壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析

壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析一、本文概述隨著能源危機(jī)和環(huán)境問題的日益突出，綠色、可再生的能源技術(shù)成為了全球研究的熱點(diǎn)。其中，壓電發(fā)電技術(shù)作為一種新型的無源能量收集方式，因其能夠?qū)h(huán)境中的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，受到了廣泛關(guān)注。壓電懸臂梁作為壓電發(fā)電裝置的核心部分，其發(fā)電性能直接影響到整個(gè)裝置的能量轉(zhuǎn)換效率。因此，對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析，不僅有助于深入理解其發(fā)電機(jī)制，而且可以為裝置的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。本文旨在探討壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析方法。我們將對(duì)壓電懸臂梁的基本工作原理進(jìn)行概述，包括壓電效應(yīng)的基本原理和壓電懸臂梁的工作機(jī)制。我們將詳細(xì)介紹壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模過程，包括力學(xué)模型、電學(xué)模型以及機(jī)電耦合模型的建立。在此基礎(chǔ)上，我們將利用仿真軟件對(duì)模型進(jìn)行仿真分析，研究不同參數(shù)對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電性能的影響。我們將總結(jié)分析結(jié)果，提出優(yōu)化壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建議和展望未來的研究方向。通過本文的研究，我們期望能夠?yàn)閴弘姲l(fā)電技術(shù)的發(fā)展提供有益的理論支持和實(shí)踐指導(dǎo)，推動(dòng)其在能源收集領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。二、壓電懸臂梁發(fā)電裝置理論基礎(chǔ)壓電懸臂梁發(fā)電裝置的核心理論基礎(chǔ)主要源于壓電效應(yīng)。壓電效應(yīng)，即某些晶體在受到機(jī)械力作用時(shí)，其內(nèi)部正負(fù)電荷中心會(huì)發(fā)生相對(duì)位移，從而在晶體表面產(chǎn)生電勢差的現(xiàn)象。這種效應(yīng)允許機(jī)械能直接轉(zhuǎn)化為電能，為懸臂梁發(fā)電裝置提供了理論基礎(chǔ)。在壓電懸臂梁發(fā)電裝置中，懸臂梁作為主要的能量轉(zhuǎn)換元件，當(dāng)受到外部激勵(lì)（如風(fēng)、振動(dòng)等）作用時(shí)，梁體會(huì)發(fā)生形變，進(jìn)而產(chǎn)生壓電效應(yīng)。此時(shí)，懸臂梁的表面會(huì)產(chǎn)生電荷分布，形成電勢差，從而輸出電能。為了深入理解和優(yōu)化壓電懸臂梁發(fā)電裝置的性能，需要對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。常見的建模方法包括集中參數(shù)模型和分布參數(shù)模型。集中參數(shù)模型主要關(guān)注懸臂梁的整體動(dòng)態(tài)特性和壓電效應(yīng)，適用于低頻、大振幅的情況。而分布參數(shù)模型則考慮懸臂梁的詳細(xì)結(jié)構(gòu)和振動(dòng)模態(tài)，適用于高頻、小振幅的情況。除了建模方法，仿真分析也是研究壓電懸臂梁發(fā)電裝置的重要手段。通過仿真，可以模擬不同外部激勵(lì)下懸臂梁的形變和電荷分布情況，進(jìn)而預(yù)測其發(fā)電性能。仿真還可以用于優(yōu)化懸臂梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)（如長度、寬度、厚度等）以及壓電材料的性能，以提高發(fā)電效率和穩(wěn)定性。壓電懸臂梁發(fā)電裝置的理論基礎(chǔ)為壓電效應(yīng)，通過建立合適的數(shù)學(xué)模型和進(jìn)行仿真分析，可以深入了解其發(fā)電機(jī)制和性能，為實(shí)際應(yīng)用提供有力支持。三、壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模是一個(gè)涉及多學(xué)科知識(shí)的復(fù)雜過程，包括材料力學(xué)、電路分析、壓電效應(yīng)理論等。本章節(jié)將詳細(xì)介紹壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模過程，為后續(xù)仿真分析提供理論基礎(chǔ)。