交流電路的復(fù)數(shù)解法-2013

交流電路的復(fù)數(shù)解法

一、交流電路的復(fù)數(shù)解法

矢量圖解法比較直觀，運(yùn)算簡單。但在一些復(fù)雜的電路中，特別是要用交流電路的基爾霍夫方程組才能解決的復(fù)雜電路，矢量圖往往無法預(yù)先畫出，采用矢量圖解法就甚感困難。這里我們介紹另一種普遍性計(jì)算方法，即借助復(fù)數(shù)理論討論簡諧交流電路，這種方法稱復(fù)數(shù)解法。用復(fù)數(shù)表示，交流電路的各種公式都寫成和直流電路十分相似的形式，這是復(fù)數(shù)解法的一個(gè)很大優(yōu)點(diǎn)。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部和模虛單位，數(shù)學(xué)上用i來代表它，因?yàn)樵陔姽ぶ衖代表電流，所以改用j代表虛單位，即有向線段的復(fù)數(shù)表示如圖4.5所示，有向線段A可用下面的復(fù)數(shù)表示為A=a+jb由圖可見，

表示復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模。有向線段與實(shí)軸正方向間的夾角，稱為復(fù)數(shù)的幅角，用表示，規(guī)定幅角的絕對值小于。復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)式：復(fù)數(shù)的指數(shù)形式：

一、簡諧量的復(fù)數(shù)表示法及一些重要概念

復(fù)數(shù)法的基本原則是把所有的簡諧量都用對應(yīng)的復(fù)數(shù)來表示。

同一段電路上的和的比值：

稱為復(fù)電壓，稱為復(fù)電流

它是一個(gè)復(fù)數(shù),它的模等于這段電路的阻抗

它的輻角為

我們把這個(gè)復(fù)數(shù)記作，即

復(fù)數(shù)完全概括了這段電路本身的兩個(gè)方面基本性質(zhì)—阻抗和位相差，它叫做這段電路的復(fù)阻抗，知道了復(fù)阻抗，這段電路的性質(zhì)就完全清楚了。

由上面可得：或

該公式同直流電路的歐姆定律具有完全相同的形式，可見引入復(fù)阻抗的概念是大有好處的。純元件的復(fù)阻抗（1）電阻元件：（2）電容元件：（3）電感元件：

上述結(jié)果表明：為正實(shí)數(shù)；為負(fù)虛數(shù)；為正虛數(shù)。

二、串聯(lián)、并聯(lián)電路的復(fù)數(shù)解法1、串聯(lián)電路

（瞬時(shí)值關(guān)系）

用相應(yīng)的復(fù)電壓來代替它們，則有

設(shè)各段的復(fù)阻抗為、，整個(gè)電路的復(fù)阻抗為

因?yàn)閺?fù)電流是共同的，代入消去

2、并聯(lián)電路

（瞬時(shí)值關(guān)系）

用相應(yīng)的復(fù)電流來代替它們，則有:

設(shè)各分支的復(fù)阻抗為、,整個(gè)電路的復(fù)阻抗為

因?yàn)閺?fù)電壓是共同的，代入消去

結(jié)果表明：交流電路復(fù)阻抗的串、并聯(lián)公式和直流電路電阻的串、并聯(lián)公式完全一樣。交流串、并聯(lián)電路用復(fù)數(shù)法計(jì)算簡單電路時(shí)，電路的電壓、電流關(guān)系與直流電路一樣

串聯(lián)電路

并聯(lián)電路

例題：求R、L、C串并聯(lián)電路的總阻抗和相位差先算L、R串聯(lián)電路的復(fù)阻抗ZLR

再算總電路復(fù)阻抗復(fù)阻抗求阻抗和幅角用三角恒等式

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則模幅角當(dāng)電容C、電感L兩類元件同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)電路中時(shí)，就會發(fā)生一種新現(xiàn)象——諧振。通常就把這種電路叫做諧振電路，它在實(shí)際中有重要的應(yīng)用。諧振電路主要有串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種?！罵LC音頻信號發(fā)生器諧振電路串聯(lián)諧振×RLC音頻信號發(fā)生器在維持電壓不變的情況下，若從低到高地改變音頻訊號發(fā)生器的頻率f就會看到，小燈的亮度開始由小變大，到某個(gè)頻率f0

