計算方法課后習(xí)題答案

./習(xí)題一3.已知函數(shù)在處的函數(shù)值,試通過一個二次插值函數(shù)求的近似值,并估計其誤差。解：采用Lagrange插值多項式其誤差為〔2〕采用Newton插值多項式根據(jù)題意作差商表：一階差商二階差商04216.252.52934.設(shè),試列出關(guān)于互異節(jié)點的插值多項式。注意到：若個節(jié)點互異,則對任意次數(shù)的多項式,它關(guān)于節(jié)點滿足條件的插值多項式就是它本身?？梢?當(dāng)時冪函數(shù)關(guān)于個節(jié)點的插值多項式就是它本身,故依公式有特別地,當(dāng)時,有而當(dāng)時有5.依據(jù)下列函數(shù)表分別建立次數(shù)不超過3的插值多項式和插值多項式,并驗證插值多項式的唯一性。012419233解：Lagrange插值多項式====Newton插值多項式一階差商二階差商三階差商00111982223143343-10由求解結(jié)果可知：說明插值問題的解存在且唯一。7.設(shè),試?yán)糜囗椂ɡ斫o出以為節(jié)點的插值多項式。解：由Lagrange余項定理可知：當(dāng)時,8.設(shè)且,求證證明：以為節(jié)點進(jìn)行線性插值,得由于,故。于是由有,令13．設(shè)節(jié)點與點互異,試對證明并給出的插值多項式。解依差商的定義,一般地,設(shè)則故的插值多項式為.求作滿足條件的插值多項式。解法1：根據(jù)三次Hermite插值多項式：并依條件,得解法2：由于,故可直接由書中〔3.9〕式,得求作滿足條件的插值多項式,并估計其誤差。解法1：由已知條件0121293用基函數(shù)方法構(gòu)造。令其中,均為三次多項式,且滿足條件依條件可設(shè),由可得：同理,誤差為：解法2：用承襲性構(gòu)造由條件先構(gòu)造一個二次多項式作差商表：一階差商二階差商001112122973于是有：令所求插值多項式利用剩下的一個插值條件,得由此解出故有求作滿足條件的插值多項式。并給出插值余項。解：令利用插值條件定出：注意到這里是三重零點,是單零點,故插值余項為求作次數(shù)的多項式,使?jié)M足條件并列出插值余項。解法1：由于在處有直到一階導(dǎo)數(shù)值的插值條件,所以它是"二重節(jié)點"；而在處有直到二階導(dǎo)數(shù)值的插值條件所以是"三重節(jié)點"。因此利用重節(jié)點的差商公式：可以作出差商表一階二階三階四階00111－1－1000－21101039206115根據(jù)Newton插值多項式,有且插值余項為第二章答案計算下列函數(shù)關(guān)于的：注：,解：〔1〕〔2〕3..是區(qū)間上帶權(quán)的最高次項系數(shù)為1的正交多項式族,其中,求。解法一：解法二：設(shè),則由4.求,使積分取得最小值。解：題意即為在中求的最佳平方逼近多項式,故滿足法方程或者按下述方法：因為上式分別對求偏導(dǎo),并令其為零,有從而也有,5.對,定義問它們是否構(gòu)成內(nèi)積？〔1〕推出,即為常數(shù),但不一定為0,故〔1〕不構(gòu)成內(nèi)積?！?〕顯然內(nèi)積公理的1〕,2〕,3〕均滿足,考察第四條若,則必有反之,若,則且,由此可推得,即內(nèi)積公理第四條滿足,故〔2〕構(gòu)成內(nèi)積。8.判斷函數(shù)在上兩兩正交,并求一個三次多項式,使其在上與上述函數(shù)兩兩正交。解：〔1〕,,,,所以,在上兩兩正交?！?〕設(shè)所求多項式為用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式,使它與下列數(shù)據(jù)相擬合,并估計平方誤差。192531384419.032.349.073.397.8解：將=19,25,31,38,44分別代入,得所以誤差12.求函數(shù)在給定區(qū)間上對于的最佳平方逼近多項式：解：設(shè)〔1〕<2>。。13.上求關(guān)于的最佳平方逼近多項式。解：Legendre是[-1,1]上的正交多項式取,=16.求上的二次最佳平方逼近多項式,并估計平方誤差。解：設(shè)第三章習(xí)題答案分別用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式計算積分計誤差。解：1〕用梯形公式有：事實上,2〕Simpson公式事實上,3〕由Cotes公式有：事實上,3.分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式Simpson計算下列積分.<1>解：〔1〕用復(fù)化梯形公式有：,由復(fù)化Simpson公式有：5．給定積分。利用復(fù)化梯形公式計算上述積分值,使其截斷誤差不超過取同樣的求積節(jié)點,改用復(fù)化Simpson公式計算時,截斷誤差是多少？如果要求截斷誤差不超過,那么使用復(fù)化Simpson公式計算時,應(yīng)將積分區(qū)間分成多少等分？