第04講 數(shù)列求和（原卷版）

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查倒序相加法 1題型二：重點考查分組求和（形如） 3題型三：重點考查分組求和（形如） 5題型四：重點考查裂項相消法（等差型） 7題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如） 9題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如） 11題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法 13題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和 15題型九：重點考查其他方法求和 17題型一：重點考查倒序相加法典型例題例題1．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知，則（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例題2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足（），則．例題3．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為.精練核心考點1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設，若，試求：（1）；（2）．2．（2024·全國·高三專題練習）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復數(shù)解等.若函數(shù)，設，則.3．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為.題型二：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024上·上海浦東新·高二?？计谀┘褐炔顢?shù)列中，，公差；等比數(shù)列中，，是和的等差中項，是和的等差中項．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知公比為3的等比數(shù)列與首項為1的等差數(shù)列，滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若數(shù)列，數(shù)列的前和為，求．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，（）.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.精練核心考點1．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和．2．（2024上·甘肅酒泉·高三?？计谀┮阎獢?shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.3．（2024上·廣東廣州·高二廣州市第八十九中學?？计谀┮阎堑炔顢?shù)列，其前項和為．若．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．題型三：重點考查分組求和（形如）典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.例題2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和．精練核心考點1．（2024·陜西銅川·統(tǒng)考一模）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答下列問題.已知為數(shù)列的前項和，，，且________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.2．（2024·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)若，，求數(shù)列的前項和．3．（2024·全國·高三專題練習）設是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.題型四：重點考查裂項相消法（等差型）典型例題例題1．（2024上·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例題2．（2024上·全國·高二期末）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，為數(shù)列的前項和，試問：是否存在正整數(shù)，，使得？若存在，求出滿足條件的所有，的值；若不存在，請說明理由．例題3．（2024上·山東泰安·高三?？计谀┮阎炔顢?shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項公式；(2)設，求的前項和．精練核心考點1．（2024上·廣東深圳·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.2．（2024上·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知是等差數(shù)列的前項和，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項和為.已知且.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.題型五：重點考查裂項相消法（無理型：形如）典型例題例題1．（2024上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例題2．（2024·全國·高三專題練習）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項公式：(3)證明：對一切正整數(shù)，有.精練核心考點1．（2024上·天津·高二耀華中學?？计谀τ趯崝?shù)，表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項和.題型六：重點考查裂項相消法（指數(shù)型：形如）典型例題例題1．（2024上·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）記為正項數(shù)列的前項和，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記數(shù)列的前項和為，證明：.例題2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的最大項；(3)若數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例題3．（2024·全國·高三專題練習）設是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.(1)求，的通項公式(2)設，求；(3)設，數(shù)列的前項和為，求.精練核心考點1．（2024上·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）在正項數(shù)列中，，且．(1)求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和為，求證：．2．（2024·全國·高二假期作業(yè)）設數(shù)列的前項和為，且對于任意正整數(shù)，都有．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.題型七：重點考查數(shù)列求和之錯位相減法典型例題例題1．（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的前項和滿足關系式．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．例題2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.例題3．（2024上·寧夏銀川·高二?？计谀┮阎獢?shù)列，其前項和為.數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和.精練核心考點1．（2024上·湖北·高二期末）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和2．（2024上·四川瀘州·高二瀘縣五中?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.3．（2024·全國·高三專題練習）在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項和，且依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足，(1)求及；(2)設數(shù)列的前項和為，求.題型八：重點考查數(shù)列求和之通項含絕對值求和典型例題例題1．（2024·全國·模擬預測）已知等差數(shù)列，記為的前項和，從下面①②③中再選取一個作為條件，解決下面問題．①；②；③．(1)求的最小值；(2)設的前項和為，求．例題2．（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足是與的等差中項．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.精練核心考點1．（2024·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求．2．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）記為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．3．（2024·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．題型九：重點考查其他方法求和典型例題例題1．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設由，的公共項構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．例題2．（2023下·河北保定·高二河北省唐縣第二中學?？茧A段練習）從條件①；②；③中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，，_____________.(1)求的通項公式；(2)表示不超過的最大整數(shù)，記，求的前項和.例題3．（2023·山東·山東省實驗中學?？家荒＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．精練核心考點1．（2023·河