新教材老高考適用2023高考數(shù)學一輪總復(fù)習 課時規(guī)范練37空間向量及其運算北師大版

課時規(guī)范練37空間向量及其運算

基礎(chǔ)鞏固組

1.已知向量a=(l,-2,3),b=⑵T,-4),則a?b=()

A.-8B.-7C.-6I).-5

2.已知a=912,-3),b=(2,",1),若a〃b,則實數(shù)「的值為()

A.-5B.-6C.-4D.-3

3.(2020遼寧大連模擬)在四棱錐PYBCD中,底面/時是平行四邊形,E為如的中點,若

PA^PB≠DiPC^ct則用基{a,b,c)表示向量顯為()

A.?aAB.?a-^b4c

222222

C.?a^?^?D.?a^?足C

222222

4.在下列條件中,使M與4B1C一定共面的是()

LOM=OA-OB-OC

B.OM=-OA-}--OB^--OC

532

C.ΛM+MB+MC=0

D,OM+OA+OB+OC-O

5.若a=(2,-3,5),b?(-?,1,2),則/aNb/=()

A.7√2B.5√2C,3√10D,6√3

6,已知向量a=(l,T,0)，b=(-2,%T,2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.若/a∕N,則∕zzz√2

B.若aJ_b,貝IJnι=-?

C.不存在實數(shù)九使得a=Hb

D.若a?b=-l,則a÷b=(T,-2,-2)

7.若向量a=(l,O,l),b=(O,1,-1),則向量a,b的夾角為.

8.已知A(l,0,0),5(0,1,0),C(0,0,1),若點&x,1,D在平面ABCfy,則X=.

綜合提升組

9.已知空間中三點4(0,1,0),8(2,2,0),<7(-l,3,1),則下列說法正確的是()

A.而與前是共線向量

B.與屈同向的單位向量是(等,g,0)

C.荏和灰夾角的余弦值是騫

D.平面/6C的一個法向量是(1,2,5)

10.如圖,在平行六面體ABCD-ABC也中，以頂點力為端點的三條棱長都是1,且它們彼此的夾角都是

60°,材為4G與的交點.若荏刃,而巾,麗胃,則下列正確的是()

C1

A.=?a-?b÷eB.71C1^a-?÷c

CJG的長為√5D.cos<ABlACi>=^-

11.(2021山東臨沂模擬)已知a=(l,1,0)方=(-1,0,2),且依希與224)的夾角為鈍角,則實數(shù)4的

取值范圍為,

12.已知空間向量方,而,訶的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為60°.點G為比的重心,若

PG=xPA+yPB+zPC,x,y,2∈R,則x+y+z=;/PGI=.

13.如圖,在棱長為a的正方體OABC-QABQ中,E,尸分別是棱AB,優(yōu)上的動點,且AE=BF=m,其中OW

加Wa,以。為原點建立空間直角坐標系Oxyz.

⑴求證:4ELafi'；

⑵若4,￡eG四點共面,求證:不=［運+硬.

創(chuàng)新應(yīng)用組

14.已知向量｛a,b,c)是空間向量的一組基,向量(a÷b,a?c｝是空間向量的另外一組基,若一向量P

在基(a,b,c｝下的坐標為(1,2,3),則向量p在基｛avb,a-b,c｝下的坐標為()

15.已知正四面體力-技力的外接球半徑為3,助V為其外接球的一條直徑,尸為正四面體4-6（力表面上

任意一點,則麗?麗的最小值為.

課時規(guī)范練37空間向量及其運算

1.A解析：由己知可得a?b=lX2-2X(T)+3X(Y)=~8.

故選A.

2.B解析：因為a=(。12,-3),b=(2,”2,1),且a〃b,所以存在實數(shù)(使得a=^b,即(力,12,-3)=4

t=2λ,_

(2,t+2,1),所以12=2(t+2),解得｛；二:優(yōu)

故選B.

3.B解析:連接BD,如圖，因為E是陽的中點,所以露="前+麗)總(年瓦？+前)

=-^o^(PA-^PB+PC-TB)

=Tb號(a÷c-2b)Wa爭*.

故選B.

4.C解析:〃與A,B,C一定共面的充要條件是麗二蘇+質(zhì)+z沆,x+y+z=l,

對于A選項，由于ITT=-I≠1,所以不能得出現(xiàn)4氏C共面；

對于B選項，由于巳+：+1,所以不能得出泓A,B,C共面；

對于C選項，由于拓?二赤-MC,則MX而,前為共面向量,所以也A,B,C共面；

對于D選項，由而+~OA+OB+OC-O,得血二勺7-礪一沆,而TTT=-3≠1,所以不能得出

M,A,8,C共面.故選C.