解：<1>=,當(dāng)誤差時,25.6,所以取=26?！?〕7．推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：證明：將在處Taylor展開,得兩邊在上積分,得將在處Taylor展開,得兩邊在上積分,得將在處Taylor展開,得兩邊在上積分,得10．判別下列求積公式是否是插值型的,并指明其代數(shù)精度：解：插值型求積公式其中則因此,是插值型的求積公式。因其求積公式是插值型的,且存在2個節(jié)點,所以其代數(shù)精度至少是1。對于時,可見它對于不準(zhǔn)確成立,故該求積公式的代數(shù)精度是1。11．構(gòu)造下列求積公式,并指明這些求積公式所具有的代數(shù)精度：解〔1〕：令原式對于準(zhǔn)確成立,于是有解之得,于是有求積公式容易驗證,它對于不準(zhǔn)確成立,故該求積公式的代數(shù)精度是1。解〔2〕：令原式對于準(zhǔn)確成立,于是有解之得于是有求積公式容易驗證當(dāng)時,而可見,它對于不準(zhǔn)確成立,故該求積公式的代數(shù)精度是3。解<3>：令原式對于準(zhǔn)確成立,于是有解得:于是有求積公式容易驗證,當(dāng)時,而可見,它對于不準(zhǔn)確成立,故該求積公式的代數(shù)精度是2。12.利用代數(shù)精度方法構(gòu)造下列兩點Gauss求積公式：解〔1〕：令原式對于準(zhǔn)確成立,于是有利用的第1式,可將第2式化為同樣,利用第2式化簡第3式,利用第3式化簡第4式,分別得由式消去得進(jìn)一步整理由此解出解得：因此所求的兩點Gauss求積公式：或依下面的思想：解〔2〕：令原式對于準(zhǔn)確成立,于是有利用的第1式,可將第2式化為同樣,利用第2式化簡第3式,利用第3式化簡第4式,分別得由式消去得進(jìn)一步整理由此解出解得：因此所求的兩點Gauss求積公式：或依下面的思想：13．分別用三點和四點Gauss－Chebyshev求積公式計算積分,并估計誤差。解：用三點Gauss-Chebyshev求積公式來計算：此時,由公式可得：由余項可估計誤差為用四點Gauss-Chebyshev求積公式來計算：此時,由余項可估計誤差為14．用三點求積公式計算積分,并估計誤差。解：作變換則得由三點Gauss-Legendre公式：其估計誤差為：,〔〕。其準(zhǔn)確值其準(zhǔn)確誤差等于：第四章習(xí)題答案2。用Gauss列主元素消去法解方程組解：因為第一列中10最大,因此把10作為列主元素得到方程組6。用Doolittle分解法解方程組解：A==其中L=U=由Ly=解得y=由Ux=y,解得x=7。用Crout分解法接方程組。解：由Ly=b=得y=由Ux=y=得x=11。已知,求。解：,13。求證：證明：〔1〕,,所以,所以〔2〕14。設(shè)計算A的條件數(shù)解：矩陣A的較大特征值為198.00505035,較小的特征值為-0.00505035,則第五章習(xí)題答案2.設(shè)方程組考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程組的收斂性；用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程組,要求時迭代終止。解：〔1〕①因為,故Jacobi迭代法收斂。又：所以Gauss-Seidel的迭代矩陣因為故Gauss-Seidel迭代法收斂。②據(jù)方程組的Jacobi迭代格式：取計算求得由于,因此,所求的解為另據(jù)Gauss-Seidel迭代格式為：取計算求得由于,因此,所求的解為⑵①因為系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂。②此方程組的Jacobi迭代格式為：取,可求得由于故所求解為：據(jù)Gauss-Seidel迭代格式：取求得：由于,故所求解為：3.設(shè)方程組試考察此方程組的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。解：⑴所給方程組的Jacobi迭代矩陣因為解得：則,所以解此方程組Jacobi迭代法收斂。所給方程組的Gauss-Seidel迭代矩陣因為解得：則所以解此方程組Gauss-Seidel迭代法收斂。⑵Jacobi迭代矩陣因為則,所以解此方程組Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣因為解得：則,所以解此方程組Gauss-Seidel迭代法不收斂。5.討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程組的收斂性,如果收斂,比較哪種方法收斂較快,其中解：⑴Jacobi迭代法迭代矩陣,所以,Jacobi迭代收斂。Gauss-Seidel迭代矩陣所以,Gauss-Seidel迭代收斂因為,故Gauss-Seidel迭代法較Jacobi迭代法收斂快。⑵Jacobi迭代法迭代矩陣所以,Jacobi迭代不收斂。Gauss-Seidel迭代：所以,Gauss-Seidel迭代收斂。