H

K樣解Il設(shè)復(fù)數(shù)z=α+bi（α力∈R）,然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和概念即可求解

K詳析D設(shè)復(fù)數(shù)z=α+bi（α,O∈R）,因?yàn)閆H=3-i，

a2+h2-b=3

即02+〃一齒一人=3一3所以〈,解得：h=-l或b=2,

a=l

所以Z的虛部為T或2,

故選：D?

3.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656,則這組數(shù)據(jù)第85百分位

數(shù)是（）

A.652B.668C.671D.674

K答案，c

K解析H

K祥解賺據(jù)百分位數(shù)的定義，求得12x85%=10.2,即可確定第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，可得K答案》

R詳析2由題意這組數(shù)共12個(gè)，則12χ85%=10.2,

將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674,

故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，即671,

故選：C

4.5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：C=Wlog它表示在受噪音干擾的信道中，最

大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其

中士叫做信噪比.當(dāng)信噪比士比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬

NN

W,而將信噪比一從IOoO提升至12000,則C大約增加了（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771,

N

Ig5=0.6990）（）

A.25%B.30%C.36%D.45%

K答案HC

K解析力

K祥解Il根據(jù)題意將信噪比*分別為1000,12000代入香農(nóng)公式，列出等式，利用換底公式即可求出與，

即可求解.

q

心詳析』因?yàn)楫?dāng)信噪比r比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)，

qs,

所以當(dāng)士=1000時(shí)G=Wlog21000,當(dāng)一二12000時(shí)G=WIOgN2000,

NN

C2_Iog212000Ig12000lg3+lg4+lgl000

所以=Iog100012000=

C1Iog21000IglOOOIglOOO

=l3+212+3所以6/=*.

gggl36ι-l≈0.36,

3ClO

所以C大約增加了36%,

故選：C.

5.己知平面向量α=(l,3),力=(—2,4),則α在b上的投影向量為()

A.(1,-2)B.(-1,2)

C.(1,3)

工答案』B

K解析H

ba?b

R祥解2根據(jù)α在b上的投影向量是同CoS/耳=jψ”計(jì)算即可解決.

R詳析D由題知，a=(1,3),6=(-2,4),

所以α?0=-2+12=10,W=J4+16=26,

設(shè)α與6夾角為θ,

所以“在b上的投影向量是同cos∕(=/理-=-⑵，

故選：B.

6.己知拋物線片:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率大于零的直線/與用相交于A,B兩點(diǎn)，若直線/與拋

物線用：丁=一4%相切，則∣AS∣=()

A.4B.6C.8D.10

K答案HC

R解析D

R祥解』由已知設(shè)直線AB的方程為y=MxT),k>U,由直線AB與拋物線E?相切，列方程求3

聯(lián)立直線AB與拋物線Ei的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長(zhǎng)公式求IAB∣.

K詳析H拋物線g：y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),

由已知可設(shè)直線AB的方程為y=%(x-1)，k>0,

-y2--4元

因?yàn)橹本€AB與拋物線七2相切，所以《只有一組解，

y=kx-k

所以方程公f-(2公一4卜+左2=0有且只有一個(gè)根，

故八=[一(2左2—4)，—4/=16—16Z2=0,又攵〉0,

所以Z=I,

y2=4x

聯(lián)立廠,消九得f_6x+l=0，

?=X-I

方程f-6x+l=0的判別式A=36-4>0,

設(shè)A(XI，則/+/=6,

所以∣A6∣=xl+x2+p=6+2-8,

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=tan(3x+°)(0>0,|同<?的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,6)，若函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,兀]內(nèi)

恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

'25"

A.B.2U

_353_,3,3j

^58^-581

C.D.

,3,3J

K答案，D

K解析U

K祥解11首先求。，再根據(jù)xe[0,π],求。尤+三的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，列不等式，即可求力的取

值范圍.

K詳析H由條件可知/(0)=tano=√LI同<],所以°

/Jt?rJrTrTr

/(x)=tanωx+-,當(dāng)尤∈[θ,π]時(shí),ωx+-e-,ω-π+-,

若函數(shù)在區(qū)間［O,兀］上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則2τt≤iυ?7r+m<3τr,

58

解得—≤69<—.

