2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第41講直線平面垂直的判定與性質(zhì)（講）

第41講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α題型歸納題型1線面垂直的判定與性質(zhì)【例11】（2019秋?合肥期末）如圖，正方體中，（1）求證：；（2）求證：平面．【分析】（1）連結(jié)、，推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明．（2）由，得，同理可得，由此有證明平面．【解答】證明：（1）連結(jié)、，平面，平面，，又，，、平面，平面，又平面，．（2）由，即，同理可得，又，，平面，平面．【例12】（2020?新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【分析】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，且，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）取上靠近的三等分點(diǎn)，連接，，．根據(jù)已知條件可得四邊形為平行四邊形，得，再推得四邊形為平行四邊形，所以，根據(jù)直線平行的性質(zhì)可得，所以，，，四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)．【解答】解：（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，所以平面，而平面，所以，因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，且，所以是正方形，所以，又．所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)，分別在棱，上，所以平面，所以．（2）取上靠近的三等分點(diǎn)，連接，，．因?yàn)辄c(diǎn)在，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，又因?yàn)樵谏?，且，所以，且，所以為平行四邊形，所以，，即，，所以為平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．所以點(diǎn)在平面內(nèi)．【跟蹤訓(xùn)練11】（2019?梅州二模）如圖，正方形所在平面與三角形所在平面相交于，平面．（1）求證：平面．（2）當(dāng)，且該多面體的體積為時(shí)，求該多面體的表面積．【分析】（1）由已知利用線面垂直的性質(zhì)可知，由，可求，利用線面垂直的判斷定理可證平面．（2）在中，經(jīng)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，則，，由多面體的體積可求的值，進(jìn)而可求，，，由，利用勾股定理可求，由，利用勾股定理可求的值，根據(jù)三角形的面積公式，正方形的面積公式即可計(jì)算得解該多面體的表面積的值．【解答】解：（1）證明：平面，平面，，正方形中，，，又正方形中，，，平面．（2）在中，經(jīng)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由（1）可知平面，平面，，，平面，設(shè)，則，，多面體的體積為，解得：，，，，，，，可得：平面，又平面，可得，可得：，又，可得：，，該多面體的表面積．【跟蹤訓(xùn)練12】（2019秋?新余期末）如圖四棱錐，平面，四邊形是矩形，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的平面交側(cè)棱于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)；（2）若，求證：．【分析】（1）推導(dǎo)出．平面．從而．由此能證明點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)．（2）推導(dǎo)出．，且，從而平面，進(jìn)而．從而平面，由此能證明．【解答】證明：（1）四邊形是矩形，．且平面，平面，平面．又平面，平面平面，．而點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)．（2），且點(diǎn)為側(cè)棱的中點(diǎn)，．又平面，，且，故平面，．平面，．【名師指導(dǎo)】證明直線與平面垂直與利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直的通法是線面垂直的判定定理的應(yīng)用，其思維流程為：題型2面面垂直的判定與性質(zhì)【例21】（2020?新課標(biāo)Ⅰ）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐的體積．【分析】（1）首先利用三角形的全等的應(yīng)用求出，，進(jìn)一步求出二面角的平面角為直角，進(jìn)一步求出結(jié)論．（2）利用錐體的體積公式和圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）連接，，，是底面的內(nèi)接正三角形，所以．是圓錐底面的圓心，所以：，所以，所以，由于，所以，所以，，由于，所以平面，由于平面，所以：平面平面．（2）設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的母線長(zhǎng)為，所以．由于圓錐的側(cè)面積為，所以，整理得，解得．所以．由于，解得則：．【例22】（2020?江蘇）在三棱柱中，，平面，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【分析】（1）證明，然后利用直線與平面平行的判斷定理證明平面；（2）證明，結(jié)合，證明平面，然后證明平面平面．【解答】證明：（1），分別是，的中點(diǎn)．所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫靖櫽?xùn)練21】（2019?新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，．將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2．（1）證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積．【分析】（1）運(yùn)用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可得證；（2）連接，，由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得所求值．【解答】解：（1）證明：由已知可得，，即有，則，確定一個(gè)平面，從而，，，四點(diǎn)共面；由四邊形為矩形，可得，由為直角三角形，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面；（2）連接，，由平面，可得，在中，，，可得，可得，在中，，，，可得，即有，則平行四邊形的面積為．