壓電懸臂梁發(fā)電裝置通常由壓電材料（如壓電陶瓷或壓電復(fù)合材料）制成，一端固定，另一端自由。當(dāng)懸臂梁受到外部機(jī)械力作用時(shí)，其內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變，進(jìn)而產(chǎn)生壓電效應(yīng)，導(dǎo)致懸臂梁表面產(chǎn)生電荷分布。壓電材料的壓電效應(yīng)可以通過壓電方程來描述。壓電方程是描述壓電材料應(yīng)變、應(yīng)力、電場和電位移之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。對(duì)于線性壓電材料，其壓電方程可以表示為：其中，(\sigma)為應(yīng)力張量，(D)為電位移向量，(c)為彈性剛度矩陣，(e)為壓電應(yīng)力系數(shù)矩陣，(\epsilon)為介電常數(shù)矩陣，(S)為應(yīng)變張量，(E)為電場強(qiáng)度向量。當(dāng)懸臂梁受到外部激勵(lì)時(shí)，其動(dòng)力學(xué)行為可以通過動(dòng)力學(xué)方程來描述。懸臂梁的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：M\ddot{u}(t)+C\dot{u}(t)+Ku(t)=F(t)其中，(M)為質(zhì)量矩陣，(C)為阻尼矩陣，(K)為剛度矩陣，(u(t))為懸臂梁的位移向量，(F(t))為外部激勵(lì)力向量。在懸臂梁的動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步建立壓電發(fā)電模型。壓電發(fā)電模型主要描述了懸臂梁在受到外部激勵(lì)時(shí)，通過壓電效應(yīng)將機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能的過程。這一過程可以通過電荷守恒定律和歐姆定律來描述?；谏鲜隼碚撃Ｐ停梢岳梅抡孳浖ㄈ鏑OMSOLMultiphysics、ANSYS等）建立壓電懸臂梁發(fā)電裝置的仿真模型。仿真模型可以綜合考慮懸臂梁的結(jié)構(gòu)、材料屬性、外部激勵(lì)條件等因素，對(duì)壓電發(fā)電過程進(jìn)行數(shù)值模擬和分析。通過以上步驟，可以建立起壓電懸臂梁發(fā)電裝置的完整模型，為后續(xù)仿真分析提供理論基礎(chǔ)。這些模型不僅有助于深入理解壓電發(fā)電機(jī)制，還可以為壓電懸臂梁發(fā)電裝置的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供指導(dǎo)。四、壓電懸臂梁發(fā)電裝置的仿真分析在理解了壓電懸臂梁發(fā)電裝置的基本原理和數(shù)學(xué)模型之后，我們進(jìn)一步通過仿真分析來探索其性能特點(diǎn)。仿真分析是一種重要的研究方法，它可以在實(shí)際制作之前預(yù)測和優(yōu)化裝置的性能。我們采用了有限元分析（FEA）的方法，對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電裝置進(jìn)行了詳細(xì)的仿真研究。在仿真中，我們考慮了材料的壓電性能、結(jié)構(gòu)尺寸、外部激勵(lì)等因素對(duì)發(fā)電性能的影響。我們研究了不同材料對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電性能的影響。通過仿真分析，我們發(fā)現(xiàn)壓電常數(shù)較大的材料可以產(chǎn)生更高的輸出電壓和電流。這為我們在材料選擇上提供了指導(dǎo)。我們分析了結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電性能的影響。仿真結(jié)果表明，懸臂梁的長度、寬度和厚度等參數(shù)對(duì)輸出電壓和電流都有顯著影響。通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)尺寸，我們可以進(jìn)一步提高發(fā)電效率。我們研究了外部激勵(lì)對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電性能的影響。仿真分析顯示，外部激勵(lì)的頻率和幅度對(duì)輸出電壓和電流有明顯影響。當(dāng)外部激勵(lì)的頻率接近懸臂梁的固有頻率時(shí)，可以產(chǎn)生共振效應(yīng)，從而進(jìn)一步提高發(fā)電效率。通過仿真分析，我們深入了解了壓電懸臂梁發(fā)電裝置的性能特點(diǎn)，并為實(shí)際制作提供了重要的參考依據(jù)。在未來的研究中，我們將進(jìn)一步優(yōu)化裝置的設(shè)計(jì)，提高其發(fā)電效率和穩(wěn)定性。五、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證為了驗(yàn)證所建立的壓電懸臂梁發(fā)電裝置模型的準(zhǔn)確性和可靠性，我們進(jìn)行了一系列的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。