數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

附錄:上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告樣本學(xué)院汽車與交通工程專業(yè)車輛工程學(xué)號學(xué)生姓名上機(jī)地點(diǎn)90305日期2023年6月3日實(shí)驗(yàn)一：MATLAB基礎(chǔ)操作、多項(xiàng)式求解優(yōu)化一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖煜ATLAB編程的流程、函數(shù)編寫方法以及循環(huán)控制的編寫。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)、MATLAB軟件。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容對簡單的經(jīng)典問題進(jìn)行程序的編寫，觀察計(jì)算機(jī)運(yùn)算過程中的誤差問題，并編寫Horner算法實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的算法設(shè)計(jì)。題目一：用MATLAB計(jì)算i=110000.1圖1源程序（默認(rèn)精度）圖2兩種循環(huán)的運(yùn)行結(jié)果-在默認(rèn)顯示精度下并不等于零,但運(yùn)算過程在默認(rèn)顯示精度下并沒有誤差圖3源程序（增加顯示精度-formatlong）圖4兩種循環(huán)的運(yùn)行結(jié)果-在formatlong顯示精度下也不等于零,且浮點(diǎn)誤差總是出現(xiàn)在第18次累加圖5源程序（減小顯示精度-formatbank）圖6運(yùn)行結(jié)果-formatbank精度下計(jì)算結(jié)果為零，并沒有顯示出浮點(diǎn)誤差題目二：用MATLAB編寫函數(shù)fn=i=1圖7源程序圖8運(yùn)行結(jié)果題目三：用MATLAB輸出9*9口訣，要求按照9*9口訣的格式輸出圖9源程序-分別用for和while循環(huán)圖10for和while運(yùn)行結(jié)果（相同）題目四：編寫Horner算法程序計(jì)算fx=x5+3x3圖11源程序圖12運(yùn)行結(jié)果要求：1)上機(jī)前，熟悉MATLAB的基礎(chǔ)操作，包括簡單內(nèi)置函數(shù)的調(diào)用以及繪圖操作；2) 熟練掌握MATLAB循環(huán)程序的使用；3) 熟悉Honer算法進(jìn)行多項(xiàng)式計(jì)算以節(jié)省計(jì)算；4) 將計(jì)算公式、最終代碼及結(jié)果打印。

四、實(shí)驗(yàn)體會(huì)在學(xué)習(xí)函數(shù)的多項(xiàng)式插值與逼近方法的過程中，我深刻認(rèn)識(shí)到了數(shù)值計(jì)算的重要性。在實(shí)際問題中，我們通常無法得到給定函數(shù)的解析表達(dá)式，因此需要使用數(shù)值計(jì)算方法來求解。而多項(xiàng)式插值與逼近方法是其中一種非常重要的數(shù)值計(jì)算方法，它在許多領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，如機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等。而在上機(jī)實(shí)驗(yàn)中，我也逐漸體會(huì)到了不同的插值與逼近方法的優(yōu)缺點(diǎn)以及其適用范圍。例如，拉格朗日插值法和牛頓插值法雖然容易理解和實(shí)現(xiàn)，但在插值節(jié)點(diǎn)數(shù)較多時(shí)容易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象，而且拉格朗日插值法在數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)改變時(shí)，都需要重新計(jì)算，這對于擁有眾多數(shù)據(jù)點(diǎn)的插值而言會(huì)使得計(jì)算量非常大，在編程時(shí)，每改變一次插值節(jié)點(diǎn)數(shù)，程序也要做相應(yīng)更改，因此應(yīng)用起來不如牛頓插值法方便。在實(shí)踐中，根據(jù)實(shí)際需求選擇最適合的插值與逼近方法十分重要。最后，在實(shí)驗(yàn)中我也學(xué)會(huì)了使用MATLAB等數(shù)值計(jì)算軟件進(jìn)行函數(shù)的插值與逼近。這些軟件對數(shù)值計(jì)算方法的實(shí)現(xiàn)、計(jì)算結(jié)果的可視化以及結(jié)果的誤差分析都有較大幫助，不僅可以加快計(jì)算速度，還可以提高計(jì)算精度。

