廣東省廣州市2024年高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省廣州市2024年高三數(shù)學(xué)模擬預(yù)測(cè)卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若，且是純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．23．小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．164．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（

）A． B．C． D．6．已知三棱錐中三組相對(duì)的棱長(zhǎng)分別相等，長(zhǎng)度分別為，，，其中，則三棱錐的外接球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)A，B是其右支上的兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知平面向量在由正方形組成的網(wǎng)格中位置如圖所示（網(wǎng)格中面積最小的正方形邊長(zhǎng)為1），則（

）A．B．存在實(shí)數(shù)，使得.C．.D．向量在方向上的投影向量為10．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)D．若是數(shù)列中的項(xiàng)，則的值可能為711．已知雙曲線（，），實(shí)軸長(zhǎng)為8，虛半軸長(zhǎng)為，，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為定值C．若直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且Q為中點(diǎn)，則直線l的方程為D．的最小值為三、填空題12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.13．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，需驗(yàn)證時(shí)的式子為．四、解答題15．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)n.16．已知角的頂點(diǎn)是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，且角是第三象限角．(1)求的值；(2)求的值．17．若存在常數(shù)k，b使得函數(shù)與對(duì)于給定區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)x，均有，則稱是與的隔離直線．已知函數(shù)，．(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式：；(2)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出一條與的隔離直線的方程并證明．18．如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求異面直線和夾角的余弦值．19．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點(diǎn)為、，為直線上一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．B【分析】根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.2．B【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合是純虛數(shù)，求得，即可求解．【詳解】設(shè)，則因?yàn)槭羌兲摂?shù)，可得，即，所以．故選：B.3．C【分析】根據(jù)相鄰問(wèn)題用捆綁法和不相鄰問(wèn)題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C4．D【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.5．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合重心的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镚是的重心，則，由，得，所以.故選：C.6．C【分析】根據(jù)三棱錐的三組對(duì)棱分別相等，可得到三棱錐的頂點(diǎn)必是一個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，再由棱的長(zhǎng)度可求得長(zhǎng)方體同一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱的長(zhǎng)度，繼而表示出外接球半徑，借助于基本不等式即可求得.【詳解】

由題設(shè)知，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖．因三棱錐中三組相對(duì)的棱長(zhǎng)分別相等，長(zhǎng)度分別為，，，故該長(zhǎng)方體從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，且三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，故外接球的直徑長(zhǎng)為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球半徑為，則三棱錐的外接球表面積為,因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)，，即時(shí)，.故選:C．7．A【分析】由平方關(guān)系以及兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所?故選：A.8．B【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的定義可得，進(jìn)而，在、中，分別用余弦定理表示，建立關(guān)于a的方程，解之即可求解.【詳解】由，得，結(jié)合題設(shè)有，由雙曲線的定義知，，，又，由，得，得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：B

9．AC【分析】A.由向量的模公式求解判斷；B.由共線向量定理判斷；C.設(shè)網(wǎng)格中方向向右?向上的單位向量分別為，且，得到運(yùn)算判斷；D.利用投影向量的定義判斷.【詳解】解；，A正確；由圖可知，向量不共線，故不存在實(shí)數(shù)，使得錯(cuò)誤；設(shè)網(wǎng)格中方向向右?向上的單位向量分別為，且，則，所以正確；由圖可知，向量在方向上的投影向量方向向右?模長(zhǎng)為1，所以向量在方向上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ABD【分析】求出通項(xiàng)判斷A；求出公差、通項(xiàng)判斷BC；探討數(shù)列與的下標(biāo)關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意得，A正確；對(duì)于B，新數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差為2，故，B正確；對(duì)于C，由B選項(xiàng)知，令，則，即是數(shù)列的第8項(xiàng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，插入個(gè)數(shù)，則，則等差數(shù)列中的項(xiàng)在新的等差數(shù)列中對(duì)應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，于是，而是數(shù)列的項(xiàng)，令，當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD11．ABD【分析】根據(jù)題意可得以及雙曲線方程.對(duì)于A：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及雙曲線的性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于B：根據(jù)切線的性質(zhì)以及雙曲線的定義分析求解；對(duì)于C：根據(jù)點(diǎn)差法分析求解；對(duì)于D：利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖形的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可知：，，，雙曲線方程為，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，且，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓與邊分別切于點(diǎn)，可知：，因?yàn)椋O(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由可知：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即，所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為定值4，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，，若Q為中點(diǎn)，則，可得，，因?yàn)锳，B在雙曲線上，則，兩式相減得，整理得，即，所以直線l的方程為，即，聯(lián)立方程，消去y得，計(jì)算，故C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交．12．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后代入點(diǎn)斜式直線方程化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由知，，所以，故所求切線方程為，即.故答案為：13．/-0.96【分析】利用任意角三角函數(shù)定義求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式得出答案即可.【詳解】由任意角三角函數(shù)定義得，，故，由二倍角公式得.故答案為：14．【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的變化規(guī)律直接可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，不等式左側(cè)為，右側(cè)為：，需驗(yàn)證式子為.故答案為：.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)2023【分析】（1）對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)得，變形為，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可；（2）由（1）可得，利用分組求和思想求和后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.【詳解】（1），，可得，又由，所以，則數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)n的值為2023.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解，（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可根據(jù)弦切互化求解.【詳解】（1）由為第三象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)，得，,解得，．（2），．17．(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由解得或,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖形即可求解；（2）求出的圖象的交點(diǎn)，設(shè)與是存在隔離直線函數(shù)，可得，利用可求出k的值，結(jié)合證明，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由，即，解得或．在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且，，所以不等式的解集為.（2）一條隔離直線為．證明：由（1）知，令，由解得，當(dāng)時(shí)，，即有公共點(diǎn)，設(shè)與存在隔離直線函數(shù)，則點(diǎn)在隔離直線函數(shù)上，則，即，所以；若當(dāng)時(shí)有，即，則在上恒成立，即，由于，故此時(shí)只有時(shí)上式才成立，則.下面證明，令，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即為與的隔離直線函數(shù).18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理得到，平方后結(jié)合空間數(shù)量積公式求出，求出答案；（2）先求出，結(jié)合空間向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】（1）由題意得，又，，，，，故，故；（2），設(shè)異面直線和夾角為，則.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)離心率和上頂點(diǎn)確定、，進(jìn)而可得雙曲線方程；（2）直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得的值，進(jìn)而可得定點(diǎn).【詳解】（1）解：設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)樵撾p曲線的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則由可得，則，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）可得、，設(shè)、，若直線的斜率不存在，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，從而可知，直線、關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)在軸上，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，，設(shè)，則，，所以，，又，得，所