一元二次不等式及一元二次方程-2023年高考數(shù)學（新高考）（解析版）

專題04—元二次不等式、一元二次不等式

一元二次不等式、-一元二次不等式

1~~

一元z?

一元

野一

?和鶴

分式不等H分母不能為建

1/;于取兩邊口間”使用的〕系吉：次項系數(shù)大閉

a芭2)JΛ?"—?F式恒成立問題定區(qū)間的開閉

4.有關(guān)一元二次分布條件列不全致錯；

5.解一元二次不等式時要注意相應的一元二次方程兩根的大小關(guān)系;

金福今新

一、忽視分式不等式中的分母不能為零致錯

I.不等式WWl的解集是________.

X+1

992*~-χ—1_r_1

【錯解】由毋≤1得E-IW0,得一F~?≤o,得得(Λ-l)(x+l)>O,得XW

ΛI??ΛI1ΛI?人I1

—1或x21,所以原不等式的解集為{x∣x1W—1或工21}.

【錯因】因為x+1為分母，所以x+1不等于零。

??9-r-Ir1

【正解】由-7jTΓ<l得FT-?≤0,得—Tl-〈。，得??r2θ,得工一I=0或(X-l)(?+1)>0,

x+1x+1x+1x+1

得R=I或犬<—1或%>1,得XV—1或x21,所以原不等式的解集為{人氏<—1或工21}.

二、忽視一元二次不等式中的二次項系數(shù)不能為零致錯

2.若不等式的2+2"IL4V2x2+4x對任意X都成立，則實數(shù)〃2的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(2,+8)C.(-2,2]D.[-2l2]

【錯解】原不等式可整理為(2—⑼f+(4—2加〃+4>0.若該不等式恒成立，必須滿足

(2—∕n>O,

解得一2V〃?V2,綜上知實數(shù)m的取值范圍是(一2,2),

[(4一2小)2,—4X4(2-m)V0,

選A.

【錯因】沒有對二次項系數(shù)m討論。

【正解】原不等式可整理為(2—MX2+(4—2,")x+4>0.

當"?=2時，不等式為4>0,該不等式恒成立：

2-∕n>0,

當m≠2時，必須滿足解得一2VmV2.

92

∣.(4-2∕7!)-4×4(2-w)<0t

綜上知實數(shù)機的取值范圍是(-2,2].選C

提示：當不等式中最高項的系數(shù)含有參數(shù)時，要對其分情況討論，不是見參就討論，比如下

面這個題目是不用討論的。

例：若關(guān)于尤的不等式/-20x+18>0恒成立，則實數(shù)”的取值范圍為.

解析：由題意有4∕-4X18<0,可得一3√5<“<3√Σ實數(shù)。的取值范圍為(一3限,3明)。

三、忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯.

3.不等式(x—2)(3—2x)20的解集為()

A.(∣,+8)B.|,2

3(3^

C.{x∣x≤2或x》2}.D.1—8,-

3「3■

【錯解】由(χ-2)(3-2x)20解得XW2或x22,故不等式的解集為12,2」.選C

【錯因】“大于號取兩邊，小于號取中間”使用的前提條件是二次項系數(shù)大于零，

_3

3-2

【正解】由(χ-2)(3-2r)20得(為-2)(Zr—3)<0,解得^≤xW2,故不等式的解集為-2

一

選B

四、一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯

4.當1WXW3時，關(guān)于X的不等式αx2+χ-1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

%

A.(-

令yw=G1-1=

【錯解】當lWx≤3時,由Or2+χ-]<o恒成立可得，a<

Hn111

Q—2/一4,則當x=2時，?r)min=-4,所以aW—4,選A。

【錯因】因為IWXW3,即X可以取到端點值，所以—(可以取到一"，則a<一￡不能

取等號。

由Or2+χ一|<0恒成立可得，

【正解】當1WXW3時,a<令JM=

an111

2

?X~2J~4,則當x=2時，y(x)min=-4,所以。<一不選B0

5.若不等式x2-fx+l<0對一切x∈(l,2)恒成立，則實數(shù)f的取值范圍為()

A.(―∞,2)B.(∣,+c°]

C.[1,+∞)D.∣,+∞)

/+1?