實(shí)驗(yàn)采用了與模型參數(shù)一致的壓電懸臂梁材料、尺寸和邊界條件。實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括高精度加載設(shè)備、電荷放大器、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)以及用于測量懸臂梁振動(dòng)特性的激光位移傳感器。在實(shí)驗(yàn)過程中，我們模擬了不同頻率和幅度的外部激勵(lì)，同時(shí)記錄了懸臂梁產(chǎn)生的電壓和電荷輸出。還測量了懸臂梁在不同激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，以便與模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)二者在趨勢和數(shù)值上均具有較好的一致性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在低頻激勵(lì)下，壓電懸臂梁產(chǎn)生的電壓和電荷輸出較低，而在高頻激勵(lì)下則呈現(xiàn)出明顯的增加趨勢。實(shí)驗(yàn)還驗(yàn)證了模型中關(guān)于懸臂梁振動(dòng)響應(yīng)的預(yù)測，進(jìn)一步證明了模型的準(zhǔn)確性和可靠性。盡管實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模型預(yù)測結(jié)果基本一致，但仍存在一定的誤差。這些誤差主要來源于實(shí)驗(yàn)過程中的環(huán)境干擾、設(shè)備精度以及人為操作等因素。為了進(jìn)一步提高模型的準(zhǔn)確性，我們需要在后續(xù)工作中對(duì)這些因素進(jìn)行更深入的研究和改進(jìn)。通過本次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，我們證實(shí)了所建立的壓電懸臂梁發(fā)電裝置模型的準(zhǔn)確性和可靠性。這為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、性能預(yù)測以及實(shí)際應(yīng)用提供了有力的支持。我們也認(rèn)識(shí)到了模型在實(shí)際應(yīng)用中可能存在的局限性和改進(jìn)空間，這將為我們未來的研究提供有益的參考。六、壓電懸臂梁發(fā)電裝置的優(yōu)化與應(yīng)用隨著壓電懸臂梁發(fā)電技術(shù)的深入研究，其在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)化問題日益凸顯。對(duì)于壓電懸臂梁發(fā)電裝置的優(yōu)化，主要包括材料選擇、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、工作條件調(diào)整等方面。在材料選擇方面，研究者們致力于尋找具有更高壓電常數(shù)和更大機(jī)械強(qiáng)度的材料，以提高發(fā)電效率和使用壽命。結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面，通過對(duì)懸臂梁形狀、尺寸以及壓電層布局的精細(xì)調(diào)整，可以進(jìn)一步優(yōu)化其發(fā)電性能。工作條件的調(diào)整，如振動(dòng)頻率、振幅等，也對(duì)發(fā)電效果產(chǎn)生重要影響。在優(yōu)化壓電懸臂梁發(fā)電裝置的基礎(chǔ)上，其應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大。在環(huán)保能源領(lǐng)域，壓電懸臂梁發(fā)電裝置可以作為振動(dòng)能量收集器，將環(huán)境中的機(jī)械振動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能，為無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、遠(yuǎn)程監(jiān)控設(shè)備等提供持續(xù)穩(wěn)定的電源。在航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，由于其獨(dú)特的發(fā)電方式和優(yōu)良的適應(yīng)性，壓電懸臂梁發(fā)電裝置也展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。未來，隨著材料科學(xué)和微納加工技術(shù)的進(jìn)步，壓電懸臂梁發(fā)電裝置的性能將得到進(jìn)一步提升。隨著對(duì)其發(fā)電機(jī)理和優(yōu)化策略的深入研究，其在各領(lǐng)域的應(yīng)用也將更加廣泛和深入。我們期待壓電懸臂梁發(fā)電技術(shù)在未來能夠?yàn)榭沙掷m(xù)發(fā)展和綠色能源領(lǐng)域做出更大的貢獻(xiàn)。