6.設(shè)方程組的系數(shù)矩陣,試求能使Jacobi迭代法收斂的的取值X圍。解：當(dāng)時,Jacobi迭代矩陣由得故,由得時,Jabico迭代法收斂。8.給定方程組證明：解此方程組的Jacobi迭代法發(fā)散,而Gauss-seidel迭代法收斂。證明：Jacobi迭代矩陣解得：所以,Jacobi迭代法發(fā)散。又Gauss-seidel迭代矩陣為可見,G的特征值為所以,Gauss-seidel迭代法收斂。10..用SOR迭代法求解方程組〔取〕要求當(dāng)時迭代終止。解：SOR迭代公式為：取初值,迭代可得：,所以所求解15．用最速下降法和共軛斜向量法解方程組解：取初始向量,〔一〕最速下降法第1步：；第22步：停機(jī)取解〔二〕共軛斜向量法第1步：第101步：停機(jī)取解第六章習(xí)題答案3.證明方程在內(nèi)有根,使用二分法求這個根,若要求需二分區(qū)間多少等分？證明：設(shè)由于且當(dāng)時,因此方程在區(qū)間內(nèi)有一個根。由解得所以需二分區(qū)間19等分,才能滿足5.為求方程在附近的一個根,設(shè)將方程改寫成為下列等價形式,并建立相應(yīng)的迭代公式：迭代公式迭代公式迭代公式試討論它們的收斂性。解：所以此迭代格式是收斂的。所以此迭代格式是收斂的。所以此迭代格式不收斂的。7.用下列給定的方法求在附近的根,根的準(zhǔn)確值為要求計算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字?！?〕用Newton法；〔2〕用弦截法,〔3〕用拋物線法,取解：用Newton法求解將它們代入公式有,取計算結(jié)果列于下表,并和比較得出結(jié)果,012321.8888891.8794521.879385解得用弦截法求解取依迭代公式為進(jìn)行計算。計算結(jié)果列于下表,并和比較0123421.91.8810941.8794111.879385解得用拋物線法求解則故則根號前的符號為正。迭代公式為取計算10.設(shè)構(gòu)造求解方程的Newton迭代格式；證明此迭代格式具有二階收斂性。解：由從而有Newton迭代格式迭代格式為此外則所以此迭代格式具有二階收斂性。11.用Newton迭代法求解方程在附近的一個實根,要求〔準(zhǔn)確值為〕。解：由題意則Newton迭代公式為,即取時,解得同理,可得因所以用迭代法求方程所得的根為第八章習(xí)題答案1.用Euler格式計算初值問題的解函數(shù)在時的近似值〔取步長保留到小數(shù)點后4位〕。解：將代人Euler格式,注意到則有：據(jù)可得計算結(jié)果如下即2.證明隱式Euler格式是一階方法；而Euler兩步格式是二階方法,并給出其局部截斷誤差的主項。證明：對于隱式Euler格式,若假定則有〔1〕依Taylor公式有代人式〔1〕右端,則有另一方面,故隱式Euler格式的局部截斷誤差為可見隱式Euler格式是一階方法。證明：對于Euler兩步格式：,考察局部截斷誤差,仍設(shè)則有注意到于是而因此有即Euler兩步格式是二階方法。且其主項系數(shù)是2。注：關(guān)于精度分析也可采用代數(shù)精度的概念來討論：定義：稱某個差分格式具有階精度,如果它的近似關(guān)系式對于次數(shù)的多項式均能準(zhǔn)確成立,而對于次式不能準(zhǔn)確成立。譬如,考察Euler格式,其對應(yīng)的近似關(guān)系式為檢驗它所具有的代數(shù)精度,當(dāng)時,左端＝右端＝1；當(dāng)時,左端＝右端＝而當(dāng)時,左端＝右端＝,所以Euler格式僅有一階精度。4.已知初值問題有精確解試導(dǎo)出近似解的Euler格式,并證明用改進(jìn)的Euler格式能準(zhǔn)確地求出這一初值問題的解。將此題作如下改動：已知初值問題的精確解證明：用Euler格式以為步長所求得的近似解的整體截斷誤差為解：〔原題的解〕Euler格式為將代人得由得,于是就是所求的Euler格式。如果用改進(jìn)的Euler格式求這一初值問題,則可得到準(zhǔn)確解。其中,由條件可得,而精確解為,由此可知所以用改進(jìn)的Euler格式能準(zhǔn)確求出這一初值問題的解。改動后的解：解：Euler格式為將代人得由得,于是所以整體誤差為5.用梯形格式求解初值問題取計算,要求小數(shù)點后保留5位數(shù)字。解：,梯形公式為整理得顯格式為,由可得8.取用四階經(jīng)典Runge-Kutta格式求解下列初值問題：解：利用四階經(jīng)典Runge-Kutta格式：得此問題的四階經(jīng)典Runge-Kutta格式為〔〕：計算結(jié)果如下表所示：00111.21.221.44110.21.2428001.4428001.6870801.7115081.9851021.24280620.41.5836361.9836362.2820002.3118362.6460031.58364930.62.0442132.6442133.0086343.0450763.45