陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）

高三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選報題）兩部分，共150分?？荚嚂r間120分鐘。2．請將各題答案填寫在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容；高考全部內(nèi)容。第I卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（）A．0 B． C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．跑步是一項健康的運動，可以讓我們的身體更加強壯：某跑步愛好者堅持每天跑步，如圖，這是該跑步愛好者某周跑步時長的折線圖．該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是（）A．25 B．35 C．37.5 D．394．已知地物線的焦點為，點在上，且，則（）A．8 B．10 C．11 D．155．已知是奇函數(shù)，則（）A．－1 B．1 C．－2 D．26．設(shè)數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，公比為，前項和為．若，則（）A．31 B．32 C．63 D．647．如圖，在長方體中，，異面直線與所成仍的余弦值為，則（）A． B． C． D．8．在中，在上，且在上，且．若，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是，則（）A． B． C． D．11．已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A． B．C． D．第II卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式的系數(shù)之和是______．（用數(shù)字作答）14．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，則______．15．某企業(yè)舉辦職工技能大賽，經(jīng)過層層選拔，最終等5名職工進入決賽．假設(shè)這5名職工的水平相當(dāng)，則兩人中至少有1人進入前3名的概率是______．16．已知雙曲線的左頂點為是雙曲線的右焦點，點在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且．（1）求的值；（2）若的凩長為18，求的面積．18．（12分）中醫(yī)藥學(xué)是中國古代科學(xué)的瑰寶，也是打開中華文明寶庫的鑰匙．為了調(diào)查某地市民對中醫(yī)藥文化的了解程度，某學(xué)習(xí)小組隨機向該地100位不同年齡段的市民發(fā)放了有關(guān)中醫(yī)藥文化的調(diào)查問卷，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：成績?nèi)藬?shù)年齡段 31歲40歲48139641歲50歲28102218規(guī)定成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度低，成績在內(nèi)代表對中醫(yī)藥文化了解程度高．（1）從這100位市民中隨機抽取1人，求抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率；（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該地41歲50歲年齡段的市民中隨機抽取3人，記為對中醫(yī)藥文化了解程度高的人數(shù)，求的分布列和期望．19．（12分）如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點，是的中點．（1）證明：平面．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率是，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程．（2）直線與橢圓交于（異于點）兩點，記直線的斜率分別為，試問直線是否恒過定點？若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）是否存在兩個正整數(shù)，使得當(dāng)時，？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．［選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程是．（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）是圓上的動點，求點到直線的距離的最大值．23．［選修4－5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求的最小值．高三年級教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)參考答案（理科）1．C．2．D由題意可得，則．3．B將該跑步愛好者這周的跑步時長按從小到大的順序排列為，則該跑步愛好者這周跑步時長的中位數(shù)是35．4．B由拋物線的定義可得，解得，則，故．5．B由題意可得．因為是奇函數(shù)，所以，即，整理得，解得，故．6．A由題意可得整理得，解得或（舍去），則，故．7．C連接，交于點，取的中點，連接．因為，所以與所成的角為（或其補角）．令，在中，由，得．又，，由余弦定理得，解得，所以8．C因為，所以，則．因為，所以，則．9．A作出的大致圖象（圖略），由圖可得的取值范圍是．10．D因為，所以，所以，則，故．11．C在三棱錐中，底面是以為斜邊的直角三角形．設(shè)底面外接圓的圓心為，則其半徑，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，因為二面角為，所以點到底面的距離為，且點在底面的射影為的中點，所以．設(shè)球心到底面的距離為，則，且，解得，所以．12．D由，得．設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即．因為，所以，即．13．256令，得．14．5由等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，故．15．由題意可知這5名職工最終的排名情況有種，其中兩人中恰有1人進入前3名的情況有種，兩人都進入前3名的情況有種，故所求概率．16．如圖，直線與軸交于點，設(shè)，則．因為，所以．因．因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，整理得，則，解得．17．解：（1）因為，所以．因為，所以，則．（2）因為，所以．因為，所以，解得．因為的周長為18，所以，解得，則．故的面積為．18．解：（1）抽到對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的頻率為．（2）根據(jù)表格可知從41歲~50歲年齡段中隨機抽取1人，這個人是對中醫(yī)藥文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率．由題意可知的可能取值為，則，，，，故的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望．注：也可以寫成．19．（1）證明：取的中點，連接．因為為圓弧的兩個三等分點，所以．因為分別為的中點，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故．因為平面平面，所以平面．（2）解：以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，所以，，則．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．20．解：（1）由題意可得解得，則橢圓的標準方程為．（2）當(dāng)直線的斜率為0時，設(shè)，則，從而．因為在橢圓上，所以，所以，則，不符合題意．當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線．聯(lián)立整理得，由題意可知，則．因為，所以，則．因為，所以，所以．將代入上式，得，則，整理得，即．因為，所以．故直線過定點．21．解：（1），當(dāng)時，對時恒成立，單調(diào)遞減．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，，,則在上單調(diào)遞減．（2）由（1）知，令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．因為，所以，即，即，因為為正整數(shù)，所以．當(dāng)時，，因為，所以，這與矛盾，不符合題意．當(dāng)時，因為，所以，所以，得，即．經(jīng)檢驗，當(dāng)時，不符合題意，當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，，所以．綜上，僅存在滿足條件．22．