七、結(jié)論本文詳細(xì)研究了壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析。通過綜合運(yùn)用理論推導(dǎo)、數(shù)學(xué)建模以及計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，我們深入探討了壓電懸臂梁發(fā)電裝置的工作原理、性能特性以及優(yōu)化策略。我們建立了壓電懸臂梁發(fā)電裝置的理論模型，深入分析了壓電效應(yīng)、懸臂梁的力學(xué)行為以及電能轉(zhuǎn)換過程。理論模型的建立為我們理解裝置的基本工作原理提供了重要依據(jù)，為后續(xù)的仿真分析提供了基礎(chǔ)。我們利用仿真軟件對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電裝置進(jìn)行了全面的仿真分析。通過模擬不同條件下的工作狀態(tài)，我們得到了裝置的輸出特性、能量轉(zhuǎn)換效率以及穩(wěn)定性等關(guān)鍵性能指標(biāo)。仿真結(jié)果表明，壓電懸臂梁發(fā)電裝置在特定條件下具有較高的能量轉(zhuǎn)換效率和良好的穩(wěn)定性，為實(shí)際應(yīng)用提供了有力支持。我們根據(jù)仿真分析結(jié)果，提出了針對(duì)壓電懸臂梁發(fā)電裝置的優(yōu)化策略。通過調(diào)整裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)、工作環(huán)境以及激勵(lì)方式，我們可以進(jìn)一步提高裝置的能量轉(zhuǎn)換效率和穩(wěn)定性。這些優(yōu)化策略為壓電懸臂梁發(fā)電裝置的實(shí)際應(yīng)用提供了有益的指導(dǎo)。本文的研究為壓電懸臂梁發(fā)電裝置的建模與仿真分析提供了全面而深入的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)。通過理論建模和仿真分析，我們深入理解了裝置的工作原理和性能特性，并提出了有效的優(yōu)化策略。這些研究成果對(duì)于推動(dòng)壓電懸臂梁發(fā)電裝置在實(shí)際應(yīng)用中的發(fā)展具有重要意義。參考資料：懸臂梁是在材料力學(xué)中為了便于計(jì)算分析而得到的一個(gè)簡化模型，懸臂梁的一端是固定支座，另一端為自由端。在荷載作用下，可根據(jù)力的平衡條件求得懸臂梁的固定端的支座反力，包括水平力、豎向力以及彎矩，并可據(jù)此畫出軸力圖、剪力圖與彎矩圖。由于梁一般承受豎向的集中荷載或均布荷載的作用，故支座的水平反力為0。簡支梁、懸臂梁和外伸梁為工程中常見靜定梁的三種基本形式。實(shí)際工程中，梁的受力和支座約束的情況都比較復(fù)雜。為了便于分析和計(jì)算，需要對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，簡化內(nèi)容包括梁的結(jié)構(gòu)、支座和荷載等三個(gè)方面，例如懸挑梁可簡化成懸臂梁模型，并由此可得梁的計(jì)算簡圖。由于懸臂梁屬于靜定結(jié)構(gòu)，因此體系的溫度變化、混凝土收縮徐變、支座移動(dòng)等只會(huì)使懸臂梁出現(xiàn)變形，但是不會(huì)在懸臂梁中產(chǎn)生附加內(nèi)力。在預(yù)估截面尺寸時(shí)，對(duì)于混凝土懸臂梁，其截面高度一般取懸挑長度的1/5。在計(jì)算配筋時(shí)，應(yīng)有不少于2根上部鋼筋伸至懸臂梁外端，并向下彎折不小于12d，其余鋼筋不應(yīng)在梁的上部截?cái)啵鴳?yīng)按規(guī)范規(guī)定的彎起點(diǎn)位置向下彎折，并按規(guī)定在梁的下邊錨固。彎起角宜取45°或60°，在彎終點(diǎn)外應(yīng)留有平行于梁軸線方向的錨固長度，且在受拉區(qū)不應(yīng)小于20d，在受壓區(qū)不應(yīng)小于10d。如圖《鋼筋彎起點(diǎn)位置》所示。在材料力學(xué)的小變形假設(shè)的前提下，懸臂梁任一截面處的撓度可根據(jù)自由端的撓度用疊加原理求得，或者是利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的方法進(jìn)行積分求解，當(dāng)影響線彎矩圖或?qū)嶋H荷載彎矩圖中有一個(gè)為直線圖形時(shí)，也可直接利用圖乘法求解撓度。下表為懸臂梁在不同荷載作用下的撓度計(jì)算公式。壓電懸臂梁是一種具有重要應(yīng)用價(jià)值的結(jié)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)特性受到許多因素的影響。本文將圍繞壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，旨在探討其動(dòng)力學(xué)特性、優(yōu)化設(shè)計(jì)方法以及在工程中的應(yīng)用。壓電懸臂梁是一種將壓電材料與彈性材料相結(jié)合的結(jié)構(gòu)，具有高靈敏度、高響應(yīng)速度等優(yōu)點(diǎn)。