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?本溪縣期末）在矩形中，，是的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐．（1）若平面平面，求四棱錐的體積；（2）若，求證：平面平面．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，易知，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即為四棱錐的高，求得的長(zhǎng)和梯形的面積后，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解．（2）取的中點(diǎn)，連接、，則，，由線面垂直的判定定理可推出平面，從而得，由（1）知，，再結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得證．【解答】解：（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，由題意知，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，即為四棱錐的高．在等腰中，，，而梯形的面積，四棱錐的體積．（2）取的中點(diǎn)，連接、，則，，，，、平面，平面，平面，，由（1）知，，又、平面，且與是相交的，平面，平面，平面平面．【名師指導(dǎo)】1．面面垂直判定的2種方法與1個(gè)轉(zhuǎn)化(1)2種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)1個(gè)轉(zhuǎn)化：在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．2．面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．題型3垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題【例31】（2020?紅河州二模）在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，．（1）上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面；若存在，請(qǐng)證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若的面積為，求四棱錐的體積．【分析】（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，使得平面平面．運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可得證；（2）設(shè)，運(yùn)用三角形的勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得，求得和四邊形的面積，由棱錐的體積公式可得所求．【解答】解：（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，使得平面平面．證明：由是等邊三角形，可得，而平面平面，為平面和平面的交線，可得平面，又平面，可得平面平面；（2）設(shè)，可得，，連接，可得，則，，由，可得，而的面積為，可得，四棱錐的體積為．【例32】（2019秋?新余期末）如圖，是半圓的直徑，，為圓周上一點(diǎn)，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，且使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，進(jìn)而平面，由此能證明平面平面．（2）設(shè)，則，，．由，得到．．取中點(diǎn)，連接、、、．．從而平面平面，平面．四邊形為平行四邊形，由此能證明平面．【解答】解：（1）證明：平面，．又為圓周上一點(diǎn)，且是半圓的直徑，．平面．又，平面，且平面，平面平面．（2）解：點(diǎn)為線段中點(diǎn)，證明如下：設(shè)，則，，．又，．．取中點(diǎn)，連接、、、．．又由（1）可知平面平面，故平面．又，，故，即四邊形為平行四邊形，，平面．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?東城區(qū)期末）在正方體中，，分別為和的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）在棱上假設(shè)存在一點(diǎn)，使得平面平面，取為的中點(diǎn)，連接，，，由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得所求結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，在正方體中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，，可得四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，則平面；（Ⅱ）在棱上假設(shè)存在一點(diǎn)，使得平面平面，取為的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋傻?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故．【跟蹤?xùn)練32】（2020?黃山二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）首先推得，且為的中點(diǎn)，分別求得，，再由平行線分線段成比例的逆定理可得，再由線面平行的判定定理，即可得證；（2）過(guò)作，垂足為，延長(zhǎng)交于，連接，，結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得平面，平面，可得平面平面，再由正弦定理計(jì)算可得，即可判定存在性．【解答】解：（1）證明：在四邊形中，由，，可得，可得，且為的中點(diǎn)，由，，可得，，則，由，可得，而平面，平面，可得平面；（2）過(guò)作，垂足為，延長(zhǎng)交于，連接，，由平面，平面，可得，又，可得平面，平面，可得平面平面，故存在這樣的點(diǎn)．在直角中，，可得在中，，，由，，可得，即為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面．【跟蹤訓(xùn)練33】（2019秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）連接、，證明四邊形是平行四邊形，得出，即可證明平面；（2）連接，證明，再證，得出平面，即可證明；（3）為邊的中點(diǎn)時(shí)，平面平面，再證明即可．【解答】（1）證明：連接、，則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）證明：連接，因?yàn)闉檎切危瑸檫叺闹悬c(diǎn)，所以；又，，所以，所以，即；又平面，平面，，所以平面，又平面，所以；（3）解：當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面平面