后發(fā)生轉(zhuǎn)折，又由大變小。這表示，LCR電路中的電流I隨頻率不是單調(diào)變化的，而是在f=f0處有極大值IM，或者說電路的總阻抗Z在此時(shí)有個(gè)極小值Zm。這種現(xiàn)象叫做諧振。f0稱為諧振頻率。根據(jù)以上結(jié)果，我們來分析串聯(lián)諧振電路的主要特征：1、諧振頻率發(fā)生諧振時(shí)，電路里的等效阻抗最小，電流最大。式中的ω0和f0

是由電路的L、C值決定的。當(dāng)外來交流電的頻率f與電路的固有頻率f0相同時(shí)，就會發(fā)生諧振現(xiàn)象。2、位相關(guān)系對于給定的L、C、R，當(dāng)改變交流電的頻率f時(shí)，電路將表現(xiàn)出不同的性質(zhì)，如下圖所示：O電感性電容性總電壓與總電流的相位差3、L及C上的電壓分配

當(dāng)電路發(fā)生諧振時(shí)，在L和C上的電壓大小相等，方向相反，從整體上說它們的作用互相抵消，但它們的單獨(dú)作用卻不能忽視。設(shè)電路的總電壓為U，則

由于R＜＜ω0L，Q值可以很大，可達(dá)幾十乃至幾百。因此就出現(xiàn)了分電壓比總電壓大得多的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象只能出現(xiàn)在LCR串聯(lián)電路之中，所以串聯(lián)諧振又稱為電壓諧振。使串聯(lián)諧振電路產(chǎn)生諧振有兩種途徑：一種是改變電源的頻率，使其與電路的固有頻率相等；另一種是改變電路中的電感或電容的數(shù)值，即改變電路的固有頻率，使其與電源頻率相等。改變電感或電容使電路產(chǎn)生諧振的過程，稱為調(diào)諧。在收音機(jī)中就是利用調(diào)節(jié)可變電容來調(diào)諧的。Q值的意義

Q值是標(biāo)志諧振電路性能好壞的一個(gè)純數(shù)，因此Q值又稱為電路的品質(zhì)因素，

1、Q值反映了電壓分配情況；

2、Q值反映頻率選擇性的好壞；

3、Q值反映電路中儲能和耗能的情況。交流電的功率

交流電在某一元件或組合電路中瞬間消耗的功率p(t)與直流電路中一樣，也等于u(t)和i(t)的乘積：

p(t)=u(t)i(t)。與直流電路不同的是，無論u(t)、i(t)還是p(t)都隨時(shí)間變化。一、交流電的功率

瞬時(shí)功率平均功率有功功率簡稱功率設(shè)：電壓與電流的相位差是有效值稱復(fù)阻抗的實(shí)部R為有功電阻或電阻，稱復(fù)阻抗的虛部X為電抗。電壓與電流的相位差是根椐阻抗的定義它是復(fù)阻抗的模有功功率只與復(fù)阻抗的實(shí)部有關(guān)。純電容元件：

純電感和純電容的有功電阻都為零，不消耗能量，只是不斷地與電源交換能量。實(shí)際電路中，電容器與電感的介質(zhì)損失，也有相當(dāng)?shù)牡刃в泄﹄娮琛Ｗ⒁猓河?jì)算功率不能用復(fù)電壓和復(fù)電流的乘積來代替。純電阻元件：純電感元件：普遍情況任意一個(gè)與外界有二聯(lián)接點(diǎn)的電路（稱為二端網(wǎng)絡(luò)），它兩端的電壓與其中電流之間的位相差為電壓、電流的有效值。稱為有功電流和無功電流二、功率因數(shù)視在功率實(shí)際的輸出功率與用電器的功率因數(shù)密切相關(guān)。如電動(dòng)機(jī)、日光燈都是感性的，可用并聯(lián)電容的方法來提高其功率因數(shù)。應(yīng)盡量設(shè)法消除無功電流在輸電線上的消耗，提高功率因數(shù)。（設(shè)備上所示的容量，即最大輸出功率）額定電壓、電流值提