【錯解】因為不等式/一∕χ+1<0對一切χ∈(i,2)恒成立，所以l>--=x+[在區(qū)間(1,2)上

?

恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=x+7在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，且當x=2時，y=2

15?55

+2=2,所以x+嚏<2,故實數(shù)1的取值范圍是/>].選B.

5

【錯因】因為XW(1,2),即X取不到端點值，故實數(shù)f的取值范圍是rN1

/+1]

【正解】因為不等式爐一Zx+1<O對一切x∈(l,2)恒成立，所以f>—X-=x+1在區(qū)間(1,2)上

?

恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=x+χ在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，且當A:=2時，y=2

1515?55

+2=2,所以工+￡5,即x+7取不到端點值5,故實數(shù)，的取值范圍是后菱.選D。

五、有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯

6.若方程x2+(m-2)x+5—m=。的兩根都大于2,則m的取值范圍是.

【錯解】設(shè)方程/+(/〃-2)戈+5—加=0的兩根為％,馬則%>2,%>2,

Δ>0(m-2)2—4(5-m)>0m2>16

則<玉+%>4,即<2—根〉4,即<-2>m

ΛX

II2>45-m>41>m

解得〃?v—4,故拉Z的取值范圍是(一8,—4).

Δ>0[?>0

【錯因】條件，玉+x2>4不能推出%>2,工2>2,例如％]=6,%=1時，滿足,X+馬>4,

[x1x2>4x}x2>4

但W=1V2。

2—in

【正解】令兒r)=τ2+2)x+5—/〃，其對稱軸方程為X=—z—

2―2J

由題意得，<犬2)>0,即<4+2∕n-4+5-w7>0,

、/20,l(m-2)2-4(5-∕n)?0,

解得一5<mW—4,故次的取值范圍是(一5,—4].答案：(一5,—4]

六、解一元二次不等式時忽視兩根大小而致錯

7.解關(guān)于X的不等式cιx1-(a+?)x+1<0(<7>0).

【錯解】原不等式可化為(X―5)(九-l)<0(G>0).解得《〈El,

則該不等式的解集為[?1.

【錯因】沒有考慮:與1的大小關(guān)系，

【正解】由4>0,知原不等式等價于G-O(X-I)<0.

①當α=l時，?=1,(x—1)(X—1)<0無解：

②當">I時，*1,得*x<l;

③當O<(7<l時，?l,得Iaq

綜上，當O<“<l時，不等式解集為[dl<x<[；?；當4=1時，不等式解集為0；

當“>1時，不等式解集為h∣*r<lj.

【提示】對含參的不等式，應對參數(shù)進行分類討論

(I)根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

(2)根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

(3)有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

務(wù)布融通房

1.若〃<0,則關(guān)于X的不等式(or—l)(x—2)>0的解集為()

AM2也}B.卜上<21

C.{?<?>21D.{?<2^?)

【答案】B

【解析】方程(Or—l)(x—2)=0的兩個根為X=2和X=%，因為α<0,所以32,

故不等式3—1)(Λ-2)>0的解集為[vI^<r<2∣.

2.若對于任意的XWO2],不等式f-2x+α>0恒成立，則“的取值范圍為()

A.(一8,1)B.(1,+∞)

C.(O,+∞)D.[1,+∞)

【答案】B

【解析】不等式/—2x+α>0,轉(zhuǎn)化為Λ^2+2X,設(shè)y(x)=-X2+2X,X∈[0,2],

則"r)=-(x—1)2+1,當X=I時，兀V)max=∕U)=l,所以實數(shù)。的取值范圍是(1,+

).