33

故選：D

8.已知六棱錐的所有頂點(diǎn)都在半徑為2的球的球面上，當(dāng)六棱錐的體積最大時(shí)，其側(cè)棱長(zhǎng)為()

A偵B.26C辿D.逑

333

K答案UA

K解析D

K樣解D結(jié)合球和正六棱錐的性質(zhì)求出體積的表達(dá)式，令/(x)=4χ2-χ3(o<χ<4),求導(dǎo)，利用函數(shù)的

單調(diào)性求得取最值時(shí)的條件，進(jìn)而求解即可.

K詳析H由題意可知：六棱錐的底面六邊形的頂點(diǎn)在同一個(gè)截面圓上.

易知當(dāng)六邊形為正六邊形時(shí)，其面積最大.要使六棱錐的體積最大，則該六棱錐為正六棱錐.

不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為∏(0<β≤2),六棱錐的高為Λ(0<Λ<4),

則正六邊形的外接圓的半徑為α?由球的性質(zhì)可知：(∕Z-2)2+∕=4,則/=4〃_〃2,

所以正六棱錐的體積IZ=1x6XLa2Xsin600×A=^-(4∕ι2-Λ3)>

322

設(shè)/(χ)=4X2-√(0<Λ<4),貝IJf'(x)=8x-3X2，

QQ

當(dāng)Xe(O,§)時(shí)，f'(x)>O；當(dāng)xe(§,4)時(shí)，f?x)<O,

QQQ

所以函數(shù)f(χ)在(0,§)上單調(diào)遞增，在(§,4)上單調(diào)遞減，當(dāng)X=：時(shí)，函數(shù)"O取最大值，

即Zz=§時(shí)，V取最大值，此時(shí)/=必，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)/=爐方=EI二豆=±西，

39V993

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為rh=l,年=2,母線AB長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為AB的

中點(diǎn)，則()

B.圓臺(tái)的側(cè)面積為12π

C.圓臺(tái)母線Ae與底面所成角為60。

D.在圓臺(tái)的側(cè)面上，從點(diǎn)C到點(diǎn)E的最短路徑長(zhǎng)為4

K答案，AC

K解析H

"羊解力根據(jù)已知求體積;過(guò)A作Af7/0。2交底面于F,判斷出NABE即為母線AB與底面所成角；作

出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，直接求出面積；圓臺(tái)的側(cè)面上，判斷出從C到E的最短路徑的長(zhǎng)度為CE,等逐個(gè)判

斷即可求解.

K詳析》對(duì)于A：圓臺(tái)的高為6，則圓臺(tái)的體積V=-^π×(I2+1x2+2?)x6=K(Cm3),A正確；

對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，

其面積為S=JX2τιx2x4—'x2兀xlx2=6兀.故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C：過(guò)A作Ab∕∕θ∣θ2交底面于R則?Q_L底面，所以NAB/即為母線A8與底面所成角.

BF1

在等腰梯形ABCD中，45=2,3/=2—1=1,所以0)5/43/二—=-

AB2

因?yàn)镹ABF為銳角，所以NABF=60°.故C正確;

對(duì)于D：如圖示,在在圓臺(tái)的側(cè)面上,從C到E的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：EB=FC=4,AB=2.

由七為AB中點(diǎn)，所以1E=3,所以CE=JC尸2+FE?=J4?+32=5.故D錯(cuò)誤.

10.已知。是ABC的邊BC上的一點(diǎn)(不包含頂點(diǎn))，且AO=xAB+yAC,則()

A.x+y=lB.x+2y=l

C.λ∕x+λ∕γ≥√2D.Iog2%+Iog2γ≤-2

K答案HAD

K解析H

K樣解》利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)果.