實(shí)驗(yàn)二：函數(shù)的多項(xiàng)式插值與逼近一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康哪軌驅(qū)Σ煌囗?xiàng)式插值與逼近方法實(shí)現(xiàn)函數(shù)的擬合問題。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)、MATLAB軟件。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容利用MATLAB采用不同方法實(shí)現(xiàn)函數(shù)的多項(xiàng)式插值與逼近。題目一：對龍格函數(shù)fx=11+x2，繪制在[-5,5]區(qū)間5等分與要求：編程實(shí)現(xiàn)。不同插值結(jié)果用不同線形繪制。（不能利用matlab中自帶的拉格朗日因子函數(shù)）提示：對于插值函數(shù)L(x),利用拉格朗日插值公式，對x=[-5:0.1:5]計(jì)算其對應(yīng)y=L(x)，并利用plot(x,y)函數(shù)進(jìn)行繪制。對于8階最佳一致逼近多項(xiàng)式，等價(jià)于給定一組節(jié)點(diǎn)（根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式計(jì)算的9圖13源程序（可見，拉格朗日插值方法對于采用不同的點(diǎn)其計(jì)算結(jié)果并不能重復(fù)使用使計(jì)算量大）圖14運(yùn)行結(jié)果（可以看出，插值多項(xiàng)式并非次數(shù)越高越好，高次多項(xiàng)式易出現(xiàn)邊界震蕩的龍格現(xiàn)象）題目二：假定某天的氣溫變化記錄如下表所示，試用最小二乘方法找出這一天的氣溫變化規(guī)律。t/h0123456789101112T/℃15141414141516182022232528t/h131415161718192021222324T/℃313231292725242220181716考慮下列類型函數(shù)，計(jì)算誤差平方和，并作圖比較效果。（1）二次函數(shù)；（2）三次函數(shù)；（3）四次函數(shù)；（結(jié)果如下圖所示）圖15源程序圖16運(yùn)行結(jié)果（次數(shù)較高時(shí)擬合效果較好，但并非次數(shù)越高越好）要求：1）上機(jī)前，掌握多項(xiàng)式插值方法，包括拉格朗日插值法、牛頓插值法、分段低次插值方法。2）上機(jī)前，熟悉函數(shù)逼近的不同方法，包括最佳一致逼近、最佳平方逼近；掌握最小二乘多項(xiàng)式擬合方法。3）利用MATLAB進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制。4）利用MATLAB進(jìn)行插值的計(jì)算以及函數(shù)的逼近5)將計(jì)算公式、最終代碼及結(jié)果打印。四、實(shí)驗(yàn)體會(huì)首先，通過本次實(shí)驗(yàn)，我深入理解了多項(xiàng)式插值和逼近的原理，包括基于拉格朗日、牛頓法的插值算法，以及最小二乘法的多項(xiàng)式擬合方法。在實(shí)驗(yàn)過程中，通過簡單地手工計(jì)算和編寫MATLAB程序，做了一定對比，掌握了這些算法的具體實(shí)現(xiàn)方法，并進(jìn)一步深入了解了不同算法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。其次，我通過本次實(shí)驗(yàn)深刻認(rèn)識(shí)到了函數(shù)的精確計(jì)算在實(shí)際問題中常常是不可行的，因此需要使用數(shù)值方法來近似估計(jì)函數(shù)的值。同時(shí)，為了在實(shí)際應(yīng)用中得到比較好的結(jié)果，我們需要注意誤差分析和實(shí)際需求，選擇最合適的數(shù)值計(jì)算方法。最后，本次實(shí)驗(yàn)還讓我深刻認(rèn)識(shí)到了計(jì)算機(jī)的重要性。使用計(jì)算機(jī)編程可以大大提高計(jì)算效率，幫助我們解決更加復(fù)雜的實(shí)際問題。實(shí)驗(yàn)三：數(shù)值積分與非線性方程數(shù)值解法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康哪軌驅(qū)o定的函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分的計(jì)算，以及對給定的非線性方程進(jìn)行數(shù)值解法。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)，MATLAB軟件。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容利用MATLAB采用不同方法對給定的函數(shù)進(jìn)行數(shù)值積分的計(jì)算，以及對給定的非線性方程進(jìn)行數(shù)值解法。題目一：已知積分0成立，我們可以通過對上面給定被積函數(shù)的數(shù)值積分來計(jì)算π的近似值。利用復(fù)合梯形求積方法的遞推公式T2n=12Tn算法步驟提示：1：計(jì)算T1，令k=12：按遞推公式計(jì)算T2k3：判斷|T2k-T2k-1|是否小于3*10-6；如果是，則輸出近似值T2k，否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)第圖17源程序圖18運(yùn)行結(jié)果題目二：對方程x3-x-1=0，用Maltab繪制在[-2,2]區(qū)間函數(shù)圖示。分別用Matlab編程實(shí)現(xiàn)二分法（計(jì)算區(qū)間[a,b]取為[1,2]）以及牛頓迭代法（取初值x0=1.5）求解方程，使得計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字，圖19源程序圖20運(yùn)行結(jié)果（在給定區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)根）圖21運(yùn)行結(jié)果（牛頓法迭代次數(shù)少，收斂快，相比二分法具有很大優(yōu)勢）要求：1）上機(jī)前，掌握數(shù)值積分的不同方法，包括中點(diǎn)公式、梯形公式與Simpson公式，以及其對應(yīng)的復(fù)合的求積公式。掌握龍貝格數(shù)值求積方法及公式。2）上機(jī)前，掌握非線性方程求解的不同方法，包括二分法、簡單迭代法、牛頓法。3）利用MATLAB進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制。4）利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值求積的計(jì)算以及非線性方程的求解。5)將計(jì)算公式、最終代碼及結(jié)果打印。四、實(shí)驗(yàn)體會(huì) 首先，通過本次實(shí)驗(yàn)，我深入理解了數(shù)值積分的原理和方法。在實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)用了復(fù)合梯形法、牛頓迭代法等數(shù)值積分算法，并通過簡單地手工計(jì)算與編寫的MATLAB程序做比較，掌握了這些算法的實(shí)現(xiàn)方法。在實(shí)踐中，我深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)值積分方法的精確性和計(jì)算效率之間需要做出平衡，并注意誤差分析和積分范圍的實(shí)際需求。其次，我通過本次實(shí)驗(yàn)了解了一些非線性方程數(shù)值解法的基本原理和方法。在實(shí)驗(yàn)中，使用了二分法、牛頓迭代法等非線性方程解法，并通過手工計(jì)算和編寫MATLAB程序，掌握了這些算法的實(shí)現(xiàn)方法。在實(shí)踐中，我深刻認(rèn)識(shí)到非線性方程求解的復(fù)雜性和多樣性，并理解了選擇合適的求解方法對于實(shí)際問題的重要性。最后，本次實(shí)驗(yàn)還讓我深刻認(rèn)識(shí)到計(jì)算機(jī)編程的重要性。使用計(jì)算機(jī)編程可以大大提高計(jì)算效率和精確度，幫助我們解決更加復(fù)雜的實(shí)際問題。使用MATLAB等數(shù)值計(jì)算軟件工具可以更快地進(jìn)行計(jì)算，并且可以智能分析和優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。綜上所述，本次實(shí)驗(yàn)讓我深入理解了數(shù)值積分和非線性方程求解的原理和方法，在實(shí)踐中更加深入了解了不同算法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍，并深刻認(rèn)識(shí)到了計(jì)算機(jī)在數(shù)值計(jì)算和數(shù)學(xué)問題解決中的重要作用。這些都對我的學(xué)習(xí)和工作有著積極的影響。