3.已知關(guān)于X的不等式依「6丘+A+8≥0對任意x∈R恒成立,則攵的取值范圍是()

A.[0,1]B.(0,11

C.(-∞,0)u(l,+∞)D.(-∞,0]u[l,+∞)

【答案】A

【解析】當左=O時,不等式入2一6H+Aτ+8≥0可化為8≥0,其恒成立；當上WO時,要滿

足關(guān)于X的不等式點2—6履+%+8≥O任意x∈R恒成立，只需

>>0

解得：0<無<L綜上所述，k的取值范圍是[0,1].

Δ=36P-W+8)<0

4.若關(guān)于X的不等式(∕-4)∕+(α+2)χ-1≥0的解集不為空集，則實數(shù)”的取值范圍

為()

A.(-2,?∣]B.∣Λ∣2tZ≤Λ≤-tz}.

-0-

C?(°92)U[―,+oo)D.(―∞,—2]U[―,÷0o)

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論:

①當/一4=0時，即α=±2,

若α=2,原不等式為4x-l≥0,可得x≥L,則不等式的解集為,xx≥!∣,不是空集;

4[4

若。=—2,原不等式為一l≥0,無解，不符合題意.

②當。2一400，即α≠=i2,

Ω2-4<0

若不等式(4-4)/+(α+2)x-lN0的解集為空集，貝人

Δ=(α+2)2+4(α2-2)<0

解得-2<q<m,

則當不等式(/—4*+(α+2)χ—1NO的解集不為空集，則α<-2或α≥?∣且α≠2,

綜上可得：實數(shù)”的取值范圍為(—8,-2)Dq,+8).

5.已知方程2伏+1)*2+4匕+3%-2=0有兩個負實根，則實數(shù)左的取值范圍是()

A.(-2,-I)U(I?,1)B.(-2,-1)

【答案】D

2(^+l)≠0

Δ≥O

【解析】要原方程有兩個負實根，必須:<=>

xl+x2<O

x1x2>O

?+l≠O.

k≠

/+"2≤0

-2≤k≤?

4kC

——7------Γ<O

2(?+l)k>O或％<—1.

女〉2或女〈一1

,λ[k+?)'3

2(2-

o—2≤Z<-1或一<后41,.?.實數(shù)&的取值范圍是[-2,-l)u[],l.

6.已知函數(shù)/(x)=0√-2χ+2,若當l≤x≤4時，/(x)>0恒成立，則實數(shù)”的取值范

圍是()

A.(-L+∞)B.[-L+8)C.(L+oo)D.[L+8)

2222

【答案】C

【解析】依題意得α>竺2對l≤x≤4恒成立，令g(x)=生N=-2(L—L)2+_L

XJrX22

(l≤x≤4),

又l≤x≤4時，Lw?!?Wl,所以當L=L時，即％=2時，g(x)取得最大值!，.?.α>L,

4X%222

故實數(shù)。的取值范圍是(L,+8)。

2

(ab?(x-1α-2?

7.在R上定義運算：」=αd-"c,若不等式Nl對任意實數(shù)X恒成立,

ICa)(α+ιlX)

則實數(shù)。的最大值為()

13

A.----B.----

22

【答案】D

rx-?a-2

【解析】由定義知，不等式21等價于χ2一χ—(ɑ2—ɑ-2)≥l,所以

+1

χ2-χ+l≥q2-a對任意實數(shù)X恒成立.因為χ2-χ+ι=[χ-j?+2>2,所以

(2)44

3133

a≤-,解得—≤q≤-,則實數(shù)。的最大值為一.

4222

8.已知關(guān)于X的不等式JnX2+m+m<l對任意X￡R恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是()

作

,8U+,8

A.(-B.(-

C.(-∞,O)U件+∞jD.(-8,0)

【答案】B

【解析】原不等式可整理為“U2+WtV+m—1<0,①當"?=0時，一1<0恒成立，故符合題意；

m<0,

②mW0時，則有，解得小<0.綜上，w≤0.