5.C解析：??a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),.?a-2b=(8,-5,1),

222

/a-2b∕=yj8+(-5)+I=3√10.故選C.

6.C解析：對于A,由a/=2,可得J—+QI)2+m2=2,解得m=±y∣2,故A錯誤；

對于B,由a±b,可得-2-卬+1+2〃以),解得加=1,故B錯誤;

(1=-2λf

對于C,若存在實數(shù)九使得a=Xb,則-1=2(m-l),顯然Λ無解，即不存在實數(shù)(使得a≈^b,故C

Im=2λ,

正確；

對于D,若a?b=-l,則-2-勿+1÷2R=T,解得m=Qf于是a÷b=(T,-2,2),故D錯誤.故選C.

7胃解析:根據(jù)題意,設(shè)向量a,b的夾角為9,

向量a=(l,0,1),b?(θ,1,-1),

則向量/a/^=√2,/b∕z√2,a?b=T.

則cos，號\

又由OW，Ww,則。號.

8.-1解析:設(shè)平面4%的一個法向量是n=(x,%z),又荏=(T,1,0),而=(T,0,1),

所以｛—?取x=l,得n=(l,1,1),

In?λC=-%+z=0,

Pm1)在平面4?C上,而=CYT,1,1).

則n?AP=χ-l≠1≠14),X=-L

9.B解析:對于A,何=(2,1,0),前=(-1,2,1),可知荏≠^AC,則荏與而不共線,故A錯誤；

對于B,?'AB=(2,1,0),.?.須A區(qū).?喘=(等片,0),即與荏同向的單位向量是(管片,O),故

B正確；

對于C,VBC=(-3,1,1),.?.cos<AB,BC>嗡點=

即荏和灰夾角的余弦值為嚕,故C錯誤；

對于D,設(shè)平面4?。的法向量n=(x,%z),

則[n竺-2x+y-0,令X=I,則y=-2,z=5,即n=(l,-2,5),

?n9BC=-3x+y+z=0,

故平面/a'的一個法向量為(1,-2,5),故D錯誤.

故選B.

10.B解析：由空間向量的加法法則得IB=&也乜故B正確；

BM-BBI+BlM=BB]+—BIDl=AA1+~(fi?/l?+BICT)??勺(P也)二~?a弓b尤,故A中日慶；

由已知a?b??c和?c=lXlXcos60°=^,

∕4C17=∕a÷bm/

?s/(ɑ+h+c)2

=^Ja2÷h2+c2+2α?6+2b?c÷2α?c

^√1+1÷1+1÷1÷1二傷,故C錯誤；

cos<AB,何>??="F?竺…

1

?AB??AC1?1×√6

=W故D錯誤.

VO3

故選B.

11.(-∞,-2)UV-2,P解析：由2=(1,1,0)4=(-1,0,2),得依由=0-1,4,2),22+=(3,2,-2),

所以(Aavb)?(2a~b)-3X(AT)+24Y6,解得A<∣.

若Aa他與2af反向，則Aa÷b=1(2a~b),4。

;受所以I

則

所以Aavb與2a-b的夾角為鈍角，則好且A≠-2.

綜上4的取值范圍是(-S-2)U(-2,?

12?11

解析:取/C的中點〃

PG=PB+^BG=PB+^^^BD=PB+^×(PD-PB)

^B+lχll(PA+PC^}

1-->1--?1--?

-PA+-PB+-PC.

而=再+麗+衣,空間向量西,而,配的模長分別為1,2,3,且兩兩夾角均為60°,

111

貝IjXWyq,zq,故x+y+z=l.

國/叱對+5方+河

W(PA+^PB+PC)2

上PA2+PB2+PC2+2PA?PB+2PC?PB+2PA?PC

=+22+3^+2×l×2×—F2×3×2×—F2×l×3×-

3yJ222

3,

13.證明⑴因為4(a,O,a),G(0,a,a),Egm,O),A(a-∕z?,a,O),

i

所以Alf=(~7?ai-a)yC1E=｛aim-a,-a),

所以不F?C1E=-anι-f-a｛πι-a)病?θ,

所以不_L9，

即A.FLCxE.

(2)因為4,￡￡G四點共面,

所以而,中共面.

選舉與而為平面4G￡上的一組基向量,則存在唯一實數(shù)對(小，九),

使AF=4/1G+2A^Et

即(~m,&一己)二41(-a,a,