K詳析D。是UWC的邊BC上的一點(diǎn)(不包含頂點(diǎn))，則有3。=；IBC(O<X<1),

得Ao-AB=MAe-AB),gpAD=λAC+(?-λ)AB,

X=I—λ,

XAD=XAB+yAC,,

。=X

可得x+y=l,0<χ<l,0<y<l,2y∣xy<x+y=l,xy≤^,

所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

+=x+y+2y∕xy≤x+y+x+y=2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=；時(shí)等號(hào)成立，所以4+JJ<JΞ,

C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

Iog2X+Iog2y=Iog2(xy)≤Iog2；=一2,D選項(xiàng)正確.

故選：AD

11.已知直線/[l+α)x+y+2α=0(α∈R)與圓C：/+(y—2)2=4,則()

B.當(dāng)α=l時(shí)，/被圓C截得的弦長(zhǎng)為述

A.直線/必過(guò)定點(diǎn)

5

C.直線/與圓C可能相切D.直線/與圓。不可能相離

K答案XABD

K解析H

R祥解力將直線/變形為x+y+α(x+2)=0,即可求定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A：根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，判

斷B；根據(jù)直線/所過(guò)定點(diǎn)與圓。的關(guān)系，再結(jié)合直線方程的形式，即可判斷CD.

K詳析HA./:x+y+a(x+2)=0,聯(lián)立1萬(wàn)+2—。，得Iy—2，所以直線過(guò)點(diǎn)(一2,2)，故A正確；

44

B.當(dāng)α=l時(shí)，Γ.2x+y+2=0,圓心(0,2)到直線/的距離d=左弄=玄，弦長(zhǎng)

=2√r2-J2=-√5,故B正確；

5

C.直線所過(guò)定點(diǎn)(-2,2)在圓上，過(guò)點(diǎn)(-2,2)與圓C相切的直線是X=-2,

但直線∕[l+α)x+y+2a=0(α∈R),表示斜率存在的直線，表示不了直線x=-2,

故不存在直線/與圓C相切，故C錯(cuò)誤；

D.直線所過(guò)定點(diǎn)(-2,2)在圓上，所以直線/與圓C總有公共點(diǎn)，不可能相離，故D正確.

故選：ABD

12.已知函數(shù)/(x)=e"-In尤+(r-l)x,若/(χ)≥o恒成立，則實(shí)數(shù)/的可能的值為()

1112

A.-B.—C.~-D.一

e2eee

K答案XAD

K解析H

K樣解》根據(jù)/(x)≥o轉(zhuǎn)化成e"+比≥lnx+ehl?v恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)y'+x,利用導(dǎo)數(shù)求解g(x)的單

IrlX

調(diào)性，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成及3Inr恒成立，構(gòu)造缺力=_『，求解最值即可.

R詳析U.f(x)=e"—InX+(7-l)x≥O=>e"+∕?≥lnx+x=etv+∕X≥lnx+eklx,

故/U)≥o恒成立，轉(zhuǎn)化成eu+a>lnΛ+ehl，恒成立，

記g(x)*r+x,g,(x)=ev+l>O,則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，故由e"+比≥lnx+e"x得

g(a)3g(l∏x),故優(yōu)3]nx恒成立，

iBΛ(x)=—,hf(x)=-~~等,故當(dāng)％>e時(shí),單調(diào)遞減，當(dāng)()<x<e時(shí)，∕zr(x)>O,∕z(x)

XX

單調(diào)遞增，故當(dāng)％=e時(shí)，MX)取最大值L

e

.l?irJlnx)1

故由田俊znx1?」恒成立，B∣∏>—,故∕≥上,

XIXJmaXe

故選：AD

Kr點(diǎn)石成金9本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能

力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方

程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；己知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，

解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,b2),若P(OWXWl)=P(5WXW6),則4=.

K答案13

K解析D

K祥解力根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性即可求解.

R詳析2由于P(OWXWI)=P(5WXW6),可知正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，故4=3

故R答案X為：3

14.若數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，S5<3α4,寫出滿足題意的一個(gè)通項(xiàng)公式％=.

K答案》2n-48答案》不唯一)

K解析H

"羊解H設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4，利用已知條件求出卬的范圍，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.