在受到外部激勵(lì)時(shí)，壓電懸臂梁會(huì)產(chǎn)生形變，從而輸出電壓信號(hào)。這種結(jié)構(gòu)在振動(dòng)、聲音、壓力等物理量的測量方面具有廣泛的應(yīng)用。在動(dòng)力學(xué)研究中，我們通常壓電懸臂梁的固有頻率、阻尼比以及響應(yīng)時(shí)間等參數(shù)。這些參數(shù)會(huì)受到梁的形狀、尺寸、材料以及邊界條件等因素的影響。通過對(duì)這些參數(shù)的測量和分析，我們可以了解壓電懸臂梁的動(dòng)力學(xué)特性，并為其應(yīng)用提供依據(jù)。為了提高壓電懸臂梁的性能，需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在優(yōu)化過程中，我們可以通過調(diào)整梁的形狀、尺寸、材料等因素，以達(dá)到理想的性能指標(biāo)。例如，通過改變梁的厚度或改變梁的材料可以改變其固有頻率；通過增加質(zhì)量或改變梁的形狀可以改變其阻尼比。我們還可以采用有限元分析等方法對(duì)壓電懸臂梁進(jìn)行模擬，以了解其在不同條件下的動(dòng)力學(xué)特性。通過模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，我們可以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，并為進(jìn)一步優(yōu)化提供依據(jù)。壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)在工程中具有廣泛的應(yīng)用，例如在聲音、振動(dòng)、壓力等物理量的測量方面。由于其具有高靈敏度、高響應(yīng)速度等優(yōu)點(diǎn)，壓電懸臂梁已成為這些領(lǐng)域中的重要測量工具。例如，在聲音測量方面，壓電懸臂梁可以用來測量聲音的振幅和頻率；在振動(dòng)測量方面，它可以用來測量結(jié)構(gòu)的振動(dòng)速度和加速度；在壓力測量方面，它可以用來測量流體或固體表面的壓力。壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。通過對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的研究，我們可以了解其性能并為其應(yīng)用提供依據(jù)；通過優(yōu)化設(shè)計(jì)，我們可以提高其性能并拓展其應(yīng)用范圍；通過其在工程中的應(yīng)用，我們可以實(shí)現(xiàn)對(duì)物理量的精確測量。未來，我們將繼續(xù)深入研究壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性及其優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，為其實(shí)踐應(yīng)用提供更可靠的支撐。懸臂梁是在材料力學(xué)中為了便于計(jì)算分析而得到的一個(gè)簡化模型，懸臂梁的一端是固定支座，另一端為自由端。在荷載作用下，可根據(jù)力的平衡條件求得懸臂梁的固定端的支座反力，包括水平力、豎向力以及彎矩，并可據(jù)此畫出軸力圖、剪力圖與彎矩圖。由于梁一般承受豎向的集中荷載或均布荷載的作用，故支座的水平反力為0。簡支梁、懸臂梁和外伸梁為工程中常見靜定梁的三種基本形式。實(shí)際工程中，梁的受力和支座約束的情況都比較復(fù)雜。為了便于分析和計(jì)算，需要對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，簡化內(nèi)容包括梁的結(jié)構(gòu)、支座和荷載等三個(gè)方面，例如懸挑梁可簡化成懸臂梁模型，并由此可得梁的計(jì)算簡圖。由于懸臂梁屬于靜定結(jié)構(gòu)，因此體系的溫度變化、混凝土收縮徐變、支座移動(dòng)等只會(huì)使懸臂梁出現(xiàn)變形，但是不會(huì)在懸臂梁中產(chǎn)生附加內(nèi)力。在預(yù)估截面尺寸時(shí)，對(duì)于混凝土懸臂梁，其截面高度一般取懸挑長度的1/5。在計(jì)算配筋時(shí)，應(yīng)有不少于2根上部鋼筋伸至懸臂梁外端，并向下彎折不小于12d，其余鋼筋不應(yīng)在梁的上部截?cái)啵鴳?yīng)按規(guī)范規(guī)定的彎起點(diǎn)位置向下彎折，并按規(guī)定在梁的下邊錨固。彎起角宜取45°或60°，在彎終點(diǎn)外應(yīng)留有平行于梁軸線方向的錨固長度，且在受拉區(qū)不應(yīng)小于20d，在受壓區(qū)不應(yīng)小于10d。如圖《鋼筋彎起點(diǎn)位置》所示。在材料力學(xué)的小變形假設(shè)的前提下，懸臂梁任一截面處的撓度可根據(jù)自由端的撓度用疊加原理求得，或者是利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的方法進(jìn)行積分求解，當(dāng)影響線彎矩圖或?qū)嶋H荷載彎矩圖中有一個(gè)為直線圖形時(shí)，也可直接利用圖乘法求解撓度。下表