第七章 不可壓縮流體動力學(xué)基礎(chǔ)(第一次課修改)

流體力學(xué)北方民族大學(xué)化工學(xué)院任課教師：康亞明窮究于理，成就與工2011年6月3日內(nèi)容回顧核心問題1：平面射流及其特征氣體從狹長縫隙中外射運(yùn)動時(shí),射流只能在垂直條縫長度的平面上擴(kuò)散運(yùn)動,如果條縫相當(dāng)長，這種流動可視為平面運(yùn)動,故稱為平面射流。對于平面射流，tgα=2.44a,其他幾何、運(yùn)動動力特征完全與圓斷面射流相似。和圓斷面射流相比，流量沿程的增加，流速沿程的衰減都要慢些，這是因?yàn)檫\(yùn)動的擴(kuò)散被限定在垂直于條縫長度的平面上的緣故。關(guān)鍵問題2：溫差或濃差射流射流本身的溫度或濃度與周圍氣體的溫度、濃度有差異。溫差、濃差射流分析，主要是研究射流溫差、濃差分布場的規(guī)律，同時(shí)討論由溫差、濃差引起的射流彎曲的軸心軌跡。在實(shí)際應(yīng)用中,為簡化起見,可以認(rèn)為：溫度、濃度內(nèi)外的邊界與速度內(nèi)外的邊界相同。

熱量擴(kuò)散比動量擴(kuò)散要快，溫度邊界層比速度邊界層發(fā)展要快要厚。濃度擴(kuò)散與溫度擴(kuò)散相似。實(shí)線：速度邊界層虛線：溫度邊界層核心問題3：旋轉(zhuǎn)射流氣流通過具有旋流作用的噴嘴外射運(yùn)動。氣流本身一面旋轉(zhuǎn)，一面向周圍介質(zhì)中擴(kuò)散前進(jìn)，稱為旋轉(zhuǎn)射流。一、基本特征旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn)射流基本特征，旋轉(zhuǎn)使射流獲得向四周擴(kuò)散的離心力。和一般射流比較，擴(kuò)散角大，射程短，射流的紊動性強(qiáng)。二、旋轉(zhuǎn)射流的流速分布旋轉(zhuǎn)射流的速度分解為三個(gè)分量：（1）沿射流前進(jìn)方向的軸向速度

（2）在橫截面上沿半徑方向的徑向速度

（3）在橫截面上做圓周運(yùn)動的切向速度

本節(jié)要點(diǎn)1、平移運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動、線變形運(yùn)動、角變形運(yùn)動2、無旋流動的力學(xué)特征3、流體的連續(xù)性微分方程的一般形式第七章不可壓縮流體動力學(xué)基礎(chǔ)§7-1流體微團(tuán)運(yùn)動的分析§7-2有旋流動§7-3不可壓縮流體連續(xù)性微分方程知識要點(diǎn)1、平移運(yùn)動、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動、線變形運(yùn)動、角變形運(yùn)動2、無旋流動的力學(xué)特征3、流體的連續(xù)性微分方程的一般形式在許多工程實(shí)際問題中，流動參數(shù)不僅在流動方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用多維流的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動的基本規(guī)律，為解決工程實(shí)際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進(jìn)一步研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎(chǔ)。

引言第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動的分析分析流場中任意流體微團(tuán)運(yùn)動是研究整個(gè)流場運(yùn)動的基礎(chǔ)。流體運(yùn)動要比剛體運(yùn)動復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動形式有平移運(yùn)動，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和變形運(yùn)動等，而變形運(yùn)動又包括線變形和角變形兩種。運(yùn)動形式在理論力學(xué)中知道了剛體質(zhì)心的平動速度和角速度,利用質(zhì)點(diǎn)的相對位置就可以求得任何一點(diǎn)的速度ωrv流體中各質(zhì)點(diǎn)的相對位置是變化的,沒有同剛體一樣的速度公式.流體運(yùn)動要比剛體復(fù)雜得多;已知一點(diǎn)速度,求幾千米外的速度似乎不太可能;但至少在一個(gè)小的鄰域內(nèi)可以嘗試一下把速度分解成幾個(gè)部分來分別考慮.在流體微團(tuán)內(nèi)可以把某點(diǎn)速度展成泰勒級數(shù)形式.流體微團(tuán)運(yùn)動的分析流體微團(tuán)的運(yùn)動形態(tài)：平移旋轉(zhuǎn)變形→線變形角變形線變形平移轉(zhuǎn)動角變形平面流動平移轉(zhuǎn)動線變形角變形分解剛體：移動＋旋轉(zhuǎn)流體：移動＋旋轉(zhuǎn)＋變形（線變形和角變形）如果組成一個(gè)流體微團(tuán)的所有流體質(zhì)點(diǎn)都具有相同的速度，即其速度梯度為零，這個(gè)流體微團(tuán)只能平動；如果存在速度梯度，則在平動的同時(shí)還可能發(fā)生旋轉(zhuǎn)和變形。平移旋轉(zhuǎn)角變形線變形BADC流體微團(tuán)運(yùn)動的分解xy1.平移運(yùn)動BADCA