實(shí)驗(yàn)四:常微分方程求解一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆粘Ｎ⒎址匠痰那蠼夥椒?。二、?shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)、MATLAB軟件。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容利用MATLAB采用不同方法對給定的一階常微分方程初值問題進(jìn)行數(shù)值求解。題目一：分別用Euler方法和改進(jìn)的Euler方法求解下列初值問題：y計(jì)算y(1.5)。比較它們的計(jì)算結(jié)果，從中體會(huì)預(yù)估-校正的作用。圖22源程序圖23運(yùn)行結(jié)果（兩種算法結(jié)果幾乎重合，區(qū)間短并未體現(xiàn)改進(jìn)歐拉法的優(yōu)勢）圖24運(yùn)行結(jié)果要求：1）上機(jī)前，熟悉傅里葉變換的方法。2）上機(jī)前，熟悉一階常微分方程初值問題的求解方法，包括歐拉方法（顯式歐拉法、隱式歐拉法、梯形公式、改進(jìn)的歐拉法）以及龍格-庫塔法。3）利用MATLAB進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制。4）利用MATLAB進(jìn)行傅里葉變換的計(jì)算以及一階常微分方程初值問題的求解。5)將計(jì)算公式、最終代碼及結(jié)果打印。

四、實(shí)驗(yàn)體會(huì)在這次實(shí)驗(yàn)中，使用了歐拉法、改進(jìn)歐拉法等數(shù)值解常微分方程的方法以及相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步地，我還簡單了解了差分方程的形式，包括一階和二階常微分方程，在概念和實(shí)踐上都有了更深的理解。另外，通過為常微分方程建立數(shù)值模型的過程，我也能夠嘗試如何將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，并使用數(shù)值方法快速求解這些模型。在實(shí)踐操作中，我們需要謹(jǐn)慎使用步長。通過比較使用不同步長時(shí)求解結(jié)果的差異，我學(xué)會(huì)了如何調(diào)整步長選擇，使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。此外，我也了解了設(shè)置終止條件和選擇合適的初值和邊界條件的重要性。這些都是實(shí)用方法，在實(shí)際工程問題中經(jīng)常遇到的。在本次數(shù)值