?=m—4m(m—1)<0,

9.已知函數(shù)火X)在R上為增函數(shù)，若不等式八-4x+α)∕A-3—f)對Vx∈(0,3]恒成立，則

α的取值范圍為()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[O,+∞)D.[1,+∞)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)./U)在R上為增函數(shù)，則原不等式可化為一41+。2一3一『對Tx∈(0,3]

恒成立，所以a2一x2+4χ-3對VXW(0,3]恒成立，令g(x)=—Λ2+4X-3=—(x—2)?+1,

由x∈(0,3],得g(x)∈(-3,l],所以故。的取值范圍為[1,+∞).

10.已知函數(shù)7U)在R上為增函數(shù)，若不等式#—4x+(0宓-3—*)對?x∈(0,3]恒成立，則

a的取值范圍為()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[0,+∞)D.[1,+∞)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)HX)在R上為增函數(shù)，則原不等式可化為一4戈+“2一3一/對XZXG(0,3J

恒成立，所以a2一x2+4χ-3對VXG(0,3]恒成立，令g(x)=-x2+4χ-3=—(x—2>+1,

由χG(0,3],得g(x)G(-3,l],所以故a的取值范圍為口，+∞).

11.若關(guān)于X的不等式〃/一⑵"+1)X+,L120的解集為空集,則實數(shù)機的取值范圍為()

+

【答案】A

【解析】因為關(guān)于X的不等式加/一(2μ+1江+〃?一120的解集為空集，所以關(guān)于X的不等

式/nr2—(2m+l)x+/w—1<0的解集為R,當枕=0時，原不等式為一九一120,即x<

-1,不符合題意，舍去；當m≠0時，原不等式為一元二次不等式，只需

m<°，1,(Γ

1?解得力<一[.綜上所述，加的取值范圍為(一8,

∕=(2"z+l)—4∕n(∕??-1)<0,818,

12.設(shè)函數(shù)/(刈=如2-g—6+/〃，若對于x∈[L3],/(x)<0恒成立，則實數(shù)加的取

值范圍是()

6666

A.m>—B.m<—C.m≤-D.m≥-

7777

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=∕≡2一皿一6+機其中χ∈[l,3],

①當利=0時，/(x)=-6,此時對于x∈[l,3],/(x)<0恒成立，符合題意;

/(1)=-6+/n<0

②當機>0時，要使得對于xw[l,3],/(x)<0恒成立，則滿足《,解得

[/(3)=7m-6<0

-6<m<e,即0<加<—；

77

③當機<0時，/(X)=儂2-w-6+俄的開口向下.，艮對稱軸的方程為x=g,可得函數(shù)

/(x)在區(qū)間[1,3]單調(diào)遞減，要使得對于x∈[l,3],/(尤)<0恒成立，則滿足

/(l)=-6+w<0,解得m<6,即m<0，

綜上可得，實數(shù)W的取值范圍是(-8,9).

7

13.設(shè)集合A=卜|?!<°}，8={玳*一2公卜一/_])<0},若A8=0,則實數(shù)"

的取值范圍是；

【答案】{1}U[2,4W)

[解析]λ=∣x∣^^≤θj-={x∣-l<x<4},因為α2+J2,=(07)2≥0,

當"+ι=2α時，a=l,β={x∣(x-2)2<θ},此時5=0,AB=0,滿足題設(shè)；

當/+i∕2α時，cr+?>2a<8={x∣2α<x<α2+ι},要使A3=0,需滿足2α≥4,

即α≥2；

綜上所述，α∈{l}U[2,+∞)

14.函數(shù)/U)=/+αx+3,若?！蔥4,6],yU)20恒成立，則實數(shù)1的取值范圍是.

【答案】(-8,-3~y∣6]U[―3+Λ?∕6,+O°)

[Λ(4)≥0,

【解析】令∕Z3)=M+X2+3,當A∈[4,6]時，〃5)20恒成立.只需、

g(6)30,

2

.r÷4x+3≥0,Lγ,

即L解得XW—3—加或3+#.