2.線變形運(yùn)動ADC

線變形速率：流體線在單位時(shí)間單位長度的伸長或縮短量。以x軸為例：對于三維空間：同理，沿y軸方向的線變形速率為：ADC3.角變形運(yùn)動變形程度跟（）有關(guān)。ADC角變形速率：兩條正交流體邊單位時(shí)間角度變化的平均值，即單位時(shí)間其半角的變化。以xOy平面為例，流體微團(tuán)總的變形為：根據(jù)定義，角變形速度為：對于空間三元流動：4.旋轉(zhuǎn)運(yùn)動旋轉(zhuǎn)角速度：相互垂直的兩條流體線的平均旋轉(zhuǎn)角速度。角平分線的偏轉(zhuǎn)角度,有兩種情況。對比旋轉(zhuǎn)和變形對比旋轉(zhuǎn)和變形的定義，當(dāng)時(shí)，有變形，無旋轉(zhuǎn)；

1

2當(dāng)時(shí)，有變形，也有旋轉(zhuǎn)。

1

2同理，對于空間三元流動：角速度大小為：5體積變化率dxdydz5體積變化率dxdydzdxdydz6.亥姆霍茲速度分解定理設(shè)M（x,y,z）點(diǎn)的速度(ux0,uy0,uz0)，與點(diǎn)M相距微小距離另一點(diǎn)M0(x+dx,y+dy,z+dz)的速度分量為:在第一式右端加入兩組等于零的項(xiàng)：

其值不變,經(jīng)過簡單組合，可將該式寫成：流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動表達(dá)式式中，①項(xiàng)——平移速度分量；③、④項(xiàng)——旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所引起的速度分量；②、⑤、⑥項(xiàng)——角變形、線變形所引起的速度分量。

亥姆霍茲速度分解定理第二節(jié)有旋流動流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在流場內(nèi)不完全為零的流動稱為有旋流動。自然界和工程中出現(xiàn)的流動大多數(shù)是有旋流動，例如:龍卷風(fēng)管道流體運(yùn)動繞流物體表面的邊界層及其尾部后面的流動。bacd液體作平面圓周運(yùn)動液體微團(tuán)作無渦運(yùn)動bacd液體微團(tuán)作有旋（渦）運(yùn)動液體作平面圓周運(yùn)動bacdbacdbacd物理特征：流體微團(tuán)（質(zhì)點(diǎn)）繞自身軸旋轉(zhuǎn)，稱為有旋（渦）流動，反之，為無旋（渦）流動。

數(shù)學(xué)表達(dá)，有旋流無旋流不可壓縮流體第三節(jié)不可壓縮流體連續(xù)性微分方程當(dāng)為不可壓縮流體時(shí)，有。

直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程yxz

dzdxdy右面速度：左面速度：中心點(diǎn)速度：當(dāng)為不可壓縮流體時(shí)，有。

在流場內(nèi)任取一微元六面體,邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz）,密度為ρ,以x軸方向?yàn)槔Ｗ蟊砻媪魉贋椋涸赿t時(shí)間內(nèi)流入左表面的流體體積為：

右表面流速為：

在dt時(shí)間內(nèi)流出右表面的流體體積為：

所以在dt時(shí)間內(nèi)沿x軸流入與流出該六面體的凈體積為：（流進(jìn)為正，流出為負(fù)）

同理，在dt時(shí)間內(nèi)沿y、z軸方向流出與流入六面體的凈體積分別為：

根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性條件，dt時(shí)間內(nèi)沿x、y、z軸方向流出和流入六面體的凈體積為零，即：

因而該式就是不可壓縮流體的連續(xù)性方程。可壓縮流體當(dāng)為不可壓縮流體時(shí)，有。

直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程yxz

dzdxdy右面速度：左面速度：右面密度：左面密度：中心點(diǎn)速度：中心點(diǎn)密度：在流場內(nèi)任取一微元六面體,邊長為dx,dy,dz，中心點(diǎn)O流速為（ux,uy,uz）,密度為ρ,以x軸方向?yàn)槔鹤蟊砻媪魉贋椋?/p>

密度為：

在dt時(shí)間內(nèi)流入左表面的流體質(zhì)量為：

右表面流速為：密度：

在dt時(shí)間內(nèi)流出右表面的流體質(zhì)量為：

在dt時(shí)間內(nèi)流入流出左右表面的流體質(zhì)量分別為：

所以在dt時(shí)間內(nèi)流入與流出該六面體流體的質(zhì)量差為：（流進(jìn)為正，流出為負(fù)）

同理可得：

則在dt時(shí)間內(nèi)流入與流出該六面體流體的質(zhì)量差為：在此六面體中，流體原來的質(zhì)量為ρdxdydz

,dt時(shí)間后，密度變?yōu)椋河捎隗w積未變，則質(zhì)量變?yōu)椋阂蚨赿t時(shí)間內(nèi)，由于密度變化而引起質(zhì)量的增量為：

質(zhì)量守恒定律：dt內(nèi)流入與流出六面體的流體質(zhì)量差之總和dM應(yīng)等于六面體內(nèi)因密度變化而引起流體質(zhì)量的增量dM′。即：1、流體的連續(xù)性微分方程的一般形式

適用范圍：理想流體或?qū)嶋H流體；恒定流或非恒定流；可壓縮流體或不可壓縮流體。

2、可壓縮流體恒定流動的連續(xù)性微分方程

當(dāng)為恒定流時(shí)，有，則上式為：

適用范圍:理想、實(shí)際、可壓縮、不可壓縮的恒定流。

3、不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程當(dāng)為不可壓縮流體時(shí)，有，則上式為：

物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量），與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。適用范圍：理想、實(shí)際、恒定流或