K詳析》設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為％,且公差d=2,

則S5<3a405q+IOd<3al+9d,

即q<-l,所以=q+(〃—l)d=2〃-2+q，

令k——2+q<—3,所以Ctfj—2〃+k(k<-3),

所以可取4=2〃—4

故K答案』為：2"—4(K答案》不唯一)

15.已知函數(shù)“X)與g(χ)的定義域均為R,/(%+l)為偶函數(shù)，g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，若

/(x)+g(x)=dτ,則〃2)g⑵的值為.

R答案》2

K解析D

K祥解』通過(guò)賦值得/⑵+g⑵=3,結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性，奇偶性得到

f(x)+g(x)=f(2-x)-g(2-x)=x2-l,則〃2)-g⑵=T,解出即可.

K詳析》因?yàn)?(x)+g(x)=χ2-i,令》=2得/⑵+g(2)=3,

又因?yàn)?(%+l)是偶函數(shù)，所以/(x)圖像關(guān)于直線X=I對(duì)稱，

即/(x)=∕(2-x)①

又因?yàn)間(x)的圖像關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，

所以函數(shù)力(X)=g(χ+D是奇函數(shù)，即〃(一X)=-〃(X),

g(-x+l)=-g(x+l),令一χ+1代換X,得g(χ)=-g(-χ+2)②

則將①②代入/(X)+g(x)得f(x)+g(x)=/(2-x)-g(2-Λ)=x2-l

令尤=()得/(2)-g(2)=-l結(jié)合/(2)+g(2)=3,解得/(2)=1,g(2)=2,

所以f(2)g(2)=2,

故R答案H為：2.

2

Y

16.已知橢圓C：一+=l(α>?>0)的焦距為2,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢

aF

2

圓C于A,B兩點(diǎn)，若X軸上的點(diǎn)P滿足IPAl=IP@且∣PF∣>］恒成立，則橢圓C離心率e的取值范圍為

口答案，0,孝

R解析D

K樣解》根據(jù)給定條件，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出線段AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可列式求解

作答.

K詳析》依題意，點(diǎn)尸（1,0）,設(shè)直線A3h="+l,f≠0,A（M,χ）,次/，為），

X=（V+1CCCCCC…

由4?2222,2消去X得：Sf+α）y+2Z?"一。=O,

b-x+ay=ab

,2b1tb2-a2b2八匚幾…3』，上一/b1t、

貝n1l叮"當(dāng)=一加壽2％=質(zhì)/'線段的的中點(diǎn)M?='一而奇）’

因?yàn)楱OE4∣=∣PB∣,則有WAβ,直線PM:y+fPr=-f（x--,）,

b廣+crhr+?

令y=0得點(diǎn)P（Iw,0）,而〃一戶=ι,有,：J=n，l、-<1，

tπ+Vbr+aIH+a"

21211

又IP可>彳，即I-K_7>；，因此0<κ一-<τ>即%2+片>3，

113bzt2+a23b^Γ+a23

依題意，從產(chǎn)+/>3恒成立，而恒有〃/2+“2>。2,因此q2≥3=α≥百，離心率e=L≤且，

a3

所以橢圓C離心率e的取值范圍為0<e≤-.

3

故K答案U為：

H點(diǎn)石成金JF方法r點(diǎn)石成金J：求橢圓離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：①求出a,C,

代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于α,b,C的齊次式，結(jié)合"="一,2轉(zhuǎn)化為”，C的齊次式，然后等式（不

等式）兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛%｝,q=3,4=5,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，滿足b,,τ=4+h-a也,且打，2&,打成

等差數(shù)列.

（1）

%,（"為奇數(shù)）,.

同;〃為偶數(shù);'求數(shù)列間的前2〃項(xiàng)和L

（2）記數(shù)列｛%｝滿足:c,=<

K答案Il(I)α,,=2"+l("∈N*),bn=2"

,4

2),

(2)ηn=2π+π+-(4-l)

R解析』

K祥解』(1)首先判斷數(shù)列｛"｝為等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)條

件求數(shù)列｛d｝的首項(xiàng)，即可求得數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，利用分組轉(zhuǎn)化法，利用等差，等比求和公式求和.

