廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)

龍崗區(qū)20232024學(xué)年第一學(xué)期高三期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。2．答題前，請將學(xué)校、班級、姓名和考號用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū)。請保持條形碼整潔、不污損。3．本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無效。答題卡必須保持清潔，不能折疊。4．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；非選擇題答案必須用規(guī)定的筆，按作答題目的序號，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi)。5．考試結(jié)束，請將答題卡交回。一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則A． B． C． D．4．已知，且，則的值為A． B． C． D．5．已知，則A． B．2 C． D．6．過圓上一點A作圓的切線，切點為B，則的最小值為A．2 B． C． D．7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是A．1 B． C．2 D．8．已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．關(guān)于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)和為C．展開式中第5項為 D．展開式中不含常數(shù)項10．已知，是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．在上的投影向量為11．下列說法中正確的是A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3212．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為P，過點F的直線與拋物線交于點M，N，過點P的直線與拋物線交于點A，B，則A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為．14．有甲、乙、丙三項任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān) 這三項任務(wù)，則共有種不同的選法．15．已知是橢圓的左，右焦點，上兩點滿足，，則的離心率為．16．已知函數(shù)（且），若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求的面積．18．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面，，.（1）求證：AB?平面PBC；（2）若是的中點，求與平面所成角的余弦值.19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)，都有（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．20．（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，．當(dāng)時，的面積為5．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點，且，，求證：為定值．21．（本小題滿分12分）某工廠采購了一批新的生產(chǎn)設(shè)備．經(jīng)統(tǒng)計，設(shè)備正常狀態(tài)下，生產(chǎn)的產(chǎn)品正品率為0.98．為監(jiān)控設(shè)備生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，并檢測質(zhì)量．規(guī)定：抽檢的10件產(chǎn)品中，若至少出現(xiàn)2件次品，則認(rèn)為設(shè)備生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況，需對設(shè)備進(jìn)行檢測及修理．（1）假設(shè)設(shè)備正常狀態(tài)，記X表示一天內(nèi)抽取的10件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，求，并說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程規(guī)定的合理性；（2）該設(shè)備由甲、乙兩個部件構(gòu)成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；若只有一個部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常．已知設(shè)備出現(xiàn)異常是由甲部件故障造成的概率為p，由乙部件故障造成的概率為．若設(shè)備出現(xiàn)異常，需先檢測其中一個部件，如果確認(rèn)該部件出現(xiàn)故障，則進(jìn)行修理，否則，繼續(xù)對另一部件進(jìn)行檢測及修理．已知甲部件的檢測費(fèi)用1000元，修理費(fèi)用5000元，乙部件的檢測費(fèi)用2000元，修理費(fèi)用4000元．當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)異常時，僅考慮檢測和修理總費(fèi)用，應(yīng)先檢測甲部件還是乙部件，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，且．證明：．高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、單項選擇題題號12345678答案CCBDDBDA二、多項選擇題題號9101112答案BCDACDABACD三、填空題題號13141516答案或四、解答題17．（1）法一：因為，所以，整理得，所以，又因為，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因為，所以，又因為，所以；（2）由余弦定理得，，，所以，所以，或（舍），所以的面積.18．（1）因為平面，平面，所以，又，，所以，在中，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，所以平面；（2）（方法一）如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，，∴，即與平面所成角的余弦值為．（2）（方法二）過點作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，則為與平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即與平面所成角的余弦值為.19．（1）由對任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，若，則，且當(dāng)時，滿足.綜上所述：20．（1）當(dāng)時，，，可得，由雙曲線的定義可知，，兩邊同時平方可得，，所以①又雙曲線的離心率為，所以②由①②可得，，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線與軸垂直時，點與原點重合，此時，，，所以，，．當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，由題意知且，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，則，，．易知點的坐標(biāo)為，則由，可得，所以，同理可得．所以．綜上，為定值．21．（1）由題可知，單件產(chǎn)品為次品的概率為0.02，所以，所以，，所以，由可知，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一天內(nèi)抽取的10個零件中，至少出現(xiàn)2個次品的概率約為0.014，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為設(shè)備在這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況，需對設(shè)備進(jìn)行檢測和修理，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的規(guī)定是合理的.（2）若先檢測甲部件，設(shè)檢測費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，7000，則，，所以，若先檢測乙部件，設(shè)檢測費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，8000，則，，所以，所以，則當(dāng)時，，應(yīng)先檢測乙部件；