X+6x+3≥0,

所以實數(shù)X的取值范圍是(-8,—3-^√6]U[-3+√6,+∞).

15.解關(guān)于X的不等式：0t2+(fl-2)x-2>0.(α∈R且α≠0).

【答案】αe(0,+8)時，解集為：｛x∣x≤-1或x≥?∣卜α∈(-2,0)時，解集為：

卜|-4x4—lj：a=—2時，解集為：｛—1｝；ae(—co,—2)時，解集為：卜|-l≤x<-

【解析】因為加+(a—2)x—2≥0,所以(CZX—2)(x+l)≥0:

若a=—2,解得：x=-l;

若a∈(-co,—2),卜—)(x+l)≤O,解得：｛x|-l≤x≤-｝；

若a∈(-2,0),(x—J(X+l)≤0,解得：I—≤%≤—1j?；

若a∈(0,+∞),(X-2｝X+1)N0,解得：｛x∣%≤-l或x≥2｝;

綜上：aw(0,?κo)時，解集為：｛x∣x≤-l或x≥j1:a∈(-2,0)時，解集為：

jx∣-∣≤x≤-lLa=-2時，解集為：｛-l｝；a∈(-∞,-2)時，解集為：jx∣-l≤x≤?∣

16.解關(guān)于X的不等式12—(3〃+1)穴+2〃5+1)>0.

解：Vx2—(3Λ+l)Λ^+2tz(r/+1)>0,Λ(x—2a)[γ-(s+l)]>O,令/(幻=(1一2a)[γ-(日+1)],

則?r)的圖象開口向上，且與X軸交點橫坐標分別為2a,a+?.

①當2?=a+l,即a=l時，解得x≠2;

②當即時，解得XVa+1或無>2〃；

③當2〃<。+1,即a<l時，解得x<2a或x>a+1.

綜上，當a<l時，不等式的解集為｛x∣x<2a或x>a+l｝;

當α=l時，不等式的解集為{小<2或x>2};

當a>l時，不等式的解集為{x∣xVa+1或￡>2〃}.

17.設(shè)函數(shù)/(x)=∕m2-〃a一1

(1)若對于一切實數(shù)X,/(x)<0恒成立，求機的取值范圍；

(2)解不等式/)<(nz+1)無一3.

解：⑴要使"比2—AWL1<0恒成立，

若加=0,顯然一l<0.

[∕n<0,

若∕n≠0,則4?解得一4<m<0.

[∕=m'+14m<0,

綜上，-4<mW0,即/〃的取值范圍為(-4,0].

(2)由7U)<(m+1)文一3得(MX-l)(x—2)v0.

當團=O時，原不等式為一(X—2)V0,解得Q2;當時，解得XVA或無>2:當0<，〃弓

時，->2,解得24忌；當機=孑時，解集為空集：當心:時，-~~<2f解得!<r<2?

，〃Itl44illr/1

綜上，當巾=0時，不等式解集為UlX>2};當"?<0時，不等式解集為卜息或但；

當0<加<1時，不等式解集為卜卜〃弓當m=T時，不等式解集為空集；

當，”>；時，不等式解集為卜IA<r<2].

18.已知函數(shù)/(x)=辦2—(α+2)x+l-b.

(1)若a=—2,b=9，求函數(shù)y=/(D(x<0)的最小值；

(2)若b=T,解關(guān)于X的不等式/(x)≥0.

2/

【答案】(1)8；(2)當〃<。時，x∈一』；當Q=O時，X∈(→X),η11;當OVa<2時,

a

x∈(-∞,l]?∣,+∞j:當α=2時，x∈R；當α>2時，x∈(-8,j[l,+∞).

【解析】(1)若α=-2,b=9,則y===?.?χ<0,

XXX

.?.y=-2x-號N2J(—2x)?]=8,當且僅當-2x=-。，即％=—2時y取得最小值8；

XV