K小問(wèn)1詳析』

由題意，d+∣=an+lbn-anbn,%=3,α2=5,令〃=1得24=3，又?jǐn)?shù)列｛4｝為等比數(shù)列,所以?+∣=22,

即數(shù)列｛"｝為公比為2等比數(shù)列.

所以由bn+l=an+ibn-anbn可得2bn=an+tbl,-anbn即an+l-an=2,數(shù)列由,｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差

數(shù)列，

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：an=3+2("-l)=2"+l("∈N*).

由打，24,々成等差數(shù)列，得：b2+b5=4a4,2仇+164=36,b、=2,有2=2".

R小問(wèn)2詳析)

+為奇數(shù))

由m知/'數(shù)列｛qj的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以首

[2",(般為偶數(shù))

項(xiàng)為4,公比為4的等比數(shù)列.

τ/、〃八/.??〃(〃T)“4(1-4,')

T2π=^+ai+a5+--+a2l^)+(b2+b4+b6+---+b2,1)=3n+—--?4+———

Z1—4

?4

=2n2+n+-(4n-l).

,,_tanβ+tanC2al+sin2C-cos2C∕τ_/r■(>__

18.已知條A件：①------------=-；②-----------------------=13；③√30=2ncsιnBr+不.在這j三個(gè)

tanBbl+sin2C+cos2CI3)

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：在一ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別是“，b,

J滿足：.注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)求角C的大??；

(2)若ABC為銳角三角形，c=B,求/+〃的取值范圍.

2

π

K答案X(1)C=-

3

53

(2)

4,2

K解析』

K祥解》(1)選擇條件①時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解，選擇條件②時(shí)利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)

即可求解，選擇條件③時(shí)利用正弦定理和三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可求解;

(2)根據(jù)正弦定理可得α=sinA,?=sinB,從而/+O?=Sin?A+sin?B，再根據(jù)B=W-A,即可得到

1JT

a2+?2=l+-sin(2A--),利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求取值范圍.

26

K小問(wèn)1詳析』

tanB+tanC

選擇條件①

tanB

tanB÷tanC_sinBcosC+cosBsinC_sin(B+C)_sinA_a

tanBSinBcosCsinBcosCsinBcosCbcosC

所以‘一=網(wǎng)，于是COSC=4，又Ce(O,兀)，所以C=工.

bcosCb23

l÷sin2C-cos2C

選擇條件②=?∣3：

1+sin2C+cos2C

l+sin2C-cos2C_2sinCcosC+2sin2C_2sinC(cosC+sinC)

因?yàn)?tanC,

1+sin2C+cos2C2sinCcosC+2cos2C2cosC(cosC+sinC)

解得tanC=G,又Ce(O,兀)，所以。=三.

選擇條件③√3fl=2csin(β+-)：

3

則Ga=c(sinB+?∕3cosB)，

由正弦定理得：√3SinA=sinCsinB+√3sinCcosB)

即>∕3sin(B+C)=sinCsinB+?/?sinCcosB,

整理得：?/?sinBcosC=SinCsinB>

由SinBH()得：tanC=G,又Ce(0,2,所以C=乙.

3

R小問(wèn)2詳析)

由(1)知，C=],β=y-A,ABC為銳角三角形，所以

由正弦定理Q=——=---=1,得α=sinA,b=sinB,

sinAsinBsinC

l-cosf^-2A

于λu'a2+b2=sin2A+sin2β=sin2A+sin2(^-A)=--"+

2

=1-∣[cos2A+cos(y-2A)]=1-?(?cos2Λ-sin2A)

化簡(jiǎn)得，=ι+lshl(2A-二)，

26

因?yàn)槎?lt;A<二,所以2<2A—二<2,所以J<sin(2A-二)41,

6266626

—<1+—sin(2A——)≤—，

4262

(53

故小萬(wàn)的取值范圍為『5

19.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為正方形，PD，底面ABC0,PD=DC=4,M為線

段尸。的中點(diǎn)，N在線段BC上，且BN=LBC.

4

(1)求證：平面QMN_L平面PBC；

(2)求直線AB與平面DWN所成角的正弦值.

K答案，(1)證明見(jiàn)K解析Il

⑵遮

34

K解析D

K祥解II(I)證法1：幾何法，要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明Z)Ml

平面PBC,即可證明；

證法2：向量法，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面OMN和平面PBC的法向量，證明法向

量垂直，即可證明面面垂直；

(2)證法1,幾何法，利用平行關(guān)系，以及等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)C到平面Z)MN的距離，即可求得線面角；

證法2：向量法，利用線面角的向量法，即可求解.

K小問(wèn)1詳析』

證法1：因?yàn)槭酌鍭BeO,BCU底面ABC。，所以PDLBC,

又ABCD為正方形,所以BCI.CD，

且PZ)CCD=O,PDU平面PCD,CDU平面PCD,所以BC工平面PC。，

又DWU平面PCD，所以BCLOM,

因?yàn)镻o=QC,〃為線段PC的中點(diǎn)，所以Z?A/_LPC,

且JBCCPC=C,BCU平面PBC,PCU平面尸BC,所以Zwl平面尸BC,

而Z)MU平面。肱V,所以平面OMN_L平面PBC.

證法2：以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC，Z)P分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z,

如圖，由已知可得O(0,0,0),M(0,2,2),N(3,4,0),P(0,0,4),3(4,4,0),C(0,4,0),則

DM=(0,2,2),ON=(3,4,0),PB=(4,4,-4),PC=((),4,-4).

設(shè)平面DMN法向量為勺=(Xl,%,z∣),

2yl+2z.=0

由nl_LDW,公上DN得飛?DM=0,%?DV=0,所以《_

3玉+4y1=O

44

令Z]=l,得X=-1,x1,所以勺=(1,-1,1).

設(shè)平面PBC的法向量為%=(9,％,Z2)，

4x,+4y,-4z,=O

由%_LPB,巧_LPC得嗎PB=O,%?PC=O,所以"：_4"_八一

4y2—4Z2=O

令Z2=l,得％=1，工2=。，所以4=(0,1,1)，

因?yàn)椤?4=0,所以〃所以平面OMN_L平面PBC.

K小問(wèn)2詳析H

方法1：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AB〃C￡>，

所以直線AB與平面DMN所成角等于直線CD與平面DMN所成角，設(shè)所求角為。，

因?yàn)锽Cl平面PeD,CMU平面PC。，

所以BCLCM,

故MN=NMC2+CM=J（2⑹2+3?=后,DN=√DC2+CN2=√42+32=5-DM=2血，

MN2+DM2=ON2,所以ADMN=90°,

所以SADMN=回，又S=6,點(diǎn)M到平面CZ）N距離為2,

II12

設(shè)C點(diǎn)到平面。MN的距離為〃，由Z-DMN=%-aw,得qx6χ2=M后又h,得力=χ,

33V34

又8=4,所以sinθ=4-=±區(qū).

CD34

方法2：因?yàn)锳B=。C=（0,4,0）,平面DWN的法向量為n1=g,-l,l）,

?AB-n?3Λ^4

設(shè)直線與平面DMN所成的角為θ，則sinθ=|cos<AB,n>∣=J~~--?=.

xIABrIr〃J34

20.為了了解養(yǎng)殖場(chǎng)的甲、乙兩個(gè)品種成年水牛的養(yǎng)殖情況，現(xiàn)分別隨機(jī)調(diào)查5頭水牛的體高（單位：cm）

如下表，請(qǐng)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

甲品種137128130133122

乙品種Hl110109106114

（1）已知甲品種中體高大于等于130Cm的成年水牛以及乙品種中體高大于等于IIICm的成年水牛視為“培

育優(yōu)良”，現(xiàn)從甲品種的5頭水牛與乙品種的5頭水牛中各隨機(jī)抽取2頭.設(shè)隨機(jī)變量X為抽得水牛中“培

育優(yōu)良”的總數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

（2）當(dāng)需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時(shí)候，如果兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量尺度相差大，或者數(shù)據(jù)的量綱不同，

直接使用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)進(jìn)行比較是不合適的，此時(shí)就應(yīng)當(dāng)消除測(cè)量尺度和量綱的影響.而變異系數(shù)（C.V）可以做

到這一點(diǎn)，它是原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)平均數(shù)的比，即變異系數(shù)的計(jì)算公式為：變異系數(shù)

準(zhǔn)美

=子瞬*100%?變異系數(shù)沒(méi)有量綱，這樣就可以進(jìn)行客觀比較了?從表格中的數(shù)據(jù)明顯可以看出甲品種的

平均數(shù)

體高水平高于乙品種，試比較甲、乙兩個(gè)品種的成年水牛的變異系數(shù)的大小.（參考數(shù)據(jù)：√25^2≈5.02.

V6.8≈2.61)

R答案II(I)分布列見(jiàn)K解析2，E(X)=2

(2)甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大

K解析H

K祥解根據(jù)古典概型概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，根據(jù)X的取值，分別求概率，即可求分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)，分別求兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，即可求兩個(gè)品種的變異系數(shù)，比較大小.

K小問(wèn)1詳析》

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,

P(X=O)=^lj

=0.03,P(X=I)==0.24,

c5c5

「2「2./?lz?l/?l/??.廠2廠2廠2/?l/?l./?l「2

P(X=2)=CZG+CSC;CCS+CSG=046,P(X=3)=C3GC3+年C=θ24,

P(X=4)=??=0.03.

隨機(jī)變量X的分布列為:

X01234

P0.030.240.460.240.03

隨機(jī)變量X的期望E(X)=OXo.03+1x0.24+2x0.46+3x0.24+4x0.03=2.

R小問(wèn)2詳析)

2222

^=1(137+133+130+128+122)=130,?=∣(7+3+0+2+8)=25.2,s,l,≈5.02.

___11

X乙=j(l11+110+109+106+114)=110,?=-(12+0+l2+42+42)=6.8,?≈2.61.

根據(jù)公式，甲品種的變異系數(shù)為%x100%a3.86%,乙的變異系數(shù)為"?XlOO%≈2.37%,

130IlO

所以甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大.

21.平面直角坐標(biāo)系。孫中，P(%,%乂聞>α)是雙曲線C：二?-*=l(α>0,?>0)上一點(diǎn)，A,

a^b^

8分別是雙曲線C的左，右頂點(diǎn)，直線Q4,PB的斜率之積為3.

(1)求雙曲線C的漸近線方程：

(2)設(shè)點(diǎn)尸關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,直線PB與直線QA交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作X軸的垂線，垂足為N,

求證：直線PN與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn).

K答案U(1)y=±y∕3x

(2)證明見(jiàn)K解析』

K解析D

22

K祥解D(I)根據(jù)斜率公式，結(jié)合點(diǎn)尸(%,九)滿足與一與=1,即可求雙曲線的漸近線方程;

ab^

(2)首先利用點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)直線QAPB的直線方程，并聯(lián)立求交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求直線PN的方程，與

雙曲線方程聯(lián)立，證明A=O.

K小問(wèn)1詳析工

r2v22

由題意，A(—α,0),B(a,O),P(XO,%)滿足鼻—4=],即此=勺h(片一片)

a~b'a

%%=巾=￥=匕

-22—?2~2

÷ClAo-QXQ—Cl~—Cl~Cr

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±也X.

K小問(wèn)2詳析》

由題，A(-α,O),B(a,O),直線PB:y=—α),直線QA:>=二+α).

XQ-ax0+a

聯(lián)立直線尸5與直線QA方程，解得XM=幺，故XN=幺.

??

由(1)知雙曲線C：3f-y2=3/,故y：=3(x；-/),

于是直線PN：)'=一?Y"一工')，即y=T?(x—幺)，即y=也X-犯，與雙曲線C聯(lián)立得:

?-----?-a?%%